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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2025·北京） 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB =1，∠EBC =30°，则△ABF的面积为　 　.
二、变式1基础
2．（2025·衢州模拟） 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对角线交点为坐标原点 O，点 A，C 在 x 轴上，点 B，D 在 y 轴上，若正方形的边长为 2，则顶点 A 的坐标为　 　.
3．（2022·上虞模拟）如图所示，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA，连结AE，则∠CAE=　 　度．
4．（2025八上·义乌开学考）如图，将三张大小相同的透明正方形纸片的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为　 　 ．
三、变式2巩固
5．（2025八下·衢州期末） 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
6．（2024八下·诸暨期中）如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为的正方形和正方形，边与边与轴重合，连接，点关于的对称点为点，连接，与边相交于点，则点的坐标是　 　．
7．（2023·舟山模拟）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是　 　．
四、变式3提高
8．如图是我国古代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.
⑴连结BF，若F恰为AG的中点，则∠BFG的度数为　 　°；
⑵连结CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF=2，则AF 的长为　 　.
9．（2025·浙江模拟）如图，在正方形中，为对角线上一点，，过点作，交于点，的延长线交于点，则　 　；若，则的长等于　 　．
10．（2025·杭州模拟） 如图，在正方形纸片中，点E是的中点.将沿折叠，使点A落在点F处，连结.
（1）延长交于点G，则　 　；
（2）若再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上.若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则　 　.
五、原题16
11．（2025·北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与n的对应关系如下：
····
A 40 60 / / / / /
B 30 55 75 90 100 105 /
C 20 40 60 70 80 90 ····
D 14 38 62 86 110 134 ····
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　 　分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”)；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　 　万元.
六、变式1（基础）
12．日常生活中，“老人”是一个模糊概念．可用“老人系数”表示一个人的老年化程度．“老人系数”的计算方法如下表：
人的年龄x（岁） x≤60 60＜x＜80 x≥80
“老人系数” 0 1
按照这样的规定，“老人系数”为0.6的人的年龄是　 　 岁．
13．（2023七下·宝安期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系式　 　．
/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
14．（2021七下·祥符期末）一空水池，现需注满水，水池深4.9m，现以均匀的流量注水，如下表：
水的深度 （m） 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 （h） 0.5 1 1.5 2
由上表信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是　 　h.
七、变式2（巩固）
15．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而　 　 在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点　 　米．
气温（x/℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
16．（函数基础知识(193)+—+函数的表示方法（普通））据国家统计局统计，新中国成立以来至2000年，我国各项税收收入合计见表．
年份 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
税收收入/亿 48.98 127.45 203.65 204.30 281.20 402.77 571.70 2040.79 2821.86 6038.04 12581.51
从表中可以得出：新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是　 　，其中，　 　年与5年前相比，增长百分数最大；　 　年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了　 　倍（保留一位小数）．
17．（函数基础知识(193)+—+函数的表示方法（普通））下表所列为某商店薄利多销的情况．某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化（如表）：
降价（元） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960
这个表反映了　 　个变量之间的关系，　 　是自变量，　 　是因变量．从表中可以看出每降价5元，日销量增加　 　件，从而可以估计降价之前的日销量为　 　件，如果售价为500元时，日销量为　 　件．
八、变式3（提高）
18．（2024七下·南明月考）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，在它们行使的过程中，路程随时间变化的图象如图所示，则下列说法正确的是　 　(填序号).
①轮船的平均速度为20 km/h；②轮船比快艇先出发2 h；③快艇的平均速度为 km/h；④快艇比轮船早到2 h.
19．如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论正确的是　 　(填序号).
①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟.
②小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米.
③报亭到小亮家的距离是400米.
④小亮打羽毛球的时间是37分钟。
20．（2023七下·市南区期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的是　 　．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；含30°角的直角三角形；正方形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABC=∠FMC
∴AB∥FM
∵
∴
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°
∴∠BFC=90°，
∴∠CFM=90°-∠BCF=30°
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，根据正方形性质可得∠ABC=90°，再根据直线平行判定定理可得AB∥FM，根据三角形面积可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CFM=90°-∠BCF=30°，则，根据边之间的关系可得BM，再根据三角形面积即可求出答案.
2．【答案】（）
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为正方形ABCD的边长为2，
所以AC=，
所以OA=，
所以A点的坐标为（），
故答案为：（） .
【分析】先利用勾股定理求出对角线的长，再求出OA的长即可求得A点的坐标.
