资源简介

【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·贵州）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲队员成绩的众数为　 　环，乙队员成绩的中位数为　 　环；
（2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？　 　（填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是　 　（填“平均数”“众数”或“中位数”）；
（3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可）
【答案】（1）8；7
（2）甲；平均数
（3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环，
由（2）可得，
∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，
∴补全丙队员的成绩如下：
此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数均，均大于甲队员．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环；
乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环；
故答案为：8；7.
（2）解：，
，
，
，
故，，
∴甲队员射击的整体水平高一些，
如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、，
此时平均数为，众数为，中位数为，
故会发生改变的统计量是平均数；
故答案为：甲；平均数.
【分析】（1）依据众数（出现次数最多 ）、中位数（排序后中间值 ）的定义，统计甲、乙成绩的次数，计算得结果.
（2）通过计算平均数比较整体水平；分析新增数据对平均数、众数、中位数的影响.
（3）先明确甲的统计量（众数、中位数、平均数均为 ），再构造丙的成绩，使丙的三个统计量均大于，通过调整环次数满足条件.
二、变式1基础
2．（2025·攀枝花） 中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图．
（1）根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表；
（2）近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？
【答案】（1）解：列表如下：
第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届
32块 51块 38块 26块 38块 40块
（2）解：这组数据中38出现2次，所以众数为38块；
这组数据的第3、4个数据分别为38、38，
所以这组数据的中位数为=38（块）．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可.
3．（北师大版数学八年级上册第六章 数据的分析 基础过关测试卷）em>. 某数学兴趣小组依据所学的统计知识将部分同学一天内的零花钱金额数据收集整理，并绘制成了如图所示的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为　 　人，扇形图中的a，m分别为　 　， 　 　；
（2）求统计的这组零花钱金额数据的众数和中位数.
【答案】（1）30；20；144
（2）解：∵这组零花钱金额数据中10元的人数最多∴这组零花钱金额数据的众数是10.
将这组零花钱金额数据按照从小到大排列，由4+12=16可知：
位列中间第15、16位的数据都是10元.
∴这组零花钱金额数据的中位数是10.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】解：(1)由题意可得：本次抽取的学生人数为44+12+8+6=30。
扇形图中20元的圆心角为： ，则a=20
扇形图中10元的圆心角为：
故答案为：30；20；144；
【分析】（1）先求出这组数据的个数，然后利用20元的人数除以总人数求出百分比得到a的值，利用10元的人数除以总人数乘以360°分别计算圆心角解答；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可.
4．（2024·嘉兴模拟）某校篮球俱乐部共招收20名学员．为了解学员的罚球情况，教练进行了第一次罚球测试（每位学员在罚球线各自罚球5个，其中命中4个及以上为优秀），经过两周训练，进行第二次罚球测试，将这两次罚球命中球数进行整理、分析，并制作成如下统计图表：
训练前后两次罚球测试命中球数条形统计图
训练前后两次罚球测试命中球数统计表
平均数 中位数 众数 优秀率
第一次罚球测试（个） 2.5 a 3 15%
第二次罚球测试（个） 　 3 3 C
根据以上信息回答问题：
（1）求a，b，c的值．
（2）你认为学员的罚球训练是否有效？请用相关统计量说明理由．
【答案】（1）解：解：（1）由统计图可知：第一次罚球测试成绩处于中间的两个数据为和，则中位数，
第二次罚球成绩的平均数（个），
优秀率：，
∴；；；
（2）解：有效．①从平均数的角度看，训练前为2.5个，训练后为3.1个，所以训练有效；
②从中位数的角度看，训练前为2.5个，训练后为3个，所以训练有效；③从优秀率的角度看，训练前为15%，训练后为35%，所以训练有效．
【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（）利用平均数、中位数、优秀率的定义，即可得到答案；
（）根据平均数、中位数、众数以及优秀率的意义解答即可.
三、变式2巩固
5．（2025八下·新昌期末）学校要进行宪法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息：
平均数/分 众数/分 中位数/分
甲成绩 85.5 80 m
乙成绩 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：=　 　， =　 　；
（2） 甲、乙两名学生成绩的方差分别为，，请判断　 　（填“>”“<”或“=”）；
（3） 根据（1）、（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由.
