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【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~23题
一、原题21
1．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
二、变式1基础
2．（2025·徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
设BD=x，则CD=22.2-x，
在Rt△ADB和Rt△ADC中
AD=BDtan∠B=CDtan∠C，
∴xtan34.2°=（22.2-x）tan9.8°，
解之：x=4.44，
∴
答：AC的长约为17.9m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，可表示出CD的长，在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再利用解直角三角形求出AC的长.
3．（2025·宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此河流的宽度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由于三角形两个内角的度数已知，则可过顶点C作对边AB的垂线段CD构造和，再分别解直角三角形，即利用和的正切函数建立关于CD的一元一次方程并求解即可.
4．（2025·双流模拟）小明寒假去乡下爷爷家，看到爷爷家房屋结构如图所示，好奇的小明想测量房屋最高点到地面的距离．他发现为的中点，并根据实际情况测量出房屋的宽度为米，屋檐的长为米，屋檐与地面平行，并在与，处于同一直线的点处测得，请根据以上信息，帮小明求出到地面的距离(结果精确到米；参考数据：，，，，，)．
【答案】解：如图，过点作于，设交于点，
根据题意，，
为的中点，，
，
，
，
，
在中，（米），
（米），
设，则，
在中，，
同理，在中，
，
∴
解得，
即（米），
（米），
即到地面的距离为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用。
首先利用中点求出BP、EH的长，结合，求出，在中，利用三角函数值可以求出长，在和在分别利用正切公式表示出，，然后利用，求出的长，从而得到结果．
三、变式2巩固
5．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
6．（2025·织金模拟）定滑轮的功能是改变力的方向，当牵引重物时，可使用定滑轮将施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学发现校园内工人师傅利用定滑轮运输物体．于是，他们把“测量定滑轮距地面的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告：
课题 测量定滑轮距地面的高度（忽略定滑轮的大小）
测量工具 测角仪、皮尺等
测量示意图 说明：小组成员站在处，拉动绳子，使得物体移动，且点，，，，，均在同一竖直平面内，，，在同一直线上
测量数据 绳子与水平面的夹角 物体的高度 物体移动后，绳子收回的长度
物体移动前物体移动后
…
请根据活动报告，求定滑轮距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】解：如图，过点作于点，连接并延长交于点．
根据题意，得，
在中，，
．
在中，，
，
绳子收回的长度为，
，
解得，
．
答：定滑轮距地面的高度约为。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点，连接并延长交于点．根据题意，得，在中，根据正弦函数的定义，可得，同理，在中，根据正弦函数的定义，可得，则，然后解方程即可求出OE的值，最后在根据线段之间的关系：，代入数据即可求解。
7．（2025·山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
四、变式3提高
8．（2025·乌当模拟）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把平开窗的滑撑支架抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中的长度为______，滑动轨道的长度是______．
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果精确到0.1）
参考数据：）
【答案】任务1：8；41；
任务2：过点作交于点，如下图，
依题意得，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴限位器应装在离点的位置．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵四边形始终为平行四边形，，，
∴，
∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上，
∴．
故答案为：8；41.
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出，再计算求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出，再利用锐角三角函数求出CH和OH的值，最后利用勾股定理计算求解即可.
9．（2025·遵义模拟）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表：
项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度
测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪．
测量情况 情况一 情况二
测量方案示意图
说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上
数据 ，
（1）求“多彩贵州吉祥蛇”的高度；
（2）求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：根据题意可知：，∴四边形为矩形，
∴，，
中，，
故．
（2）解：过点F作于点，于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，．
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
故水平距离．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由于，则可证明四边形为矩形，则，，再解直角三角形DEH即可；
（2）过点F作于点，于点，可构造，则四边形AH2H1B、AH2FC和CFH1B都是矩形，此时可通过证明得出，再设，则，得出分式方程并求解即可．
（1）解：根据题意可知：，
∴四边形为矩形，
∴，，
中，，
故．
（2）解：过点F作于点，于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，．
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
故水平距离．
10．（2025·临澧模拟）今年春晚，秧的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用．
活动主题 测试机器人宇树爬坡（坡角）的能力
测量工具 尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象
测量方案与数据信息 ①机器人的小腿的长度为，大腿上点与点的连线与水平面垂直； ②坡角； ③当机器人行走至点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿与小腿的夹角，； ④参考数据：．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）求点到水平面的距离；
（2）计算大腿的长度（结果精确到）
【答案】（1）解：过点作BE⊥AF于点E，如图所示，
由题意得：，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵，，
∴，∠BCE=90°，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
在中，BC=40cm，∠CBG=30°，
cm，cm，
∴cm，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质即可求BE的长；
（2）延长交于点，证明是等边三角形，在中解直角三角形，可求得，的长，即可得AE长，再根据等边三角形的性质和线段的和差即可求得DC长．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，，
∴．
五、原题22
11．（2025·广东） 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
六、变式1（基础）
12．（2025八上·深圳开学考）如图， 在△ABC中， 点D是BC上一点， AB=10， BD=6，AD=8， AC=17， 求△ABC的面积.
【答案】解：∵AB=10，BD=6，AD=8，
∴，
∴AD⊥BC；
在 Rt△ADC 中，；
∴△ABC 面积 =
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可得出AD⊥BC，进而根据勾股定理，可得出，再根据三角形面积计算公式，即可得出△ABC 面积 =。
13． 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°。求四边形ABCD的面积。
【答案】解：如图，
在 中，
是直角三角形，且
=6+30
=36.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可.