3．【答案】22.5
【知识点】正方形的性质
4．【答案】30°
【知识点】角的运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵∠BOD=90°-∠AOB=90°-35°=55°，∠EOC=90°-∠EOF=90°-25°=65°，
又∵∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE
∴∠1=55°+65°-90°=30°.
故答案是：30°.
【分析】根据∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.
5．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
6．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形的边长为4，
∴EF=AB=EC=4， ，
∴ ， ，
∵点关于的对称点为点，
∴ ，
∴，
∴ ，
设PE=x ，则PF=PB=8－x ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得：x=3，
∴PE=3，
∴PC=1，
∴点的坐标是（-1，4）．
故答案为：．
【分析】根据题意可得EF=AB=EC =4，BE//AF ，再根据点关于的对称点为点，可得，故 ，然后在 中利用勾股定理，求出PC，即可求解．
7．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
8．【答案】45；
【知识点】正方形的性质；等积变换
【解析】【解答】(1)由题意得，△ADF≌△BAG
∴AF=BG，
∵F恰为AG中点，
∴AF=FG，
∴BG=FG，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴∠BFG=45°，
故答案为：45.
(2)∵四边形EFGH是正方形
∴FG=HG=EF=EH，
设FG=HG=EF=EH=x，
由题意得，AG=CE=DF=BH=2，
∴AF=BG=2-x，
若△ABF与△FEC的面积相等
∴，
∴(2-x)2=2x，
∴或(不合题意舍去)，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)由题意知，△ADF≌△BAG，得出AF=BG，因为F恰为AG中点，AF=FG，等量代换得BG=FG，易证△BGF是等腰直角三角形，进而即可求解；
(2)设FG=HG=EF=EH=x，根据△ABF与△FEC的面积相等，可得，进而即可求解.
9．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，
则∠EHA=∠EHD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∠ABD=∠ADB=45°，AB=BC=CD=AD，
∵DE=AB，
∴AD=DE，
∴
∴∠AEH=90°-67.5°=22.5°，
∵GE⊥AE，
∴∠AEG=90°，
∴∠DEG=90°-67.5°= 22.5°，
∴∠AEH=∠DEG，
∵∠EHD=90°，∠HDE=45°
∴EH=DH，
设EH=DH=x，则
，
∴，
∴
∵∠DHE=∠BAD=90°，
∴EH//AB，
∴∠BAF=∠AEH
∴
∴，
设AB=BC=y，则，
∵CF=3，
∴，
∴
∴
故答案为：；.
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据正方形的性质得出∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，AB=BC=CD=AD，证明△EDH为等腰直角三角形，得出EH=DH，设EH=DH=x，则，进而根据直角三角形的边角关系，即可得出答案.
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，
∴，
由折叠可知BE⊥AF，
∴∠EAF=∠AEB=90°
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
又∵∠BAE=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△FAD
∴
∵DF//BE，AD//BC，
∴四边形BGDE平行四边形，
∴，
∴
故答案为：.
(2)设DH与EF于点M，GH与BF于点N，如图，
由(1)可知四边形BGDE平行四边形，
∴DE=BG，∠HBG=∠EDF，
∵E是AD中点，AD=BC，
∴G是BC中点，
∴AE=DE=BG=CG，
由折叠可知AE=EF，EG=CG，
∴DE=EF=GH=BG，
∴∠EDF=∠EFD，∠HBG=∠BHG，
∴∠EDF=∠EFD=∠HBG=∠BHG
在△EDF和△GBH中，
∴△EDF≌△GBH(AAS)，
∴DF=BH，
∴EH=CF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF//GH，
又∵BH//DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH//BF，
∴四边形MFNH是平行四边形，
由折叠可知∠DHG=∠C=90°
∴四边形MFNH是矩形，
设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，GH=CG=a，
由(1)可知
∵FM//HG，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，再证△ABE∽△FAD，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF的长度，由AD//BG、DG//BE，得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DG，然后代入计算即可；
(2)先证△EDF≌△GBH，可得BH=DF，故EH=FG，进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是平行四边形，故HG//EF，从而可知四边形MFNH是平行四边形，又根据折叠可知∠GHD=∠C=90°，所以四边形MFNH是矩形，设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HE、HM，进而计算出S1最后求比即可.