【答案】（1）85；87
（2）>
（3）解：选甲、乙的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大.
选乙，平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定.(答案不唯一)
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：(1)在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数m=85；
把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数，
故答案为：85；87.
(2)由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，所以.
故答案为：>.
【分析】(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(3)根据众数、方差和平均数的定义解答即可.
6．（2025八下·杭州期末）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下：
小聪：76，80，79，85，80；
小亮：77，79，81，82，81．
李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）．
平均成绩 中位数 众数
小聪 a 80 c
小亮 80 b 81
（1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ．
（2）李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差S2＝8.4，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差．
（3）根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由．
【答案】（1）80；81；80；
（2）李老师计算小亮5次测试成绩的方差为：[（77﹣80）2+（79﹣80）2+2×（81﹣80）2+（82﹣80）2]＝3.2；
（3）选小亮参加知识竞赛，理由如下：
因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：(1)平均值a=，小亮成绩的中间值为81，故b=81，小聪得分中80分出现了2次，故众数c=80.
【分析】(1)由数据可直接计算平均值，直接可得中位数与众数；
(2)直接由方差公式可得小亮成绩的方差；
(3)可比较方差知成绩的稳定性的角度进行判断.
7．（2025·定海模拟）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示（为整数）共分成四组：．；．；．；．．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 92 94 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，的值：______，______，______．
（2）由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有______人．
（3）若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数．
【答案】（1）
（2）4
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）；
；
∵出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
∴第5个和第6个数据均为，
又∵八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
∴八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的概念进行求解即可；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）利用样本估算总体的思想进行求解即可．
（1）解：；
；
出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
得到第5个和第6个均为，
而八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
故八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
四、变式3提高
8．（2025八下·温州月考）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数），
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表，
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
　 平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2） a=　 　，b=　 　.
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是　 　班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有48人且乙班获得一等奖的人数比甲班少64%，试估计乙班班级人数.
【答案】（1）
（2）7.1；7.5
（3）乙
（4）解：设乙班共有x人，则由题意知：
解方程得：
答：乙班大约有29人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；条形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）见解析；
（2）解：；
甲班的中位数为：；
（3）甲班的中位数为：，乙班的中位数为：，且小明的7分在中游偏上
小明应该在乙班.
【分析】（1）直接画出条形统计图即可；
（2）求乙班抽样人数的平均数，可借助加权平均值计算公式直接计算；求甲班抽样人数的中位数，由于成绩已按照从小到大的顺序排列，因为样本容量为10，则中位数等于第5名和第6名同学成绩的平均值；
（3）由于两班学生的平均成绩相等，因此可利用中位数来判断，显然甲班的中位数是7.5，乙班的中位数是6.5，则得到7分的小明同学在乙班的成绩相对靠前；
（4）观察条形统计图和频方分布图知，甲班获奖人数占全班人数的，乙班获奖人数占全班人数的，则乙班获奖人数为甲班获奖人数的，由题意列方程并解方程即可.
9．（2024·温州模拟）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
【答案】（1）83.5
（2）①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）88
（4）解：因为成绩85分及以上有20人，
所以300= 120(人)，
所以八年级达到优秀的人数为120人
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，
∴m= = 83.5(分)；
故答案为： 83.5；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50=15(人)
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛，
所以至少达到88分；
故答案为： 88；
【分析】(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据七、八年级的中位数解答即可；
(3)根据题意可得在抽取的学生中必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图解答即可；
(4)用样本的优秀率乘以300解答即可．
10．（2024八下·鄞州期中）为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为　 　 ，图1中m的值是 　 　；
（2）本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为 　 　，中位数为　 　 ；
（3）补全条形统计图；
（4）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男“引体向上”次数在8次及以上的人数．
【答案】（1）40；15
（2）7；8
（3）解：
（4）解：280×=154（人）
答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上人数有154人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为4÷10%＝40（人），
m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：40，15；
（2）样本中“引体向上”次数为7次的人数为：40﹣6﹣10﹣8﹣4＝12（人），
∴众数为7次，中位数为＝8（次）．
故答案为：7，8；
【分析】（1）根据扇形图和条形图中10次男生人数是4，所占比例是10%计算出样本量，再求出m即可.