14．（2025八下·茂名期末）如图，已知在△ABD中，∠ABD=90°，AB=8，AD=17，BC=9，CD=12，求△BCD的面积.
【答案】解：，，，
.
在中，，
.
.
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在直角 △ABD 中，利用勾股定理计算得到BD，在中利用勾股定理的逆定理判断可得，最后利用面积公式计算即可解答.
七、变式2（巩固）
15．（2024八上·乐平月考）与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
12 35 37
（1）根据表1中的规律，当时，______，______．
（2）仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______，，b，c之间的数量关系是______．
（3）我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在中，当，时，求直角边b的值．
【答案】（1）60；61
（2）；
（3）
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
16．（2024八下·涿州月考）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22 1 32 1 42 1 52 1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=_______，b=_______，c=_______．
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
(3)观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数．
【答案】（1）n2 1，2n， n2+1；（2）是直角三角形；（3）112+602=612．
【知识点】勾股定理；勾股数；探索数与式的规律
17．（2021八下·淮南期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n 2 3 4 5 6 ....
a 4 5 8 10 12 .....
b 3 8 15 24 35 .....
c 5 10 17 26 37 ......
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）14；48；50
（2）2n；；
（3）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，
n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，
n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，
n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，
∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；
故答案为：14，48，50；
（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；
故答案为：2n，n2-1，n2+1；
【分析】（1）根据表格数据找出规律，即可求解；
（2）由（1）规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；
（3）由2n＜n2-1＜n2+1，可先求出 a2+b2，再求出c2，根据勾股定理的逆定理进行判断即可.
八、变式3（提高）
18．（2023八上·梁溪期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
若两直角边为，斜边为．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；
（2）当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；
（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______．
【答案】（1）60，61
（2）
（3），
（4）25或52或101或29
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
19．（2020八上·达县期末）勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
　
1
2
3
4
… … … …
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现 ， ， 之间的关系吗？
（3）对于偶数，这个关系是否成立？
（4）你能用以上结论解决下题吗？
【答案】（1）解：由表中信息可得 ， ， ，
故答案为 ， ， ．
（2）解：由于 ，
，
∵
即 ．
（3）解：令n=2k，则
， ，
∵
，
由于
即 ，
∴对于偶数，这个关系成立
（4）解：∵
由（2）中结论可知
∴
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）观察归纳，将算式和序号联系在一起得出结论；（2）根据（1）的结论，将a、b、c进行加减运算，发现其关系即可；（3）利用代数式的运算方法及法则计算即可；（4）根据（2）的结论代入计算即可。
20．（2020八上·景县期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 ：等等都是勾股数．
（1）如果 是一组勾股数，即满足 ，则 为正整数）也是一组勾股数．如； 是一组勾股数，则　 　也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出 公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的 是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当 ， 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数　 　．
（4）观察 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，并且勾为 时股 ，弦 ；勾 为时，股 ，弦 ；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
①如果勾为7，则股 　 　；弦 　 　；
②如果用 且 为奇数）表示勾，请用含有 的式子表示股和弦，则股 　 　；弦 　 　；
③观察 ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 起也没有间断过．则 　 　；请你直接用 为偶数且 ）的代数式表示直角三角形的另一条直角边　 　；和弦的长　 　．
【答案】（1）6，8，10
（2）证明：
，
，
满足以上公式的 是一组勾股数
（3）
（4）；；；；80；；弦
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数；定义新运算
【解析】【解答】（1）6，8，10（答案不唯一）；·（3）∵ ＝
∴满足以上公式的 是一组勾股数；
当 时， ，
∴ 构成一组勾股数．（答案不唯一）（4）①依据规律可得，如果勾为 ，
则股 ，
弦 ，
②如果勾用 ，且 为奇数）表示时，
则股 ，
弦
③b＝80．根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数且 ），
则另一条直角边
弦
【分析】（1）根据勾股定理 ，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根据完全平方公式求出 、 根据勾股定理逆定理即可求证；（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；（4）①根据规律即求解；②如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝ ，弦＝ ；③根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数且 ），根据所给3组数据找出规律即可得结论．
九、原题23
21．（2025·广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
（1）如图1， 点P是线段MN的中外比点， MP＞PN， MN=2， 求PN的长.
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比. (保留作图痕迹，不写作法)
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D， E，与对角线OB 相交于点F .当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F 是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.
【答案】（1）解：
设 PN = X，则 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如图所示：

（3）解：①当∠OED = 90°时， OE = DE， 设 E(1，k)
易证△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此时在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
故此时 D 是 AB 的中外分点
在 OB 上，
联立
作
故 F 是 OB的中外分点
②当∠ODE = 90°时， OD = DE， 设E(1，k)
易证
∵D在 上，故
此时在 BC 上，
则
∴E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
则
故 D是 AB的中外分点
此时在OB 上， 可得 联立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分点.