11．【答案】（1）B
（2）157
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）当n=2时，
A经销商的利润为60，比n=1时增加60-40=20（万元）
B经销商的利润为55，比n=1时增加55-30=25（万元）
C经销商的利润为40，比n=1时增加40-20=20（万元）
D经销商的利润为38，比n=1时增加38-14=24（万元）
∵25>24>20.
∴应向经销商B分配2台设备
故答案为：B
（2）当给这叫家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元），
当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元)，
当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元.
故答案为：157
【分析】（1）根据题意分别求出利润，再比较大小即可求出答案.
（2）分别求出一家利润和多家利润，再比较大小即可求出答案.
12．【答案】72
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：设人的年龄为x岁，
∵“老人系数”为0.6，
∴由表得60＜x＜80，
即=0.6，解得，x=72，
故“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁．
【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当y=0.6时，在60＜x＜80之间，所以将y的值代入对应的函数解析式即可求得函数的值．
13．【答案】
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，
∴
故答案为：
【分析】根据蜡烛的高度＝原长-燃烧的长度即可求．
14．【答案】3.5
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m，
∴注水时间每增加1个小时，水的深度就加深1.4m，
∴4.9÷1.4=3.5（小时）
∴推断出注满水池所需的时间是3.5小时；
故答案为：3.5
【分析】由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m，由此得出答案；
15．【答案】加快；68.6
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快；
当气温为20℃时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声．
则由此可知，这个人距发令地点343×0.2=68.6米．
【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案．
16．【答案】上升；1985；1965；255.9
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：（127.45﹣48.98）÷48.98≈160.2%；
（203.65﹣127.45）÷127.45≈59.8%；
（204.30﹣203.65）÷203.65≈0.3%；
（281.20﹣204.30）÷204.30≈37.6%；
（402.77﹣281.20）÷281.20≈43.2%；
（571.70﹣402.77）÷402.77≈41.9%；
（2040.79﹣571.70）÷571.70≈257.0%；
（2821.86﹣2040.79）÷2040.79≈38.3%；
（6038.04﹣2821.86）÷2821.86≈114.0%；
（12581.51﹣6038.04）÷6038.04≈108.4%；
（12581.51﹣48.98）÷48.98≈255.9（倍）；
新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是上升，其中，1985年与5年前相比，增长百分数最大；1965年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了25587.0倍．
故答案为：上升；1985；1965；255.9．
【分析】由表中的数据，分别算出与5年前相比，增长百分数，进一步比较得出答案即可．
17．【答案】两；降价（元）；日销量；30；750；1110
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：∵日销量随降价的改变而改变，
∴降价（元）是自变量，日销量是因变量．
从表中可：日销量与降价之间的关系为：
日销量=750+（原价﹣售价）÷5×30；
则可以估计降价之前的日销量为780﹣30=750件，
售价为500元时，日销量=750+（560﹣500）÷5×30=1110件．
【分析】根据函数的定义即可确定自变量与因变量；从表中可以看出每降价5元，日销量增加30件，则日销量与降价之间的关系为：日销量=750+（原价﹣售价）÷5×30；将已知数据代入上式即可求得要求的量．
18．【答案】①②④
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①轮船的速度为=20千米，说法正确；
②轮船比快艇先出发2小时，说法正确；
③快艇的速度为=40千米时，说法错误；
④快艇比轮船早到2小时，说法正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④
【分析】根据函数的图象结合速度的公式对①②③④逐一分析即可求解。
19．【答案】①②③
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①小亮从家到羽毛球馆时间：则①正确；
②小亮从羽毛球馆到报亭速度为：则②正确；
③报亭到小亮家的距离是400米，则③正确；
④小亮打羽毛球的时间：则④错误；
综上所述，正确的有：①②③，
故答案为：①②③.
【分析】根据题目已给的函数图象，获取信息进而逐项判断即可.
20．【答案】①②③
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：
①②由题意得甲车行驶的速度是，
∵甲车出发4h后被乙车追上，
∴，
解得v=80km/h，
∴乙车行驶的速度是80km/h，①②正确；
③由图可知，当乙到达时，甲和乙相距100km，
∴甲比乙晚到，③正确；
④设时间为t，
当甲乙两车均为到达B地，且乙车位于甲车前时，由题意得80+60t=80（t-1），
解得t=8；
当乙车到达B地后，由题意得80+60t=80（9-1），
解得，④不正确；
故答案为：①②③
【分析】直接根据题意结合图像即可判断①②③；设时间为t，分类讨论：当甲乙两车均为到达B地，且乙车位于甲车前时；当乙车到达B地后，进而即可列出方程解出t，然后即可判断④。
1 / 1【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2025·北京） 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB =1，∠EBC =30°，则△ABF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；含30°角的直角三角形；正方形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABC=∠FMC
∴AB∥FM
∵
∴
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°
∴∠BFC=90°，
∴∠CFM=90°-∠BCF=30°
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，根据正方形性质可得∠ABC=90°，再根据直线平行判定定理可得AB∥FM，根据三角形面积可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CFM=90°-∠BCF=30°，则，根据边之间的关系可得BM，再根据三角形面积即可求出答案.