（2）根据众数，中位数的定义求出即可.
（3）根据求出数据补全即可.
（4）根据样本数据估计总体求解即可.
五、原题20
11．（2025·贵州）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 利用垂直平分线的性质（中点 + 垂直 → 垂直平分 ），结合菱形判定（邻边相等的平行四边形 ），证明结论.
（2）通过等腰三角形EB = EF，CE = CF的角关系，结合直角三角形BE⊥AC求角度；再利用菱形性质（边相等、平行 ）和等边三角形判定，推导线段长度；最后用三角形面积公式计算.
六、变式1（基础）
12．（2025八下·海宁月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点.
求证：四边形OBEC是菱形.
【答案】证明：∵BE//AC，CE//DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，由菱形的判定方法即可得出结论.
13．（2024·宁波模拟）已知： 如图，在中，点，分别在，上，且平分． 若，连结．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵DE=CF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，推得AE=BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABFE是平行四边形，根据从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠FBE，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠EBF，推得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得出AB=AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边都相等的四边形是菱形即可证明.
14．求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形.（要求写出已知、求证和证明）
【答案】解：已知：四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连结AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，HG=AC，
∴EF=FG=HG=EH，即四边形EFGH是菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【分析】先依据中位线定理，得到EF、FG、GH、EH分别等于相应对角线的一半，再根据矩形的对角线相等，说四边形EFGH的四边相等来说明这个四边形是菱形.
七、变式2（巩固）
15．（2024·浙江）如图 ， 在 Rt 中， 分别为 的中点，连结 并延长至点 ， 且 为直线 上的一个动点．
（1）求证： 四边形 为菱形．
（2）若 ， 菱形 的面积为 24 ， 求 的最小值．
【答案】（1）证明：∵点E为BC的中点，
∴CE=BE，
又∵DE=EF，
∴四边形BFCD是平行四边形.
∵ D，E 分别为 的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CED=∠CBA=90°，即DF⊥CB，
∴四边形BFCD是菱形.
（2）解：连接PF，AF，如图所示：
∵四边形BFCD是菱形，
∴BC与DF互相垂直平分，
∴DP=FP，
∴DP+AP=FP+AP≥AF，当A，P，F三点共线时有DP+AP=AF.
过点F作FG⊥AB交0AB的延长线于点G，
则.
DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，AB=2DE
∴DF=2EF=2DE=AB=6.
∵菱形 的面积为 24 ，AB=6，
∴，
∴BC=8.
∴.
∵DF=2EF=6，
∴EF=3.
∵∠ABC=∠CBG=∠G=∠FEB=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
∴GF=BE=4，BG=EF=3，
∴AG=AB+BG=9，
∴.
∴ 的最小值为
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证明四边形BFCD是平行四边形，再证明DF⊥CB，即可得到结论；
（2）连接PF，AF，根据菱形对角线的性质可得DP=FP，于是有DP+AP=FP+AP≥AF，可表示出AF.过点F作AB的延长线于点G，证明四边形BEFG是矩形，求出BG和GF的长，于是求得AF长，即可得到结论.
16．（2024·浙江模拟）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
是对角线的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再利用线段中点的性质得AO=CO，从而用ASA证△AOF≌△COE，得到AF=CE，最后利用等量的和差关系即可证明DF=BE；
（2）根据（1）可知四边形是平行四边形，利用角平分线的性质得到，根据EG//AC，即可得到，，利用等量代换可得到，再根据等腰三角形的性质得到AE=CE，即可证明四边形是菱形.
17．（2024·杭州模拟）某同学尝试在已知的中利用尺规作出一个菱形，如图所示．
（1）根据作图痕迹，能确定四边形是菱形吗？请说明理由．
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形．
理由：由作图痕迹可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴四边形的面积．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（）由作图可得，，根据平行四边形和平行线的性质可得，则，可得，，再根据菱形的判定得出结论；
（）过点作于，根据，可得，则，，设，则，利用勾股定理构建方程求出，可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可．
八、变式3（提高）
18．（2024八下·诸暨月考）在平行四边形中，，，．
（1）若，则　 　；
（2）如图，当时，求对角线的长（用含的式子表示）；
（3）如图，四边形，四边形都是平行四边形，延长交于点，若，，，，求的长．
【答案】（1）
（2）解：延长，过点作的延长线于点，如图，
∵，
∴，
∴∠CDE=30°.