【知识点】反比例函数的概念；尺规作图-垂线；反比例函数-动态几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）用中外比定义建立方程，通过设元、解方程并结合线段长度实际意义（为正 ）取舍，得到PN长。
（2）作线段AB的垂线并截取等长线段，连接AD并在AB上截取等长线段，确定中外比点C。
（3）通过设点坐标，利用反比例函数、等腰直角三角形性质推导线段比例，最终验证是否符合中外比定义，实现对D、E、F是否为中外比点的探究 。
十、变式1[基础]
22．（2024八下·萧山期末）如图，点是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点，点的中点，设点的坐标为．
（1）的　 　函数，并加以说明填“一次”或“反比例”
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）反比例
（2）解：当时，求得，
当时，求的取值范围是
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）作轴于点，点是的中点，设点的坐标为，
，
点是反比例函数图象上的一个动点，
，
，
是的反比例函数，
故答案为：反比例；=
【分析】（1）先根据题意得到，进而代入即可得到，从而得到是的反比例函数；
（2）先根据题意求出时，的值，进而根据反比例函数的图象即可求解。
23．如图，点A 在第一象限内，AB⊥x轴于点 B，反比例函数 的图象分别交 AO，AB 于点C，D.已知点 C的坐标为(2，2)，BD=1.
（1）求 k 的值及点 D 的坐标.
（2）已知点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，直接写出点 P 的横坐标x的取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数图象经过点C（2，2），
∴，解得k=4.
∴ 反比例函数解析式为.
又∵BD=1，∴点D 的纵坐标为1，
将y=1代入中，则x=4.
∴点D的坐标为(4，1).
∴k的值为4，点 D的坐标为(4，1).
（2）2≤x≤4.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）∵点C（2，2），点D(4，1），点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，
∴点 P 的横坐标x的取值范围2≤x≤4.
【分析】 (1)、 根据反比例的函数图象经过点C，将C代入反比例的解析式中可求出k，得到反比例函数表达式，再把y=1代入到表达式中即可求出点D坐标.
(2)、根据点C、点D的横坐标，直接得到P 的横坐标x的取值范围即可.
24．（2025·乐山）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（m，1）、B（﹣1，n）．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若在x轴上存在点P（a，0），使得△ABP的面积为6，求a的值．
【答案】（1）解：∵点A（m，1）、B（﹣1，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，
∴1＝m﹣1，n＝﹣1﹣1＝﹣2，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴A（2，1）、B（﹣1，﹣2），
k＝2，
∴反比例函数解析式为y
（2）解：如图，由一次函数y＝x﹣1可知C（1，0），则PC＝|1﹣a|，
∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC|1﹣a||1﹣a|＝6，
解得a＝﹣3或5
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）点A、B再一次函数图象上，则它们的坐标满足一次函数解析式，故可求出m=2，n=-2，再将A(2，1)代入反比例函数即可求得k=2；
（2）先求出直线AB与x轴的交点坐标为C(1，0)，则，将的面积分为与的面积和，在中，以PC为底，则高为1，在中，以PC为底，则高为2，列出关于a的方程，求解即可。
十一、变式2[巩固]
25．（2024八下·义乌月考）如图1，正方形ABCD中，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点．
（1）求证：；
（2）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（3）如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点A、C、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°=∠COD，
∴∠DCO+∠CDO=∠CDO+∠ADF，
∴∠DCO=∠ADF，
∵ ，
∴∠AFD=∠DOC=90°.
在△DCO和△ADF中，
∴；
（2）解：∵．
∴OC=2，OD=3.
∵，
∴FD=CO=2，AF=DO=3，
∴A(-3，5).
∵点A在反比例函数上，设解析式为：，
∴k=-3×5=-15.
∴.
∵BG⊥x轴于点G，易证.
∴CG=DO=3，
∴点G（-5，0）.
∵点E在上，点E横坐标为-5，
∴y=3，
∴E(-5，3)
（3）解：点Q的横坐标为或3或或

【知识点】三角形全等的判定-AAS；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形.理由如下：
设直线AE的解析式为y=mx+n，把A (-3，5)，E(-5，3)代入，
得
解得：
∴直线AE的解析式为y=x+8
∵直线I//AE，
可设直线I的解析式为y=x+b'，把C(﹣2，0)代入得﹣2+b'=0，
解得：b'=2，
∴直线I的解析式为y=x+2.
∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点，
可设P(m，m+2)，
又A (-3，5)，C(-2，0)，
∴.
①当AC为一边，AP⊥CQ时，AC=CP=PQ=AQ，如图所示：
根据AC=CP得：
解得：，.
∴，
根据菱形和平移的性质，C平移到点A时，P平移到点Q，根据平移性质：
当，C平移到点A时横坐标－1，纵坐标+5，可得，
即点Q的横坐标为.
当，C平移到点A时横坐标－1，纵坐标+5，可得，
即点Q的横坐标为.
②当AC为一边，AQ⊥CP时，PA=AC=CQ=PQ，如图：
根据PA=AC得：，
解得：m=±2，
故，（与点C重合，舍去）.
根据平移性质：A平移到点P时，C平移到点Q，
A平移到点P时横坐标+，纵坐标－1，可得Q3(-2+5，0-1)，
即点Q的横坐标为3.
③当AC为对角线时，AC⊥PQ时，PA=PC=CQ=QA，如图：
根据PA=PC得：
解得：，
∴，点P平移到点C时横坐标减，纵坐标减，可得，
即点Q的横坐标为.
综上所述：点Q的横坐标为或3或或.
故答案为：点Q的横坐标为或3或或.
