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江苏省苏州市苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷
一、单选题
1．计算的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．2
3．用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
7．如图，在直角三角形中，，，求的长． （ ）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
10．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
11．第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为 ．
图1 图2
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

13．设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）．
14．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ．
15．如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ．
16．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题
17．计算：．
18．用适当的方法解方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值．
20．如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
21．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，．
(1)求的长；
(2)求的值．
22．知识回顾：
（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用：
（2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值．
23．如图，抛物线与x轴交于点A，B，若点B的坐标为.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若是轴上一点，，将点Q绕着点P逆时针方向旋转90 得到点E.
①用含t的式子表示点的坐标；
②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值.
24．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
25．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
27．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
(2)连结，把所在的直线平移，使它经过原点，得到直线，点是上一动点，设以点为顶点的四边形面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形；若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C B C A A
1．B
【详解】解：，
故选B
2．A
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：A．
3．B
【详解】解：
∴，
∴；
故选B．
4．C
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
解得：，且，
故选：C．
5．B
【详解】解：在中，，，，
∴．
故选：B．
6．C
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
7．A
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．A
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
，，
∴，
故选A．
9．4
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：4．
10．
【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得，
∵与x轴有公共点，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
11．/
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【详解】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
【详解】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，在直线上，
．
故答案为：．
14．
【详解】解：，
，
，
∴，
∵方程可以配方成的形式，
∴，，
∴，
∴为，
∴，
配方，得，即，
故答案为： ．
15．
【详解】解：过作，为垂足，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
同理可求：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．①③④
【详解】
根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，
在Rt△ABE中，AB= =4，
∴cos∠ABE==，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ PF=t t=t2，故③小题正确；
当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，
PQ=CD﹣PD=4﹣=，
∴，
∴，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
17．1
【详解】解：
．
18．(1)
(2)
【详解】（1）解： 移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：；
（2）因式分解得：，
∴或，
解得：．
19．(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：∵方程，，
∴，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵的两个实数根分别是，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
20．
【详解】解：如图，
设，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，，
∴四边形的面积最大值为．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：设，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴的长为；
（2）解：设，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴，
∴．
22．（1），，；（2）
【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为，
若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②．
证明如下：一元二次方程（），
当时，，
∴，，
∴，
故答案为：，，；
（2）根据根与系数的关系得，，
∴．
23．(1) y＝﹣x2﹣2x+3，顶点坐标为（﹣1，4）；(2) ①E的坐标为（t，5+t）；②t＝﹣2
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点B，点B的坐标为（1，0）．
∴﹣12+b+3＝0，
解得，b＝﹣2，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）①作EH⊥y轴于H，
由旋转的性质可知，PE＝PQ，∠EPQ＝90°，
∴∠EPH+∠HPQ＝90°，
∵∠POQ＝90°，
∴∠OPQ+∠OQP＝90°，
∴∠EPH＝∠PQO，
在△EPH和△PQO中，
，
∴△EPH≌△PQO（AAS），
∴PH＝OQ＝5，EH＝OP＝t，
∴OH＝PH﹣OP＝5+t，
则点E的坐标为（t，5+t）；
②当点E恰好在该抛物线上时，﹣t2﹣2t+3＝5+t，
解得，t1＝﹣2，t2＝﹣1
∵t＜﹣1，
∴t＝﹣2．
24．(1)秋千绳索的长度为尺
(2)能，
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
25．(1)
(2)①；②6
【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）①解：由题意知，每天可售出扇子把，
故答案为：；
②解：依题意得，，
整理得，，
解得，或，
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．
26．(1)
(2)存在，最大值是，
(3)或
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴；
（2）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
过点作轴，交于点，设，则：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当时，的最大值为，此时最大，为，
∴；
（3）设，则：，
当点恰好在抛物线上时，则：，
∴，
当时，则：，
解得：或，
∵线段与抛物线有交点，
∴点M的横坐标的取值范围是或．
27．(1)，
(2)且
(3)或或
【详解】（1）解：点与点关于直线对称，
点的横坐标，
，
将点坐标代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
顶点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
，，
∴，
解得：，
直线的解析式为，
把所在的直线平移得到直线，
直线，
可设直线的解析式为，
直线经过原点，
，
解得：，
直线的解析式为，
点是上一动点且点的横坐标为，
点的坐标为，
过点作轴交轴于点，连接，
则，，
∴，
∴当时，，不合题意；
当时，点位于第四象限，如图，过点作轴交轴于点，连接，
则，
，
，
，
解得：，
当时，点位于第二象限，如图，设交轴交于点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴
，
，
，
解得：，
综上，且，
即：的取值范围是且；
（3）解：存在，点的坐标为或或，
理由如下：
由（2）可知：的最大值为，则，
如图，过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，
，
，
，
，
，
，
直线直线，
，
，
，
，
设点的坐标为，
，
直线过原点，
可设直线的解析式为，
将点代入直线的解析式，得：
，
，
直线的解析式为，
直线直线，直线直线，
，，
，
直线平行于直线，
可设直线的解析式为，
将点代入直线的解析式，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立直线与抛物线的解析式，可得：
，
解得：，，
其中，即为原点，不合题意，故舍去，
；
联立直线与抛物线的解析式，可得：
，
解得：，，
，；
综上所述：点的坐标为或或，
答：当取最大值时，抛物线上存在点，使为直角三角形且为直角边；此时，点的坐标为或或．

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