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，；
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接，如图所示，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，如图：
∵ 平行四边形中，，， a=b=2，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，，BD=2BO，AC⊥BD，，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】（1）当a=b=2时，可得平行四边形ABCD是菱形，根据菱形对角线的性质可求得∠BAC的度数，从而可判定三角形BAC为等边三角形，再结合对角线的性质，即可求得BO长，2BO即BD.
（2）延长，过点作的延长线于点，根据，可得∠DCE=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可求得CE和DE长，利用勾股定理即可表示出BD，代入a=2，可得BD.
（3）过点作，交的延长线于点，连接，参照（2）的计算过程可求得BD长.根据平行四边形的性质，可得AF=DE=1，AF//DE，由AG⊥BE，可得DE⊥BE，在Rt△BED中利用勾股定理即可求得BE长.
19．已知 ．
（1） 如图 1， 平分 ， 求证 ： 四边形 是菱形．
（2） 如图 2， 将 （1） 中的 绕点 逆时针旋转（旋转角小于 ）， 的延长线相交于点 ， 用等式表示 与 之间的数量关系， 并证明．
（3） 如图 3， 将 （1） 中的 绕点 顺时针旋转 （旋转角小于 ）， 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴ 四边形 为平行四边形，
∵，
∴平行四边形 为菱形；
（2）解：，理由如下：
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图， 在 上取点 ， 使 ， 连结 ，
由（1）得，
在 和 中，
，
，
，
，
，，
，
设 ，
，即，
由（1）得，
，
，
又∵，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形对应边相等得，从而根据”等边对等角“、角平分线的定义得，证出，得四边形 为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证结论；
（2）根据全等三角形对应角相等得∠ABC=∠DEC，从而求出∠ACB=∠DEC，接下来利用平角的定义求得∠CEF=∠ACF，利用三角形内角和定理，进行等量代换证得结论；
（3）在 上取点 ， 使 ， 连结 ，利用全等三角形判定定理”SAS“证出，根据全等三角形的性质得，从而利用”等边对等角“、三角形外角性质得，设 ， ，则，接下来利用”等边对等角“、三角形内角和定理得，即可求出.
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD=9 cm，CD= cm，∠B=45°，点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)． ．
（1）求BC边上的高AE的长度．
（2）连结AN，CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形？
（3）作MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB= CD=3cm， 在Rt△ABE中，∠AEB=90 ，∠B=45°，∴设BE=AE=xcm，则有x2+x2 =(3)2，解得x=3，即AE的长度为3cm．
（2）解：∵点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)，
∴AM=CN=t cm．∵AM∥ CN，∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3 cm，EN=(6-t)cm，∴AN2=32+(6-t)2，
∴32+(6-t)2=t2 ，解得t=
故当t为时，四边形AMCN为菱形．
（3）解：∵MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ
为矩形，∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM=CN=tcm，
BE=3 cm，∴AQ=EN=BC -BE -CN=9-3-t=(6-t)cm，
∴QM=|AM-AQ|=|t-(6-t)|=、2t-6|(注：分点Q在点M的左右两种情况)．
∵QN=AE=3 cm，∴|2t-6|=3，解得t=4.5 或t=1.5．
故当t为4.5或1.5时，四边形MPNQ为正方形．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，列算式解答即可；
（2）根据菱形的判定方法，邻边相等的平行四边形为菱形，结合勾股定理，可解答；
（3）根据正方形的判定方法，邻边相等的矩形为正方形，再结合勾股定理可解答，但需要分Q在点M的左右两种情况，所以列式时需加上绝对值.