【分析】(1 )由正方形性质可得AD=CD，∠ADC=90°，利用同角的余角相等得出∠ADF=∠DCO，再利用A AS即可证得结论；
(2)先求得A (-3，5) ，代入 ，求得k=-15，即可得到解析式；把x=-5代入，即可求得点E坐标；
( 3 )利用待定系数法可得直线AE的解析式为y= x+8，进而可得直线l的解析式为y=x+2，设P (m，m+2)，分三种情况：当AC为一边，AP⊥CQ时；当AC为一边，AQ⊥CP时；当AC为对角线时，AC⊥PQ时；分别求出点P的坐标，再根据菱形的性质和图形平移的性质解答即可.例如：得菱形ACPQ时，C平移到A的同时，P平移到Q，根据点平移时坐标变化规律即可得到对应的点Q的坐标.
26．（2024八下·金华月考）如图1，四边形ABCD为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
（1）求点的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
（3）在(2)的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接与出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：过点C作轴，交于点H，
∵，∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴，
∴；
∴
（2）解：过点D作轴，，，如图所示，
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴当时，，即点A向右平移个单位得到点，
∴即；
（3）解：由（2）得点A向右平移个单位得到点，
∴，
∴，
①当时，则且，
∴，，即，；
②当时，此时点与点Q关于y轴对称，；
③当为对角线时，此时，
设，
∴，
解得，即，且，
∴，即，
综上可得：点Q的坐标为或或或．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质和角的关系得出，根据全等三角形的判定AAS证出进而得到，，求出点C的坐标即可；
（2）先证出得到四边形为矩形，进而求出，再根据点恰好落在反比例函数图象上，求出点的坐标即可；
（3）分当时、当时、当为对角线时三种情况分析即可.
27．（2025·东莞模拟）如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．
（1）求的正切值；
（2）若平分，求出点的坐标；
（3）若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点．
【答案】（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，
（2）解：过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及点D是BC的中点，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出反比例函数解析式；利用点E在反比例函数图象上，可得到点E的坐标，即可求出EC的长，然后求出tan∠EDC的值.
（2）过点作于点，连接，利用角平分线的性质得出，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可推出，同理证明得到，设点坐标为，可表示出MF的长，在中利用勾股定理可求出b的值，即可得到点F的坐标.
（3） 设点坐标为，运用直角三角形的面积公式求出，运用割补法求出，再根据列出方程求出c，从而证明是线段的中点．
（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，；
（2）过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为；
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点．
十二、变式3[提高]
28．（2024·山亭模拟）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
（1）若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
（3）根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；
（4）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【答案】（1）不存在
（2）小明同学思路：设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∴
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
（3）不存在，设新矩形长和宽为、，则依题意，从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）存在，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
【分析】（1）根据题意得到正方形的周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，进而即可得到两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根据图象得出结论；
（3）根据（1）结合题意画出函数的图象，进而即可求解；
（4）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）小明同学思路：
设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∴
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
（3）设新矩形长和宽为、，则依题意，
从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：
设方程的两根为，
当时，，
解得：或(舍)，
∴时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
29．（2024九上·宝安模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
（1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
（2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【分析】（1）根据题意运用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合“友好函数”的定义即可求解；
（2）先运用待定系数法得到，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定结合题意即可得到，，再根据勾股定理即可求出m，从而得到B点坐标，再运用待定系数法即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，即，当时，即，再根据矩形的周长即可求解；
根据题意分类讨论：当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，进而根据矩形的面积即可得到，从而相减即可求解。
（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
30．（2023九上·石家庄期中）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．
（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为
①当时，求的值；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：过A作AQ⊥x轴于Q，
∵A在反比例函数上，
∴a==4，
∴A点坐标为（-1，4），
又∵B（-4，0），
∴BQ=3，
∴AB==5，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=5，
∴D（4，4），
又∵D在反比例函数（x>0）上，
∴k=4×4=16，
∴反比例函数的表达式为
（2）（-3，）
（3）解：①∵B（-4，0）
∴OB=4，
∵MN//x轴，P（0，m），
∴M（，m），N（，m）
∴
∵MN=OB
∴MN==4
∴m=5
②（0，4+）或（0，4-）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解（2）根据题意，设y=kx+b
得到方程组
解得x=-3，x=-1（不符题意舍去）
代入x=-3得
点E的坐标为（-3，）
故填：（-3，）
解：(3)②A（-1，4），E（-3，），
G（0，4），如图可知AG=1，
解得
【分析】（1）已知A的横坐标，代入已知反比例函数可得纵坐标，D的纵坐标与A的相同，根据AB坐标可求AB的长，根据菱形性质AD的长相同，D的横坐标可求；将D的坐标代入未知反比例函数，求k， 反比例函数的表达式即可求；
（2）点E在直线AB上，又在已知反比例函数图象上，根据解析式解方程组即可；
（3）设出点M和N的坐标，纵坐标是m，根据反比例函数计算出横坐标；根据MN=4的等量关系列出等式，求解即可；E点坐标在上一问已经求得，用两点间距离公式可以求出AE的长，根据AE=AP列出等式，求解即可，有实数解则存在P点，如果没有实数解，则不存在P点。
1 / 1【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~23题
一、原题21
1．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
二、变式1基础
2．（2025·徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）
3．（2025·宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
4．（2025·双流模拟）小明寒假去乡下爷爷家，看到爷爷家房屋结构如图所示，好奇的小明想测量房屋最高点到地面的距离．他发现为的中点，并根据实际情况测量出房屋的宽度为米，屋檐的长为米，屋檐与地面平行，并在与，处于同一直线的点处测得，请根据以上信息，帮小明求出到地面的距离(结果精确到米；参考数据：，，，，，)．
三、变式2巩固
5．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
6．（2025·织金模拟）定滑轮的功能是改变力的方向，当牵引重物时，可使用定滑轮将施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学发现校园内工人师傅利用定滑轮运输物体．于是，他们把“测量定滑轮距地面的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告：
课题 测量定滑轮距地面的高度（忽略定滑轮的大小）
测量工具 测角仪、皮尺等
测量示意图 说明：小组成员站在处，拉动绳子，使得物体移动，且点，，，，，均在同一竖直平面内，，，在同一直线上
测量数据 绳子与水平面的夹角 物体的高度 物体移动后，绳子收回的长度
物体移动前物体移动后
…
请根据活动报告，求定滑轮距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
7．（2025·山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
四、变式3提高
8．（2025·乌当模拟）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把平开窗的滑撑支架抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中的长度为______，滑动轨道的长度是______．