二、变式1基础
2．（2025·衢州模拟） 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对角线交点为坐标原点 O，点 A，C 在 x 轴上，点 B，D 在 y 轴上，若正方形的边长为 2，则顶点 A 的坐标为　 　.
【答案】（）
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为正方形ABCD的边长为2，
所以AC=，
所以OA=，
所以A点的坐标为（），
故答案为：（） .
【分析】先利用勾股定理求出对角线的长，再求出OA的长即可求得A点的坐标.
3．（2022·上虞模拟）如图所示，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA，连结AE，则∠CAE=　 　度．
【答案】22.5
【知识点】正方形的性质
4．（2025八上·义乌开学考）如图，将三张大小相同的透明正方形纸片的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为　 　 ．
【答案】30°
【知识点】角的运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵∠BOD=90°-∠AOB=90°-35°=55°，∠EOC=90°-∠EOF=90°-25°=65°，
又∵∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE
∴∠1=55°+65°-90°=30°.
故答案是：30°.
【分析】根据∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.
三、变式2巩固
5．（2025八下·衢州期末） 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
6．（2024八下·诸暨期中）如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为的正方形和正方形，边与边与轴重合，连接，点关于的对称点为点，连接，与边相交于点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形的边长为4，
∴EF=AB=EC=4， ，
∴ ， ，
∵点关于的对称点为点，
∴ ，
∴，
∴ ，
设PE=x ，则PF=PB=8－x ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得：x=3，
∴PE=3，
∴PC=1，
∴点的坐标是（-1，4）．
故答案为：．
【分析】根据题意可得EF=AB=EC =4，BE//AF ，再根据点关于的对称点为点，可得，故 ，然后在 中利用勾股定理，求出PC，即可求解．
7．（2023·舟山模拟）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
四、变式3提高
8．如图是我国古代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.
⑴连结BF，若F恰为AG的中点，则∠BFG的度数为　 　°；
⑵连结CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF=2，则AF 的长为　 　.
【答案】45；
【知识点】正方形的性质；等积变换
【解析】【解答】(1)由题意得，△ADF≌△BAG
∴AF=BG，
∵F恰为AG中点，
∴AF=FG，
∴BG=FG，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴∠BFG=45°，
故答案为：45.
(2)∵四边形EFGH是正方形
∴FG=HG=EF=EH，
设FG=HG=EF=EH=x，
由题意得，AG=CE=DF=BH=2，
∴AF=BG=2-x，
若△ABF与△FEC的面积相等
∴，
∴(2-x)2=2x，
∴或(不合题意舍去)，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)由题意知，△ADF≌△BAG，得出AF=BG，因为F恰为AG中点，AF=FG，等量代换得BG=FG，易证△BGF是等腰直角三角形，进而即可求解；
(2)设FG=HG=EF=EH=x，根据△ABF与△FEC的面积相等，可得，进而即可求解.
9．（2025·浙江模拟）如图，在正方形中，为对角线上一点，，过点作，交于点，的延长线交于点，则　 　；若，则的长等于　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，
则∠EHA=∠EHD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∠ABD=∠ADB=45°，AB=BC=CD=AD，
∵DE=AB，
∴AD=DE，
∴
∴∠AEH=90°-67.5°=22.5°，
∵GE⊥AE，
∴∠AEG=90°，
∴∠DEG=90°-67.5°= 22.5°，
∴∠AEH=∠DEG，
∵∠EHD=90°，∠HDE=45°
∴EH=DH，
设EH=DH=x，则
，
∴，
∴
∵∠DHE=∠BAD=90°，
∴EH//AB，
∴∠BAF=∠AEH
∴
∴，
设AB=BC=y，则，
∵CF=3，
∴，
∴
∴
故答案为：；.