1 / 1【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·贵州）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲队员成绩的众数为　 　环，乙队员成绩的中位数为　 　环；
（2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？　 　（填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是　 　（填“平均数”“众数”或“中位数”）；
（3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可）
二、变式1基础
2．（2025·攀枝花） 中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图．
（1）根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表；
（2）近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？
3．（北师大版数学八年级上册第六章 数据的分析 基础过关测试卷）em>. 某数学兴趣小组依据所学的统计知识将部分同学一天内的零花钱金额数据收集整理，并绘制成了如图所示的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为　 　人，扇形图中的a，m分别为　 　， 　 　；
（2）求统计的这组零花钱金额数据的众数和中位数.
4．（2024·嘉兴模拟）某校篮球俱乐部共招收20名学员．为了解学员的罚球情况，教练进行了第一次罚球测试（每位学员在罚球线各自罚球5个，其中命中4个及以上为优秀），经过两周训练，进行第二次罚球测试，将这两次罚球命中球数进行整理、分析，并制作成如下统计图表：
训练前后两次罚球测试命中球数条形统计图
训练前后两次罚球测试命中球数统计表
平均数 中位数 众数 优秀率
第一次罚球测试（个） 2.5 a 3 15%
第二次罚球测试（个） 　 3 3 C
根据以上信息回答问题：
（1）求a，b，c的值．
（2）你认为学员的罚球训练是否有效？请用相关统计量说明理由．
三、变式2巩固
5．（2025八下·新昌期末）学校要进行宪法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息：
平均数/分 众数/分 中位数/分
甲成绩 85.5 80 m
乙成绩 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：=　 　， =　 　；
（2） 甲、乙两名学生成绩的方差分别为，，请判断　 　（填“>”“<”或“=”）；
（3） 根据（1）、（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由.
6．（2025八下·杭州期末）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下：
小聪：76，80，79，85，80；
小亮：77，79，81，82，81．
李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）．
平均成绩 中位数 众数
小聪 a 80 c
小亮 80 b 81
（1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ．
（2）李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差S2＝8.4，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差．
（3）根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由．
7．（2025·定海模拟）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示（为整数）共分成四组：．；．；．；．．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 92 94 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，的值：______，______，______．
（2）由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有______人．
（3）若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数．
四、变式3提高
8．（2025八下·温州月考）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数），
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表，
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
　 平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2） a=　 　，b=　 　.
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是　 　班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有48人且乙班获得一等奖的人数比甲班少64%，试估计乙班班级人数.
9．（2024·温州模拟）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
10．（2024八下·鄞州期中）为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为　 　 ，图1中m的值是 　 　；
（2）本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为 　 　，中位数为　 　 ；
（3）补全条形统计图；
（4）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男“引体向上”次数在8次及以上的人数．
五、原题20
11．（2025·贵州）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
六、变式1（基础）
12．（2025八下·海宁月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点.
求证：四边形OBEC是菱形.
13．（2024·宁波模拟）已知： 如图，在中，点，分别在，上，且平分． 若，连结．求证：四边形是菱形．
14．求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形.（要求写出已知、求证和证明）
七、变式2（巩固）
15．（2024·浙江）如图 ， 在 Rt 中， 分别为 的中点，连结 并延长至点 ， 且 为直线 上的一个动点．
（1）求证： 四边形 为菱形．
（2）若 ， 菱形 的面积为 24 ， 求 的最小值．
16．（2024·浙江模拟）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形．
17．（2024·杭州模拟）某同学尝试在已知的中利用尺规作出一个菱形，如图所示．
（1）根据作图痕迹，能确定四边形是菱形吗？请说明理由．
（2）若，，，求四边形的面积．
八、变式3（提高）
18．（2024八下·诸暨月考）在平行四边形中，，，．
（1）若，则　 　；
（2）如图，当时，求对角线的长（用含的式子表示）；
（3）如图，四边形，四边形都是平行四边形，延长交于点，若，，，，求的长．
19．已知 ．
（1） 如图 1， 平分 ， 求证 ： 四边形 是菱形．
（2） 如图 2， 将 （1） 中的 绕点 逆时针旋转（旋转角小于 ）， 的延长线相交于点 ， 用等式表示 与 之间的数量关系， 并证明．
（3） 如图 3， 将 （1） 中的 绕点 顺时针旋转 （旋转角小于 ）， 若 ， 求 的度数．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD=9 cm，CD= cm，∠B=45°，点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)． ．
（1）求BC边上的高AE的长度．
（2）连结AN，CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形？
（3）作MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？
答案解析部分
1．【答案】（1）8；7
（2）甲；平均数
（3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环，
由（2）可得，
∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，
∴补全丙队员的成绩如下：
此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数均，均大于甲队员．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环；
乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环；
故答案为：8；7.