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果精确到0.1）
参考数据：）
9．（2025·遵义模拟）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表：
项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度
测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪．
测量情况 情况一 情况二
测量方案示意图
说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上
数据 ，
（1）求“多彩贵州吉祥蛇”的高度；
（2）求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，）
10．（2025·临澧模拟）今年春晚，秧的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用．
活动主题 测试机器人宇树爬坡（坡角）的能力
测量工具 尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象
测量方案与数据信息 ①机器人的小腿的长度为，大腿上点与点的连线与水平面垂直； ②坡角； ③当机器人行走至点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿与小腿的夹角，； ④参考数据：．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）求点到水平面的距离；
（2）计算大腿的长度（结果精确到）
五、原题22
11．（2025·广东） 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
六、变式1（基础）
12．（2025八上·深圳开学考）如图， 在△ABC中， 点D是BC上一点， AB=10， BD=6，AD=8， AC=17， 求△ABC的面积.
13． 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°。求四边形ABCD的面积。
14．（2025八下·茂名期末）如图，已知在△ABD中，∠ABD=90°，AB=8，AD=17，BC=9，CD=12，求△BCD的面积.
七、变式2（巩固）
15．（2024八上·乐平月考）与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
12 35 37
（1）根据表1中的规律，当时，______，______．
（2）仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______，，b，c之间的数量关系是______．
（3）我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在中，当，时，求直角边b的值．
16．（2024八下·涿州月考）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22 1 32 1 42 1 52 1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=_______，b=_______，c=_______．
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
(3)观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数．
17．（2021八下·淮南期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n 2 3 4 5 6 ....
a 4 5 8 10 12 .....
b 3 8 15 24 35 .....
c 5 10 17 26 37 ......
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
八、变式3（提高）
18．（2023八上·梁溪期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
若两直角边为，斜边为．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；
（2）当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；
（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______．
19．（2020八上·达县期末）勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
　
1
2
3
4
… … … …
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现 ， ， 之间的关系吗？
（3）对于偶数，这个关系是否成立？
（4）你能用以上结论解决下题吗？
20．（2020八上·景县期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 ：等等都是勾股数．
（1）如果 是一组勾股数，即满足 ，则 为正整数）也是一组勾股数．如； 是一组勾股数，则　 　也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出 公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的 是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当 ， 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数　 　．
（4）观察 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，并且勾为 时股 ，弦 ；勾 为时，股 ，弦 ；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
①如果勾为7，则股 　 　；弦 　 　；
②如果用 且 为奇数）表示勾，请用含有 的式子表示股和弦，则股 　 　；弦 　 　；
③观察 ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 起也没有间断过．则 　 　；请你直接用 为偶数且 ）的代数式表示直角三角形的另一条直角边　 　；和弦的长　 　．
九、原题23
21．（2025·广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
（1）如图1， 点P是线段MN的中外比点， MP＞PN， MN=2， 求PN的长.
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比. (保留作图痕迹，不写作法)
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D， E，与对角线OB 相交于点F .当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F 是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.
十、变式1[基础]
22．（2024八下·萧山期末）如图，点是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点，点的中点，设点的坐标为．
（1）的　 　函数，并加以说明填“一次”或“反比例”
（2）当时，求的取值范围．
23．如图，点A 在第一象限内，AB⊥x轴于点 B，反比例函数 的图象分别交 AO，AB 于点C，D.已知点 C的坐标为(2，2)，BD=1.
（1）求 k 的值及点 D 的坐标.
（2）已知点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，直接写出点 P 的横坐标x的取值范围.
24．（2025·乐山）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（m，1）、B（﹣1，n）．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若在x轴上存在点P（a，0），使得△ABP的面积为6，求a的值．
十一、变式2[巩固]
25．（2024八下·义乌月考）如图1，正方形ABCD中，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点．
（1）求证：；
（2）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（3）如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点A、C、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2024八下·金华月考）如图1，四边形ABCD为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
（1）求点的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
（3）在(2)的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接与出点的坐标，若不存在，请说明理由.
27．（2025·东莞模拟）如图，四边形是正方形，为中点，以为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点坐标，过点的反比例函数的图象与边交于点，是线段上的一动点．
（1）求的正切值；
（2）若平分，求出点的坐标；
（3）若的面积为，的面积为．若，证明：是线段的中点．
十二、变式3[提高]
28．（2024·山亭模拟）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
（1）若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
（3）根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；
（4）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
29．（2024九上·宝安模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
（1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
（2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
30．（2023九上·石家庄期中）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．
（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为
①当时，求的值；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
2．【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
设BD=x，则CD=22.2-x，
在Rt△ADB和Rt△ADC中
AD=BDtan∠B=CDtan∠C，
∴xtan34.2°=（22.2-x）tan9.8°，
解之：x=4.44，
∴
答：AC的长约为17.9m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，可表示出CD的长，在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再利用解直角三角形求出AC的长.