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据正方形的性质得出∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，AB=BC=CD=AD，证明△EDH为等腰直角三角形，得出EH=DH，设EH=DH=x，则，进而根据直角三角形的边角关系，即可得出答案.
10．（2025·杭州模拟） 如图，在正方形纸片中，点E是的中点.将沿折叠，使点A落在点F处，连结.
（1）延长交于点G，则　 　；
（2）若再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上.若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则　 　.
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，
∴，
由折叠可知BE⊥AF，
∴∠EAF=∠AEB=90°
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
又∵∠BAE=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△FAD
∴
∵DF//BE，AD//BC，
∴四边形BGDE平行四边形，
∴，
∴
故答案为：.
(2)设DH与EF于点M，GH与BF于点N，如图，
由(1)可知四边形BGDE平行四边形，
∴DE=BG，∠HBG=∠EDF，
∵E是AD中点，AD=BC，
∴G是BC中点，
∴AE=DE=BG=CG，
由折叠可知AE=EF，EG=CG，
∴DE=EF=GH=BG，
∴∠EDF=∠EFD，∠HBG=∠BHG，
∴∠EDF=∠EFD=∠HBG=∠BHG
在△EDF和△GBH中，
∴△EDF≌△GBH(AAS)，
∴DF=BH，
∴EH=CF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF//GH，
又∵BH//DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH//BF，
∴四边形MFNH是平行四边形，
由折叠可知∠DHG=∠C=90°
∴四边形MFNH是矩形，
设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，GH=CG=a，
由(1)可知
∵FM//HG，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，再证△ABE∽△FAD，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF的长度，由AD//BG、DG//BE，得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DG，然后代入计算即可；
(2)先证△EDF≌△GBH，可得BH=DF，故EH=FG，进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是平行四边形，故HG//EF，从而可知四边形MFNH是平行四边形，又根据折叠可知∠GHD=∠C=90°，所以四边形MFNH是矩形，设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HE、HM，进而计算出S1最后求比即可.
五、原题16
11．（2025·北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与n的对应关系如下：
····
A 40 60 / / / / /
B 30 55 75 90 100 105 /
C 20 40 60 70 80 90 ····
D 14 38 62 86 110 134 ····
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　 　分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”)；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　 　万元.
【答案】（1）B
（2）157
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）当n=2时，
A经销商的利润为60，比n=1时增加60-40=20（万元）
B经销商的利润为55，比n=1时增加55-30=25（万元）
C经销商的利润为40，比n=1时增加40-20=20（万元）
D经销商的利润为38，比n=1时增加38-14=24（万元）
∵25>24>20.
∴应向经销商B分配2台设备
故答案为：B
（2）当给这叫家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元），
当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元)，
当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元.
故答案为：157
【分析】（1）根据题意分别求出利润，再比较大小即可求出答案.
（2）分别求出一家利润和多家利润，再比较大小即可求出答案.
六、变式1（基础）
12．日常生活中，“老人”是一个模糊概念．可用“老人系数”表示一个人的老年化程度．“老人系数”的计算方法如下表：
人的年龄x（岁） x≤60 60＜x＜80 x≥80
“老人系数” 0 1
按照这样的规定，“老人系数”为0.6的人的年龄是　 　 岁．
【答案】72
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：设人的年龄为x岁，
∵“老人系数”为0.6，
∴由表得60＜x＜80，
即=0.6，解得，x=72，
故“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁．
【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当y=0.6时，在60＜x＜80之间，所以将y的值代入对应的函数解析式即可求得函数的值．
13．（2023七下·宝安期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系式　 　．
/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
【答案】
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，
∴
故答案为：
【分析】根据蜡烛的高度＝原长-燃烧的长度即可求．
14．（2021七下·祥符期末）一空水池，现需注满水，水池深4.9m，现以均匀的流量注水，如下表：
水的深度 （m） 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 （h） 0.5 1 1.5 2
由上表信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是　 　h.
