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江苏省苏州市工业园区景城、东沙湖、星港三校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若有意义，则a的值可以是（ ）
A．－1 B．0 C．2 D．4
4．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．现有长度为的五根细木条，若选择其中的三根首尾顺次相接，恰好能摆成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．81的算术平方根是 ．
10．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
11．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为 ．
12．在中，，，，点P在线段上（不与B、C两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可）
13．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点位圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是 ．
14．如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ．
15．如图，在边长为的等边三角形中，点在中线上，点在边上，连接、，则的最小值是 ．
16．如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：．
19．已知：如图，AD=BC，CA⊥AB，AC⊥CD．
求证：AD∥BC．
20．设是的整数部分，，求的值．
21．如图，在中，是高，分别是的中点．
(1)若，，求四边形的周长；
(2)与有怎样的位置关系？证明你的结论．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图①中画一个以格点为顶点，面积为6的等腰三角形；
(2)在图②中画一个以格点为顶点，面积为6的直角三角形；
(3)在图③中画一个以格点为顶点，面积为5的等腰直角三角形．
23．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离．
24．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简：
；；
以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式．
(1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ；
(2)化简：；
(3)化简：．
25．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当是等腰三角形时，求的值．
26．数学实验活动：两个三角形纸片的摆放．
将两个全等的三角形纸片和进行摆放，其中点与点重合，点落在内部．已知，，．
(1)如图①，当时，过点作交延长线于点，与交于点，求的长；
(2)如图②，当时，与交于点，求的长．
27．在中，，，点、是边上的点，，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于点．
(1)如图①，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系；
(2)如图②，当点与点不重合点在点的左侧时，
①补全图形；
②与在（1）中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，用等式表示线段、、的数量关系，并证明．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C B C C B
1．D
【详解】解：A. 是整数，不是无理数，故该选项不符合题意；
B. 是有理数， 不是无理数，故该选项不符合题意；
C. 是分数，不是无理数，故该选项不符合题意；
D. 是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
2．A
【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
3．D
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴a的值可以是4；
故选D．
4．C
【详解】解：等腰三角形有一个内角为，
∴这个等腰三角形的底角是，
故选：C．
5．B
【详解】解：A．，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D．，在分母中，不是最简二次根式，不符合题意，
故选：B．
6．C
【详解】解：A、，故不能摆成直角三角形，不符合题意；
B、，故不能摆成直角三角形，不符合题意；
C、，故能摆成直角三角形，符合题意；
D、，故不能摆成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
7．C
【详解】解：在的平分线上，、、不在的平分线上，
到两边距离相等．
故选：C．
8．B
【详解】解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．

9．9
【详解】解：81的算术平方根是：．
故答案为：9．
10．>
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
11．7
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
同理，
∴的周长，
故答案为：7．
12．（答案不唯一）
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
则
∴，
∴的长度可以是，
故答案为：（答案不唯一，）
13．/
【详解】解：数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．
∴，
在中，，
，
∵数轴上的点A 对应的实数是
表示的实数为．
故答案为：．
14．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
15．
【详解】解：连接，
等边中，是边上的中线，
是边上的高线，即垂直平分，
，
当点是边的中点，即时，且、、三点共线时，有最小值，即，
∴
直角三角形中，，
的最小值为，
故答案为：．
16．60
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
故答案为：60．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．或
【详解】解：
∴，
解得：或．
19．证明见解析
【详解】∵CA⊥AB，AC⊥CD，
∴∠BAC=∠DCA=90°
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）
∴∠ACB=∠CAD,
∴AD∥BC．
20．4
【详解】解：，即，
的整数部分为5，
即，
又，
，
．
21．(1)
(2)垂直，证明见解析
【详解】（1）解：是的高，
和均为直角三角形，
又、分别是、的中点
，
四边形的周长为
（2）结论：垂直，证明如下：
由（1）可知，，
、在的垂直平分线上，
垂直．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求
（3）解：如图所示，即为所求
∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∴的面积为，则即为所求
23．米
【详解】解：米，米，米，
，
是直角三角形，且，
，
米，
在中，由勾股定理得，
米，
，两点间的距离为米．
24．(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，，
∴的有理化因式是；的有理化因式是，
故答案为：；．
（2）解：；
（3）解：
25．(1)
(2)当为等腰三角形时，或或
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
∵在中，，，，
∴，
在中，
即，
，
当时，
∴的面积为：
（2）依题意得，
当时，，
当时，，
，
∴
∴
∴
解得：；
当时，过点作，垂足为，则
在中，，
∴
∴
∴，
当或或时，为等腰三角形．
26．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
由勾股定理可得，
则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即．
27．(1)
(2)①见解析；②仍然成立，证明见解析
(3)
【详解】（1）解：∵在中，，，点D与点B重合，，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②仍然成立，证明如下：
如图所示，过点A作于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．

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