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广东省深圳市九校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．一元二次方程的解是（　 　）
A． B． C． D．
4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．四个角都为直角 D．对角线互相垂直
5．根据如表表格的对应值，估计关于x的方程的一个解的范围是（）
x
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形是矩形，那么这个条件可以是（）
A． B． C． D．
7．小高和小明参加了国家智慧教育平台开展的“读经典，我思考”主题读书活动，打算从《红星照耀中国》、《红岩》和《长征》三本书中随机挑选1本阅读，则小高和小明恰好选中同一本书的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
9．如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（）
A．12 B．8 C．6 D．4
10．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若是关于x的一元二次方程的根，则 ．
12．在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表：
投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000
摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247
摸到白球的频率
根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是 精确到
13．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可
14．如果n是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
15．如图，正方形的边长是8，E是的中点，连接，将沿折叠，点B的对应点是F，连接，则的面积是 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)：
(2)
17．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C均在格点上．
(1)在格点上找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，并把此菱形画出来仅用无刻度的直尺，在网格中画出，不要求写作法；
(2)求（1）中的菱形的面积．
18．甲、乙二人用4张扑克牌分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片玩游戏，他们将扑克牌洗匀后．背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是______．
(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜．请利用画树状图或列表的方法，求出甲、乙获胜的概率，并判断此游戏是否公平？为什么？
19．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与交于点E，F，与交于点O，连接，
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元
21．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，求m的值．
22．综合与实践：
项目主题 花园规划设计
项目情境 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程．
活动任务一 爷爷要求小明构思一种规划方案，确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙、丙、丁四种方案其中阴影部分为花园，
驱动问题一 （1）爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为______ m，宽可以表示为______（用含有a的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为______（用含有b的代数式表示）
活动任务二 在综合考虑了花园的美观性和实用性之后，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造．
驱动问题二 （2）请计算花园周围小路的宽度是多少？
活动任务三 为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来，且篱笆围成的面积为
驱动问题三 （3）若篱笆的总长度为32米，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个2米宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为 ①直接写出y关于x的函数关系式： ②求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？
23．已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接．
(1)若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点
①证明：；
②猜想的形状并说明理由．
(2)若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C B B D C C
1．B
【详解】解：A．中是分式，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
B．是一元二次方程，此选项符合题意；
C．含有2个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
D．含有2个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
故选：B
2．A
【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A符合题意；
B．矩形是轴对称图形，故B不符合题意；
C．菱形是轴对称图形，故C不符合题意；
D．正方形是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
3．C
【详解】解：x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
x＝0或x－3＝0，
所以x1＝0，x2＝3，
故选C．
4．D
【详解】解：A．菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，故选项不符合题意；
B．菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，故选项不符合题意；
C．矩形的四个角都等于，故选项不符合题意；
D．菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不一定垂直，故选项符合题意；
故选：D
5．C
【详解】解：时，；时，，
当x取之间的某一个数时，，
方程的一个解的范围是
故选：C
6．B
【详解】解：A、平行四边形中，，不能判定平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、平行四边形中，，
平行四边形是矩形，故选项B符合题意；
C、平行四边形中，，能判定平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、平行四边形中，，不能判定平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．B
【详解】解：把《红星照爆中国》、《红岩》和《长征》三本书分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小高和小明恰好选中同一本书的结果有3种，
小高和小明恰好选中同一本书的概率，
故选：B
8．D
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
9．C
【详解】解：在矩形中，，交于点，若，，
，
，即，
，
又、分别为、的中点，
是的中位线，
．
故选：C．
10．C
【详解】解：方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，
大正方形的面积：（x+x-3）2=4x（x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，
因此，C选项所表示的图形符合题意，
故选：C．
11．4
【详解】解：把代入关于x的一元二次方程得：
，
，
，
故答案为：
12．0.75
【详解】解：摸到白球的频率约为，
当n很大时，估计摸到白球的概率是
故答案为：
13．（答案不唯一）
【详解】解：点D，E，F分别是边的中点，
，且，，且，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
添加的条件可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
14．2027
【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个解，
，
，
故答案为：
15．
【详解】解：如图，延长，交于点G，
四边形是边长为8的正方形，
，，
为的中点，
，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
在中，，
，
，
，即，
，
的面积，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
解得：． ，
17．(1)见解析
(2)8
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
由勾股定理可得：，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接AD，
，，
菱形ABDC的面积
18．(1)
(2)不公平，理由见解析
【详解】（1）解：甲、乙二人用4张扑克牌分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片玩游戏，
若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是，
故答案为：；
（2）解：此游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲抽到的牌的数字比乙的大的结果有5种，甲抽到的牌的数字比乙的小的结果有7种，
甲胜的概率，乙胜的概率，
甲胜的概率乙胜的概率，
此游戏不公平．
19．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
由题意知：垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）可得，，，
在中，由勾股定理得，
，，
∴，
，
解得，
∴ 菱形的周长为．
20．（1）平均下降率为10%；（2）单价应降低15元．
【详解】解：（1）设平均下降率为x，由题意可得：
200(1 x)2=162，
解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去），
∴x=0.1=10%，
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低y元，根据题意可得：
(200 162 y)(20+y)=1150，
解得：y1=13，y2=15，
根据题意，为了减少库存，单价每降低5元，每天可多售出10件，所以应该降低15元，
答：单价应降低15元．
21．(1)见解析
(2)或
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，
，
故该方程总有两个实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程，
由一元二次方程根与系数的关系得得，，
若，
，
，
或
22．（1）①，；②
（2）2m
（3）①；②和
【详解】解：（1）①甲方案中花园周围小路的宽为a m，
则花园的长可以表示为，宽可以表示为．
故答案为：，．
②由题意得：花园区域的面积可以为：，
故答案为：．
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得或舍去，
花园周围小路的宽度是；
（3）①根据题意得：，
关于x的函数关系式；
②由矩形的面积公式得：，
整理得：，
解得或，
当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
，，
篱笆围成的区域的长和宽分别是和．
23．(1)①见解析；②等腰三角形，理由见解析
(2)或2
【详解】（1）①证明：四边形是菱形，
，，
，
，
；
②解：是等腰三角形，理由如下：
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
由①知：，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：分两种情况：
①如图1，当时，过点作于，则，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
；
②如图2，当时，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
，
∵，，，
∴，
，
，
，
；
综上，的长为或2．

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