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江苏省阜宁中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2．集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的化简结果是（ ）
A．1 B． C． D．
6．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．对满足的任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合，且，则集合的子集个数是2
B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
11．已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为4 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为-12
三、填空题
12．已知方程的两实根为，则的值为 ．
13．已知集合，若集合中只含有一个元素，则实数m的取值范围为 ．
14．不等式的解集为 ．
四、解答题
15．已知集合.
(1)求；
(2)求和
16．已知集合，集合且
(1)若；求实数的取值范围；
(2)命题，命题，是否存在实数使得是的充分条件，若存在求实数的取值范围.若不存在，请说明理由.
17．在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）．
(1)求成本函数的边际函数的最大值；
(2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值．
18．已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且.
(1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
(3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围.
19．已知实数，，满足.
(1)求证：.
(2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值.
(3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C C D C AC BCD
题号 11
答案 BCD
1．A
根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】:,
故选：A
2．C
根据集合交集的定义即可求解.
【详解】,
故选：C
3．D
根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，则，解得或，
则不等式的解集是或.
故选：D.
4．B
先求出表示的数集，再由交集，并集的定义求解即可.
【详解】,,
因为表示所有的整数，，表示所有的偶整数，
所以，，
故选：B.
5．C
根据题意结合根式的性质运算求解即可.
【详解】由，得，
所以.
故选：C.
6．C
解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果.
【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为，
若“”是“”的必要不充分条件，
则集合是集合的真子集，所以.
故选：C.
7．D
分别进行分子有理化，即可比较大小.
【详解】由，
，
，
而，
则，则.
故选：D.
8．C
利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因为任意正实数满足，
所以，
当且仅当，时取等号，即有最小值3，
要想任意正实数，不等式恒成立，
只需.
故选：C
9．AC
根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解.
【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确，
对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误，
对于C, ，C正确，
对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误，
故选：AC
10．BCD
根据子集个数公式即可求解A，根据一元二次方程根的分布即可求解B，根据充分条件和必要条件的定义即可求解CD.
【详解】对于A, 且，则，故集合的子集个数是，故A错误，
对于B，若方程有一个正根和一个负根，则，且，故，
由于可得到，但不能得到，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确，
对于C，由可以得到，但，解得或，因此“”是“”的充分不必要条件，C正确，
对于D, 若,，则，故“”是“”的不充分条件，又若，则，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的必要不充分条件，D正确，
故选：BCD
11．BCD
利用基本不等式，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由为正实数，且，则，故，当且仅当，即时取等号，故A错误，
对于B，，当且仅当时取等号，故B正确，
对于C， ，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，C正确，
对于D， ，当且仅当，即时取等号，故D正确，
故选：BCD
12．
根据根与系数的关系写出，，由即可求值.
【详解】方程的两实根为，则有，，
所以.
故答案为：.
13．
根据两个集合的交集只含有1个元素，可求的取值范围.
【详解】因为，且集合中只含有一个元素，
所以.
故答案为：
14．或
移项，通分，由分类讨论解分式不等式.
【详解】不等式，移项可得，通分得到，
对分子因式分解，得，
其等价于或，解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
15．(1)
(2)，或
（1）先求出集合，再根据交集的定义求解即可；
（2）根据交集、并集、补集的定义求解即可.
【详解】（1）由，
，
则.
（2）由（1）知，，，而，
则，所以，
又或，或，
则或.
16．(1)
(2)不存在，理由见解析
（1）化简集合,即可根据交集以及空集的定义求解，
（2）将问题转化为，即可列不等式求解.
【详解】（1）由可得，
由于，故或，解得，
故实数的取值范围为：
（2）假若存在实数使得是的充分条件，则,
故，解得不存在，
故不存在实数使得是的充分条件，
17．(1)
(2)（千万元）
（1）根据定义可得的表达式，即可根据函数的单调性求解最值，
（2）根据对勾函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，，
可得，，
在时单调递增，
故当时，
（2）由,
故．
记，则该函数在上递减，在上递增，且，
于是当时，得最小值.
由，解得或，（千万元）
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，，
由于，所以，得，
所以实数的取值范围为；
（2）当命题乙是真命题时，方程无正数解，
当方程无解时，即，得，解得；
当方程有唯一解时，即，得，解得或，
当时，此时方程为，解得，不符合条件；
当时，此时方程为，解得，符合条件；
当方程有两个解时，即，得，解得或，
当两个解为负时，则满足，解得,
所以
综上所述，实数a的取值范围是.
（3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得，
由（2）可知命题乙是真命题时，，
命题甲和乙中至少有一个真命题，得，
综上所述，命题甲和乙中至少有一个真命题，实数a的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)2或3
(3)
【详解】（1）证明：因为，所以，，，
所以
，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以，
所以.
（2）可变形为
，
由（1）知的最小值为4，所以.
又，且，所以或3.
（3）类似（2），不等式恒成立，
即恒成立，
而
，
当且仅当，
即时等号成立，
所以，即，
即.
所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立.

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