3．【答案】解：过点作于点，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此河流的宽度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由于三角形两个内角的度数已知，则可过顶点C作对边AB的垂线段CD构造和，再分别解直角三角形，即利用和的正切函数建立关于CD的一元一次方程并求解即可.
4．【答案】解：如图，过点作于，设交于点，
根据题意，，
为的中点，，
，
，
，
，
在中，（米），
（米），
设，则，
在中，，
同理，在中，
，
∴
解得，
即（米），
（米），
即到地面的距离为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用。
首先利用中点求出BP、EH的长，结合，求出，在中，利用三角函数值可以求出长，在和在分别利用正切公式表示出，，然后利用，求出的长，从而得到结果．
5．【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
6．【答案】解：如图，过点作于点，连接并延长交于点．
根据题意，得，
在中，，
．
在中，，
，
绳子收回的长度为，
，
解得，
．
答：定滑轮距地面的高度约为。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点，连接并延长交于点．根据题意，得，在中，根据正弦函数的定义，可得，同理，在中，根据正弦函数的定义，可得，则，然后解方程即可求出OE的值，最后在根据线段之间的关系：，代入数据即可求解。
7．【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
8．【答案】任务1：8；41；
任务2：过点作交于点，如下图，
依题意得，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴限位器应装在离点的位置．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵四边形始终为平行四边形，，，
∴，
∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上，
∴．
故答案为：8；41.
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出，再计算求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出，再利用锐角三角函数求出CH和OH的值，最后利用勾股定理计算求解即可.
9．【答案】（1）解：根据题意可知：，∴四边形为矩形，
∴，，
中，，
故．
（2）解：过点F作于点，于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，．
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
故水平距离．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由于，则可证明四边形为矩形，则，，再解直角三角形DEH即可；
（2）过点F作于点，于点，可构造，则四边形AH2H1B、AH2FC和CFH1B都是矩形，此时可通过证明得出，再设，则，得出分式方程并求解即可．
（1）解：根据题意可知：，
∴四边形为矩形，
∴，，
中，，
故．
（2）解：过点F作于点，于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∴，．
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
故水平距离．
10．【答案】（1）解：过点作BE⊥AF于点E，如图所示，
由题意得：，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵，，
∴，∠BCE=90°，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
在中，BC=40cm，∠CBG=30°，
cm，cm，
∴cm，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质即可求BE的长；
（2）延长交于点，证明是等边三角形，在中解直角三角形，可求得，的长，即可得AE长，再根据等边三角形的性质和线段的和差即可求得DC长．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，，
∴．
11．【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
12．【答案】解：∵AB=10，BD=6，AD=8，
∴，
∴AD⊥BC；
在 Rt△ADC 中，；
∴△ABC 面积 =
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可得出AD⊥BC，进而根据勾股定理，可得出，再根据三角形面积计算公式，即可得出△ABC 面积 =。
13．【答案】解：如图，
在 中，
是直角三角形，且
=6+30
=36.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可.
14．【答案】解：，，，
.
在中，，
.
.
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在直角 △ABD 中，利用勾股定理计算得到BD，在中利用勾股定理的逆定理判断可得，最后利用面积公式计算即可解答.
15．【答案】（1）60；61
（2）；
（3）
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
16．【答案】（1）n2 1，2n， n2+1；（2）是直角三角形；（3）112+602=612．
【知识点】勾股定理；勾股数；探索数与式的规律
17．【答案】（1）14；48；50
（2）2n；；
（3）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，
n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，
n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，
n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，
∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；
故答案为：14，48，50；
（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；
故答案为：2n，n2-1，n2+1；
【分析】（1）根据表格数据找出规律，即可求解；
（2）由（1）规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；
（3）由2n＜n2-1＜n2+1，可先求出 a2+b2，再求出c2，根据勾股定理的逆定理进行判断即可.
18．【答案】（1）60，61
（2）
（3），
（4）25或52或101或29
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
19．【答案】（1）解：由表中信息可得 ， ， ，
故答案为 ， ， ．
（2）解：由于 ，
，
∵
即 ．
（3）解：令n=2k，则
， ，
∵
，
由于
即 ，
∴对于偶数，这个关系成立
（4）解：∵
由（2）中结论可知
∴
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）观察归纳，将算式和序号联系在一起得出结论；（2）根据（1）的结论，将a、b、c进行加减运算，发现其关系即可；（3）利用代数式的运算方法及法则计算即可；（4）根据（2）的结论代入计算即可。
20．【答案】（1）6，8，10
（2）证明：
，
，
满足以上公式的 是一组勾股数
（3）
（4）；；；；80；；弦
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数；定义新运算
【解析】【解答】（1）6，8，10（答案不唯一）；·（3）∵ ＝
∴满足以上公式的 是一组勾股数；
当 时， ，
∴ 构成一组勾股数．（答案不唯一）（4）①依据规律可得，如果勾为 ，
则股 ，
弦 ，
②如果勾用 ，且 为奇数）表示时，
则股 ，
弦
③b＝80．根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数且 ），
则另一条直角边
弦
【分析】（1）根据勾股定理 ，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根据完全平方公式求出 、 根据勾股定理逆定理即可求证；（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；（4）①根据规律即求解；②如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝ ，弦＝ ；③根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数且 ），根据所给3组数据找出规律即可得结论．
21．【答案】（1）解：
设 PN = X，则 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如图所示：

（3）解：①当∠OED = 90°时， OE = DE， 设 E(1，k)
易证△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此时在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
故此时 D 是 AB 的中外分点
在 OB 上，
联立
作
故 F 是 OB的中外分点
②当∠ODE = 90°时， OD = DE， 设E(1，k)
易证
∵D在 上，故
此时在 BC 上，
则
∴E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
则
故 D是 AB的中外分点
此时在OB 上， 可得 联立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分点.