（2）解：，
，
，
，
故，，
∴甲队员射击的整体水平高一些，
如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、，
此时平均数为，众数为，中位数为，
故会发生改变的统计量是平均数；
故答案为：甲；平均数.
【分析】（1）依据众数（出现次数最多 ）、中位数（排序后中间值 ）的定义，统计甲、乙成绩的次数，计算得结果.
（2）通过计算平均数比较整体水平；分析新增数据对平均数、众数、中位数的影响.
（3）先明确甲的统计量（众数、中位数、平均数均为 ），再构造丙的成绩，使丙的三个统计量均大于，通过调整环次数满足条件.
2．【答案】（1）解：列表如下：
第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届
32块 51块 38块 26块 38块 40块
（2）解：这组数据中38出现2次，所以众数为38块；
这组数据的第3、4个数据分别为38、38，
所以这组数据的中位数为=38（块）．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可.
3．【答案】（1）30；20；144
（2）解：∵这组零花钱金额数据中10元的人数最多∴这组零花钱金额数据的众数是10.
将这组零花钱金额数据按照从小到大排列，由4+12=16可知：
位列中间第15、16位的数据都是10元.
∴这组零花钱金额数据的中位数是10.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】解：(1)由题意可得：本次抽取的学生人数为44+12+8+6=30。
扇形图中20元的圆心角为： ，则a=20
扇形图中10元的圆心角为：
故答案为：30；20；144；
【分析】（1）先求出这组数据的个数，然后利用20元的人数除以总人数求出百分比得到a的值，利用10元的人数除以总人数乘以360°分别计算圆心角解答；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可.
4．【答案】（1）解：解：（1）由统计图可知：第一次罚球测试成绩处于中间的两个数据为和，则中位数，
第二次罚球成绩的平均数（个），
优秀率：，
∴；；；
（2）解：有效．①从平均数的角度看，训练前为2.5个，训练后为3.1个，所以训练有效；
②从中位数的角度看，训练前为2.5个，训练后为3个，所以训练有效；③从优秀率的角度看，训练前为15%，训练后为35%，所以训练有效．
【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（）利用平均数、中位数、优秀率的定义，即可得到答案；
（）根据平均数、中位数、众数以及优秀率的意义解答即可.
5．【答案】（1）85；87
（2）>
（3）解：选甲、乙的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大.
选乙，平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定.(答案不唯一)
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：(1)在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数m=85；
把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数，
故答案为：85；87.
(2)由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，所以.
故答案为：>.
【分析】(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(3)根据众数、方差和平均数的定义解答即可.
6．【答案】（1）80；81；80；
（2）李老师计算小亮5次测试成绩的方差为：[（77﹣80）2+（79﹣80）2+2×（81﹣80）2+（82﹣80）2]＝3.2；
（3）选小亮参加知识竞赛，理由如下：
因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：(1)平均值a=，小亮成绩的中间值为81，故b=81，小聪得分中80分出现了2次，故众数c=80.
【分析】(1)由数据可直接计算平均值，直接可得中位数与众数；
(2)直接由方差公式可得小亮成绩的方差；
(3)可比较方差知成绩的稳定性的角度进行判断.
7．【答案】（1）
（2）4
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）；
；
∵出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
∴第5个和第6个数据均为，
又∵八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
∴八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的概念进行求解即可；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）利用样本估算总体的思想进行求解即可．
（1）解：；
；
出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
得到第5个和第6个均为，
而八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
故八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
8．【答案】（1）
（2）7.1；7.5
（3）乙
（4）解：设乙班共有x人，则由题意知：
解方程得：
答：乙班大约有29人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；条形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）见解析；
（2）解：；
甲班的中位数为：；
（3）甲班的中位数为：，乙班的中位数为：，且小明的7分在中游偏上
小明应该在乙班.