【答案】3.5
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m，
∴注水时间每增加1个小时，水的深度就加深1.4m，
∴4.9÷1.4=3.5（小时）
∴推断出注满水池所需的时间是3.5小时；
故答案为：3.5
【分析】由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m，由此得出答案；
七、变式2（巩固）
15．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而　 　 在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点　 　米．
气温（x/℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
【答案】加快；68.6
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快；
当气温为20℃时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声．
则由此可知，这个人距发令地点343×0.2=68.6米．
【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案．
16．（函数基础知识(193)+—+函数的表示方法（普通））据国家统计局统计，新中国成立以来至2000年，我国各项税收收入合计见表．
年份 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
税收收入/亿 48.98 127.45 203.65 204.30 281.20 402.77 571.70 2040.79 2821.86 6038.04 12581.51
从表中可以得出：新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是　 　，其中，　 　年与5年前相比，增长百分数最大；　 　年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了　 　倍（保留一位小数）．
【答案】上升；1985；1965；255.9
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：（127.45﹣48.98）÷48.98≈160.2%；
（203.65﹣127.45）÷127.45≈59.8%；
（204.30﹣203.65）÷203.65≈0.3%；
（281.20﹣204.30）÷204.30≈37.6%；
（402.77﹣281.20）÷281.20≈43.2%；
（571.70﹣402.77）÷402.77≈41.9%；
（2040.79﹣571.70）÷571.70≈257.0%；
（2821.86﹣2040.79）÷2040.79≈38.3%；
（6038.04﹣2821.86）÷2821.86≈114.0%；
（12581.51﹣6038.04）÷6038.04≈108.4%；
（12581.51﹣48.98）÷48.98≈255.9（倍）；
新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是上升，其中，1985年与5年前相比，增长百分数最大；1965年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了25587.0倍．
故答案为：上升；1985；1965；255.9．
【分析】由表中的数据，分别算出与5年前相比，增长百分数，进一步比较得出答案即可．
17．（函数基础知识(193)+—+函数的表示方法（普通））下表所列为某商店薄利多销的情况．某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化（如表）：
降价（元） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960
这个表反映了　 　个变量之间的关系，　 　是自变量，　 　是因变量．从表中可以看出每降价5元，日销量增加　 　件，从而可以估计降价之前的日销量为　 　件，如果售价为500元时，日销量为　 　件．
【答案】两；降价（元）；日销量；30；750；1110
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：∵日销量随降价的改变而改变，
∴降价（元）是自变量，日销量是因变量．
从表中可：日销量与降价之间的关系为：
日销量=750+（原价﹣售价）÷5×30；
则可以估计降价之前的日销量为780﹣30=750件，
售价为500元时，日销量=750+（560﹣500）÷5×30=1110件．
【分析】根据函数的定义即可确定自变量与因变量；从表中可以看出每降价5元，日销量增加30件，则日销量与降价之间的关系为：日销量=750+（原价﹣售价）÷5×30；将已知数据代入上式即可求得要求的量．
八、变式3（提高）
18．（2024七下·南明月考）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，在它们行使的过程中，路程随时间变化的图象如图所示，则下列说法正确的是　 　(填序号).
①轮船的平均速度为20 km/h；②轮船比快艇先出发2 h；③快艇的平均速度为 km/h；④快艇比轮船早到2 h.
【答案】①②④
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①轮船的速度为=20千米，说法正确；
②轮船比快艇先出发2小时，说法正确；
③快艇的速度为=40千米时，说法错误；
④快艇比轮船早到2小时，说法正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④
【分析】根据函数的图象结合速度的公式对①②③④逐一分析即可求解。
19．如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论正确的是　 　(填序号).
①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟.
②小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米.
③报亭到小亮家的距离是400米.
④小亮打羽毛球的时间是37分钟。
【答案】①②③
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①小亮从家到羽毛球馆时间：则①正确；
②小亮从羽毛球馆到报亭速度为：则②正确；
③报亭到小亮家的距离是400米，则③正确；
④小亮打羽毛球的时间：则④错误；
综上所述，正确的有：①②③，
故答案为：①②③.
【分析】根据题目已给的函数图象，获取信息进而逐项判断即可.
20．（2023七下·市南区期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的是　 　．
【答案】①②③
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：
①②由题意得甲车行驶的速度是，
∵甲车出发4h后被乙车追上，
∴，
解得v=80km/h，
∴乙车行驶的速度是80km/h，①②正确；
③由图可知，当乙到达时，甲和乙相距100km，
∴甲比乙晚到，③正确；
④设时间为t，
当甲乙两车均为到达B地，且乙车位于甲车前时，由题意得80+60t=80（t-1），
解得t=8；
当乙车到达B地后，由题意得80+60t=80（9-1），
解得，④不正确；
故答案为：①②③
【分析】直接根据题意结合图像即可判断①②③；设时间为t，分类讨论：当甲乙两车均为到达B地，且乙车位于甲车前时；当乙车到达B地后，进而即可列出方程解出t，然后即可判断④。
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