【知识点】反比例函数的概念；尺规作图-垂线；反比例函数-动态几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）用中外比定义建立方程，通过设元、解方程并结合线段长度实际意义（为正 ）取舍，得到PN长。
（2）作线段AB的垂线并截取等长线段，连接AD并在AB上截取等长线段，确定中外比点C。
（3）通过设点坐标，利用反比例函数、等腰直角三角形性质推导线段比例，最终验证是否符合中外比定义，实现对D、E、F是否为中外比点的探究 。
22．【答案】（1）反比例
（2）解：当时，求得，
当时，求的取值范围是
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）作轴于点，点是的中点，设点的坐标为，
，
点是反比例函数图象上的一个动点，
，
，
是的反比例函数，
故答案为：反比例；=
【分析】（1）先根据题意得到，进而代入即可得到，从而得到是的反比例函数；
（2）先根据题意求出时，的值，进而根据反比例函数的图象即可求解。
23．【答案】（1）解：∵反比例函数图象经过点C（2，2），
∴，解得k=4.
∴ 反比例函数解析式为.
又∵BD=1，∴点D 的纵坐标为1，
将y=1代入中，则x=4.
∴点D的坐标为(4，1).
∴k的值为4，点 D的坐标为(4，1).
（2）2≤x≤4.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）∵点C（2，2），点D(4，1），点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，
∴点 P 的横坐标x的取值范围2≤x≤4.
【分析】 (1)、 根据反比例的函数图象经过点C，将C代入反比例的解析式中可求出k，得到反比例函数表达式，再把y=1代入到表达式中即可求出点D坐标.
(2)、根据点C、点D的横坐标，直接得到P 的横坐标x的取值范围即可.
24．【答案】（1）解：∵点A（m，1）、B（﹣1，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，
∴1＝m﹣1，n＝﹣1﹣1＝﹣2，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴A（2，1）、B（﹣1，﹣2），
k＝2，
∴反比例函数解析式为y
（2）解：如图，由一次函数y＝x﹣1可知C（1，0），则PC＝|1﹣a|，
∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC|1﹣a||1﹣a|＝6，
解得a＝﹣3或5
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）点A、B再一次函数图象上，则它们的坐标满足一次函数解析式，故可求出m=2，n=-2，再将A(2，1)代入反比例函数即可求得k=2；
（2）先求出直线AB与x轴的交点坐标为C(1，0)，则，将的面积分为与的面积和，在中，以PC为底，则高为1，在中，以PC为底，则高为2，列出关于a的方程，求解即可。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°=∠COD，
∴∠DCO+∠CDO=∠CDO+∠ADF，
∴∠DCO=∠ADF，
∵ ，
∴∠AFD=∠DOC=90°.
在△DCO和△ADF中，
∴；
（2）解：∵．
∴OC=2，OD=3.
∵，
∴FD=CO=2，AF=DO=3，
∴A(-3，5).
∵点A在反比例函数上，设解析式为：，
∴k=-3×5=-15.
∴.
∵BG⊥x轴于点G，易证.
∴CG=DO=3，
∴点G（-5，0）.
∵点E在上，点E横坐标为-5，
∴y=3，
∴E(-5，3)
（3）解：点Q的横坐标为或3或或

【知识点】三角形全等的判定-AAS；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形.理由如下：
设直线AE的解析式为y=mx+n，把A (-3，5)，E(-5，3)代入，
得
解得：
∴直线AE的解析式为y=x+8
∵直线I//AE，
可设直线I的解析式为y=x+b'，把C(﹣2，0)代入得﹣2+b'=0，
解得：b'=2，
∴直线I的解析式为y=x+2.
∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点，
可设P(m，m+2)，
又A (-3，5)，C(-2，0)，
∴.
①当AC为一边，AP⊥CQ时，AC=CP=PQ=AQ，如图所示：
根据AC=CP得：
解得：，.
∴，
根据菱形和平移的性质，C平移到点A时，P平移到点Q，根据平移性质：
当，C平移到点A时横坐标－1，纵坐标+5，可得，
即点Q的横坐标为.
当，C平移到点A时横坐标－1，纵坐标+5，可得，
即点Q的横坐标为.
②当AC为一边，AQ⊥CP时，PA=AC=CQ=PQ，如图：
根据PA=AC得：，
解得：m=±2，
故，（与点C重合，舍去）.
根据平移性质：A平移到点P时，C平移到点Q，
A平移到点P时横坐标+，纵坐标－1，可得Q3(-2+5，0-1)，
即点Q的横坐标为3.
③当AC为对角线时，AC⊥PQ时，PA=PC=CQ=QA，如图：
根据PA=PC得：
解得：，
∴，点P平移到点C时横坐标减，纵坐标减，可得，
即点Q的横坐标为.
