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山东省德州市武城县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题
1．（2024八上·武城期中）下列图案不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·武城期中）已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·武城期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
4．（2024八上·武城期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．（2024八上·武城期中）如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2024八上·武城期中）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·武城期中）如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
8．（2024八上·武城期中）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
9．（2024八上·武城期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
10．（2024八上·武城期中）如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八上·武城期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八上·武城期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①；②；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°：④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024八上·武城期中）若点与关于y轴对称，则　 　．
14．（2024八上·武城期中）如图，在四边形中，．设，则　 　（用含的代数式表示）．
15．（2024八上·武城期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的角分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中共有　 　个等腰三角形.
16．（2024八上·武城期中）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为　 　．
17．（2024八上·武城期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
18．（2024八上·武城期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则　 　（用含k的代数式表示）．
19．（2024八上·武城期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）的面积为 ；
（2）在图中作出关于直线的对称图形．
（3）利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹）
20．（2024八上·武城期中）货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
21．（2024八上·武城期中）八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）
已知：如图，线段相交于点O，______________，连接．
求证：____________．
证明：
22．（2024八上·武城期中）如图，点D、E是等边的边、上的点，且，、相交于P点，于Q，已知，求的长．
23．（2024八上·武城期中）如图，已知，点，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求的度数．
24．（2024八上·武城期中）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
25．（2024八上·武城期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有_______________．
（2）【深入研究】如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接BE，，求证：．
（3）【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
7-3故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点作，，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上即可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的高
【解析】【解答】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示：
则，，
，，
；
，
，
在和中，
，
≌
，
，
故选：．
【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图．
由题意得：，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】根据多边形外角和可得，再根据三角形外角性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，由折叠的性质可得，
∵D是的中点，，
∴，
在中，，
解得，
即，
故选：A．
【分析】设，由折叠的性质可得，根据线段中点可得BD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
故选：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD，∠BCD，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长是AB＋AD＋BD，
∴AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴ △ABD的周长＝19．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得MN垂直平分BC，即可得到BD=CD，然后得到AB＋AD＋BD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：B．
【分析】延长交于，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
12．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠FAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDE-∠BDE＝∠BDC-∠BDE，即∠FDB=∠EDC，
∴，故①正确；
∵，
∴CE=BF，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∵BF=AB+AF，
∴；故②正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵，
∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC，
∴∠DAF=∠CBD=50°，故③错误；
∵∠DFA=∠DEA=90°，
∴∠EDF+∠FAE=180°，
∴∠FDE=∠BAC，
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC；故④正确；
正确的有①②④，
故选：C．
【分析】根据角平分线性质可得DE=DF，再根据角之间的关系可得∠FDB=∠EDC，再根据全等三角形判定定理可判断①；再根据全等三角形性质可得CE=BF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADE≌Rt△ADF，则CE=BF，再根据边之间的关系可判断②；根据三角形外角性质可得2∠DAF=∠ABC+∠ACB，再根据全等三角形性质可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，则∠DBC=∠DCB，再根据角之间的关系可判断③④.
13．【答案】3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与关于y轴对称，
，，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在△ABD中，AB=BD，
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
15．【答案】5
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，
∵∠BDC=180° ∠DBC ∠C=180° 36° 72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=(180° 36°)÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED ∠A=72° 36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故答案为5．
【分析】根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，根据等边对等角及三角内角和定理可得∠ABC=∠C=72°，根据角平分线定义可得∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，则∠A=∠ABD=36°，再根据等腰三角形判定定理可得△ABD是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得∠BDC，则∠C=∠BDC=72°，再根据等腰三角形判定定理可得△BCD是等腰三角形，△BDE是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得∠BED，再根据三角形外角性质可得∠ADE，则∠A=∠ADE，再根据等腰三角形判定定理可得△ADE是等腰三角形，即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；有理数的乘方法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
，
，
以此类推，的边长为．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据三角形外角性质可得，则，同理可得，总结规律即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
∴当三点共线时，，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，
∵，，
∴，即：，
∴，
的最小值为；
故答案为：．
【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，当三点共线时，，最小，当点与点重合时，最小，再根据三角形面积可得CM，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
由于所求两四边形都可证明是正方形，则可分别设这两个正方形的边长BC=a，FK=b，则由全等的性质可得AG=a+b，则三角形AEG与四边形AGHN的面积均可表示，则四边形AEHN的面积可表示；又由全等的性质可证，则四边形BMHP的面积等于三角形BDK的面积，也等于三角形AEG的面积，再利用已知两四边形的面积比求得a、b的数量比即可．
19．【答案】（1）5
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：．
故答案为：5；
【分析】（1）根据割补法求出三角形面积即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于直线MN的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）连接交直线于点P，则点P即为所求点.