【分析】（1）直接画出条形统计图即可；
（2）求乙班抽样人数的平均数，可借助加权平均值计算公式直接计算；求甲班抽样人数的中位数，由于成绩已按照从小到大的顺序排列，因为样本容量为10，则中位数等于第5名和第6名同学成绩的平均值；
（3）由于两班学生的平均成绩相等，因此可利用中位数来判断，显然甲班的中位数是7.5，乙班的中位数是6.5，则得到7分的小明同学在乙班的成绩相对靠前；
（4）观察条形统计图和频方分布图知，甲班获奖人数占全班人数的，乙班获奖人数占全班人数的，则乙班获奖人数为甲班获奖人数的，由题意列方程并解方程即可.
9．【答案】（1）83.5
（2）①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）88
（4）解：因为成绩85分及以上有20人，
所以300= 120(人)，
所以八年级达到优秀的人数为120人
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，
∴m= = 83.5(分)；
故答案为： 83.5；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50=15(人)
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛，
所以至少达到88分；
故答案为： 88；
【分析】(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据七、八年级的中位数解答即可；
(3)根据题意可得在抽取的学生中必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图解答即可；
(4)用样本的优秀率乘以300解答即可．
10．【答案】（1）40；15
（2）7；8
（3）解：
（4）解：280×=154（人）
答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上人数有154人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为4÷10%＝40（人），
m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：40，15；
（2）样本中“引体向上”次数为7次的人数为：40﹣6﹣10﹣8﹣4＝12（人），
∴众数为7次，中位数为＝8（次）．
故答案为：7，8；
【分析】（1）根据扇形图和条形图中10次男生人数是4，所占比例是10%计算出样本量，再求出m即可.
（2）根据众数，中位数的定义求出即可.
（3）根据求出数据补全即可.
（4）根据样本数据估计总体求解即可.
11．【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 利用垂直平分线的性质（中点 + 垂直 → 垂直平分 ），结合菱形判定（邻边相等的平行四边形 ），证明结论.
（2）通过等腰三角形EB = EF，CE = CF的角关系，结合直角三角形BE⊥AC求角度；再利用菱形性质（边相等、平行 ）和等边三角形判定，推导线段长度；最后用三角形面积公式计算.
12．【答案】证明：∵BE//AC，CE//DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，由菱形的判定方法即可得出结论.
13．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵DE=CF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，推得AE=BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABFE是平行四边形，根据从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠FBE，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠EBF，推得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得出AB=AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边都相等的四边形是菱形即可证明.
14．【答案】解：已知：四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连结AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，HG=AC，
∴EF=FG=HG=EH，即四边形EFGH是菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【分析】先依据中位线定理，得到EF、FG、GH、EH分别等于相应对角线的一半，再根据矩形的对角线相等，说四边形EFGH的四边相等来说明这个四边形是菱形.
15．【答案】（1）证明：∵点E为BC的中点，
∴CE=BE，
又∵DE=EF，
∴四边形BFCD是平行四边形.
∵ D，E 分别为 的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CED=∠CBA=90°，即DF⊥CB，
∴四边形BFCD是菱形.
（2）解：连接PF，AF，如图所示：
∵四边形BFCD是菱形，
∴BC与DF互相垂直平分，
∴DP=FP，
∴DP+AP=FP+AP≥AF，当A，P，F三点共线时有DP+AP=AF.
过点F作FG⊥AB交0AB的延长线于点G，
则.
DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，AB=2DE
∴DF=2EF=2DE=AB=6.
∵菱形 的面积为 24 ，AB=6，
∴，
∴BC=8.
∴.
∵DF=2EF=6，
∴EF=3.
∵∠ABC=∠CBG=∠G=∠FEB=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
∴GF=BE=4，BG=EF=3，
∴AG=AB+BG=9，
∴.