综上所述：点Q的横坐标为或3或或.
故答案为：点Q的横坐标为或3或或.
【分析】(1 )由正方形性质可得AD=CD，∠ADC=90°，利用同角的余角相等得出∠ADF=∠DCO，再利用A AS即可证得结论；
(2)先求得A (-3，5) ，代入 ，求得k=-15，即可得到解析式；把x=-5代入，即可求得点E坐标；
( 3 )利用待定系数法可得直线AE的解析式为y= x+8，进而可得直线l的解析式为y=x+2，设P (m，m+2)，分三种情况：当AC为一边，AP⊥CQ时；当AC为一边，AQ⊥CP时；当AC为对角线时，AC⊥PQ时；分别求出点P的坐标，再根据菱形的性质和图形平移的性质解答即可.例如：得菱形ACPQ时，C平移到A的同时，P平移到Q，根据点平移时坐标变化规律即可得到对应的点Q的坐标.
26．【答案】（1）解：过点C作轴，交于点H，
∵，∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴，
∴；
∴
（2）解：过点D作轴，，，如图所示，
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴当时，，即点A向右平移个单位得到点，
∴即；
（3）解：由（2）得点A向右平移个单位得到点，
∴，
∴，
①当时，则且，
∴，，即，；
②当时，此时点与点Q关于y轴对称，；
③当为对角线时，此时，
设，
∴，
解得，即，且，
∴，即，
综上可得：点Q的坐标为或或或．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质和角的关系得出，根据全等三角形的判定AAS证出进而得到，，求出点C的坐标即可；
（2）先证出得到四边形为矩形，进而求出，再根据点恰好落在反比例函数图象上，求出点的坐标即可；
（3）分当时、当时、当为对角线时三种情况分析即可.
27．【答案】（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，
（2）解：过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及点D是BC的中点，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出反比例函数解析式；利用点E在反比例函数图象上，可得到点E的坐标，即可求出EC的长，然后求出tan∠EDC的值.
（2）过点作于点，连接，利用角平分线的性质得出，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可推出，同理证明得到，设点坐标为，可表示出MF的长，在中利用勾股定理可求出b的值，即可得到点F的坐标.
（3） 设点坐标为，运用直角三角形的面积公式求出，运用割补法求出，再根据列出方程求出c，从而证明是线段的中点．
（1）解：连接，
点的坐标为，
．
四边形是正方形，
．
又为的中点，
，
点的坐标为．
过点的反比例函数．
得，
解得，
．
点在上，
点得坐标为．
又点在反比例函数上，
，
解得，
为，
，
在中，；
（2）过点作于点，连接，
平分，，
，
．
在与中
，
，
．
在与中
，
．
设点坐标为，
．
在中
．
，
，
，
解得，
为；
（3）证明：设点坐标为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为的中点．
28．【答案】（1）不存在
（2）小明同学思路：设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∴
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
（3）不存在，设新矩形长和宽为、，则依题意，从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）存在，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
【分析】（1）根据题意得到正方形的周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，进而即可得到两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根据图象得出结论；
（3）根据（1）结合题意画出函数的图象，进而即可求解；
（4）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）小明同学思路：
设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∴
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
（3）设新矩形长和宽为、，则依题意，
从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：
设方程的两根为，
当时，，
解得：或(舍)，
∴时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
29．【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【分析】（1）根据题意运用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合“友好函数”的定义即可求解；
（2）先运用待定系数法得到，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定结合题意即可得到，，再根据勾股定理即可求出m，从而得到B点坐标，再运用待定系数法即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，即，当时，即，再根据矩形的周长即可求解；
根据题意分类讨论：当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，进而根据矩形的面积即可得到，从而相减即可求解。
（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
30．【答案】（1）解：过A作AQ⊥x轴于Q，
∵A在反比例函数上，
∴a==4，
∴A点坐标为（-1，4），
又∵B（-4，0），
∴BQ=3，
∴AB==5，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=5，
∴D（4，4），
又∵D在反比例函数（x>0）上，
∴k=4×4=16，
∴反比例函数的表达式为
（2）（-3，）
（3）解：①∵B（-4，0）
∴OB=4，
∵MN//x轴，P（0，m），
∴M（，m），N（，m）
∴
∵MN=OB
∴MN==4
∴m=5
②（0，4+）或（0，4-）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解（2）根据题意，设y=kx+b
得到方程组
解得x=-3，x=-1（不符题意舍去）
代入x=-3得
点E的坐标为（-3，）
故填：（-3，）
解：(3)②A（-1，4），E（-3，），
G（0，4），如图可知AG=1，
解得
【分析】（1）已知A的横坐标，代入已知反比例函数可得纵坐标，D的纵坐标与A的相同，根据AB坐标可求AB的长，根据菱形性质AD的长相同，D的横坐标可求；将D的坐标代入未知反比例函数，求k， 反比例函数的表达式即可求；
（2）点E在直线AB上，又在已知反比例函数图象上，根据解析式解方程组即可；
（3）设出点M和N的坐标，纵坐标是m，根据反比例函数计算出横坐标；根据MN=4的等量关系列出等式，求解即可；E点坐标在上一问已经求得，用两点间距离公式可以求出AE的长，根据AE=AP列出等式，求解即可，有实数解则存在P点，如果没有实数解，则不存在P点。
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