∴ 的最小值为
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证明四边形BFCD是平行四边形，再证明DF⊥CB，即可得到结论；
（2）连接PF，AF，根据菱形对角线的性质可得DP=FP，于是有DP+AP=FP+AP≥AF，可表示出AF.过点F作AB的延长线于点G，证明四边形BEFG是矩形，求出BG和GF的长，于是求得AF长，即可得到结论.
16．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
是对角线的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再利用线段中点的性质得AO=CO，从而用ASA证△AOF≌△COE，得到AF=CE，最后利用等量的和差关系即可证明DF=BE；
（2）根据（1）可知四边形是平行四边形，利用角平分线的性质得到，根据EG//AC，即可得到，，利用等量代换可得到，再根据等腰三角形的性质得到AE=CE，即可证明四边形是菱形.
17．【答案】（1）解：四边形是菱形．
理由：由作图痕迹可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴四边形的面积．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（）由作图可得，，根据平行四边形和平行线的性质可得，则，可得，，再根据菱形的判定得出结论；
（）过点作于，根据，可得，则，，设，则，利用勾股定理构建方程求出，可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可．
18．【答案】（1）
（2）解：延长，过点作的延长线于点，如图，
∵，
∴，
∴∠CDE=30°.
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，；
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接，如图所示，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，如图：
∵ 平行四边形中，，， a=b=2，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，，BD=2BO，AC⊥BD，，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】（1）当a=b=2时，可得平行四边形ABCD是菱形，根据菱形对角线的性质可求得∠BAC的度数，从而可判定三角形BAC为等边三角形，再结合对角线的性质，即可求得BO长，2BO即BD.
（2）延长，过点作的延长线于点，根据，可得∠DCE=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可求得CE和DE长，利用勾股定理即可表示出BD，代入a=2，可得BD.
（3）过点作，交的延长线于点，连接，参照（2）的计算过程可求得BD长.根据平行四边形的性质，可得AF=DE=1，AF//DE，由AG⊥BE，可得DE⊥BE，在Rt△BED中利用勾股定理即可求得BE长.
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴ 四边形 为平行四边形，
∵，
∴平行四边形 为菱形；
（2）解：，理由如下：
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图， 在 上取点 ， 使 ， 连结 ，
由（1）得，
在 和 中，
，
，
，
，
，，
，
设 ，
，即，
由（1）得，
，
，
又∵，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形对应边相等得，从而根据”等边对等角“、角平分线的定义得，证出，得四边形 为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证结论；
（2）根据全等三角形对应角相等得∠ABC=∠DEC，从而求出∠ACB=∠DEC，接下来利用平角的定义求得∠CEF=∠ACF，利用三角形内角和定理，进行等量代换证得结论；
（3）在 上取点 ， 使 ， 连结 ，利用全等三角形判定定理”SAS“证出，根据全等三角形的性质得，从而利用”等边对等角“、三角形外角性质得，设 ， ，则，接下来利用”等边对等角“、三角形内角和定理得，即可求出.
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB= CD=3cm， 在Rt△ABE中，∠AEB=90 ，∠B=45°，∴设BE=AE=xcm，则有x2+x2 =(3)2，解得x=3，即AE的长度为3cm．
（2）解：∵点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)，
∴AM=CN=t cm．∵AM∥ CN，∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3 cm，EN=(6-t)cm，∴AN2=32+(6-t)2，
∴32+(6-t)2=t2 ，解得t=
故当t为时，四边形AMCN为菱形．
（3）解：∵MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ
为矩形，∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM=CN=tcm，
BE=3 cm，∴AQ=EN=BC -BE -CN=9-3-t=(6-t)cm，
∴QM=|AM-AQ|=|t-(6-t)|=、2t-6|(注：分点Q在点M的左右两种情况)．
∵QN=AE=3 cm，∴|2t-6|=3，解得t=4.5 或t=1.5．
故当t为4.5或1.5时，四边形MPNQ为正方形．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，列算式解答即可；
（2）根据菱形的判定方法，邻边相等的平行四边形为菱形，结合勾股定理，可解答；
（3）根据正方形的判定方法，邻边相等的矩形为正方形，再结合勾股定理可解答，但需要分Q在点M的左右两种情况，所以列式时需加上绝对值.
1 / 1

展开更多......

收起↑