（1）解：．
故答案为：5；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
20．【答案】解：如图，
∵CDBE，
∴∠EBC＝∠1＝40°，
∴∠BCA＝∠1+∠DCA＝60°
又∵∠ABC＝180°﹣40°﹣80°＝60°
∴△ABC是等边三角形
（海里）
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为3海里．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；方位角
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠EBC＝∠1＝40°，根据角之间的关系可得∠BCA，根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
21．【答案】解：已知：，O分别为的中点（或，，）．
求证：
证明：∵O分别为的中点，
∴，（线段中点定义）
∵（已知）
∴，（等量代换）
在和中
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据线段中点可得，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．【答案】解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据等边三角形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形外角性质可得∠BPD，则，根据含30°角的直角三角形性质可得BP，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
24．【答案】证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）根据正多边形性质可得AB=BC，∠ABM=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠BAM=∠CBN，根据三角形外角性质可得∠BAM+∠ABP=∠APN，再根据正多边形内角和定理即可求出答案.
25．【答案】（1）；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，.
∵是等边三角形，
∴，.
∴
∴，
∴.
在和中，
（SAS）.
.
（3）结论：且
理由如下
证明：如下图所示，AB交CE于点O
∵是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°.
∵是等腰直角三角形，
∴AD=AE，∠DAE=90°.
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+BAE=∠DAE+BAE，
∴.
在和中，
，
.
，.
，
.
∴.
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）证明：
.
在和中，
(SAS).
故答案为：△BAD；△CAE.
【分析】（1）先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明；
（2）先利用等边三角形的性质说明AB=AD，AE=AC，再说明它们的夹角相等，接着利用SAS证明，然后由全等三角形的性质得到BE=CD；
（3）先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，再说明它们的夹角相等，接着利用SAS证明，然后由全等三角形的性质得到，再结合，可证.
（1）证明：
在和中，
（2）证明：由等边和等边知
，，
由（1）的推理，同理可知：
在和中，
（3）且，理由如下
证明：如下图所示，AB交CE于点O
由以上推理，同理可知：
在和中，
，
即
∴
1 / 1山东省德州市武城县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题
1．（2024八上·武城期中）下列图案不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
2．（2024八上·武城期中）已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
7-3故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．（2024八上·武城期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
4．（2024八上·武城期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点作，，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上即可求解.
5．（2024八上·武城期中）如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的高
【解析】【解答】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示：
则，，
，，
；
，
，
在和中，
，
≌
，
，
故选：．
【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．（2024八上·武城期中）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图．
由题意得：，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】根据多边形外角和可得，再根据三角形外角性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2024八上·武城期中）如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，由折叠的性质可得，
∵D是的中点，，
∴，
在中，，
解得，
即，
故选：A．
【分析】设，由折叠的性质可得，根据线段中点可得BD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024八上·武城期中）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
故选：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD，∠BCD，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2024八上·武城期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长是AB＋AD＋BD，
∴AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴ △ABD的周长＝19．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得MN垂直平分BC，即可得到BD=CD，然后得到AB＋AD＋BD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长.
10．（2024八上·武城期中）如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：B．
【分析】延长交于，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
11．（2024八上·武城期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
12．（2024八上·武城期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①；②；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°：④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠FAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDE-∠BDE＝∠BDC-∠BDE，即∠FDB=∠EDC，
∴，故①正确；
∵，
∴CE=BF，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∵BF=AB+AF，
∴；故②正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵，
∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC，
∴∠DAF=∠CBD=50°，故③错误；
∵∠DFA=∠DEA=90°，
∴∠EDF+∠FAE=180°，
∴∠FDE=∠BAC，
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC；故④正确；
正确的有①②④，
故选：C．
【分析】根据角平分线性质可得DE=DF，再根据角之间的关系可得∠FDB=∠EDC，再根据全等三角形判定定理可判断①；再根据全等三角形性质可得CE=BF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADE≌Rt△ADF，则CE=BF，再根据边之间的关系可判断②；根据三角形外角性质可得2∠DAF=∠ABC+∠ACB，再根据全等三角形性质可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，则∠DBC=∠DCB，再根据角之间的关系可判断③④.
13．（2024八上·武城期中）若点与关于y轴对称，则　 　．
【答案】3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与关于y轴对称，
，，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
14．（2024八上·武城期中）如图，在四边形中，．设，则　 　（用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在△ABD中，AB=BD，
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
15．（2024八上·武城期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的角分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中共有　 　个等腰三角形.
【答案】5
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，
∵∠BDC=180° ∠DBC ∠C=180° 36° 72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=(180° 36°)÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED ∠A=72° 36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故答案为5．
【分析】根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，根据等边对等角及三角内角和定理可得∠ABC=∠C=72°，根据角平分线定义可得∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，则∠A=∠ABD=36°，再根据等腰三角形判定定理可得△ABD是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得∠BDC，则∠C=∠BDC=72°，再根据等腰三角形判定定理可得△BCD是等腰三角形，△BDE是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得∠BED，再根据三角形外角性质可得∠ADE，则∠A=∠ADE，再根据等腰三角形判定定理可得△ADE是等腰三角形，即可求出答案.
16．（2024八上·武城期中）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；有理数的乘方法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
，
，
以此类推，的边长为．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据三角形外角性质可得，则，同理可得，总结规律即可求出答案.
17．（2024八上·武城期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
∴当三点共线时，，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，
∵，，
∴，即：，
∴，
的最小值为；
故答案为：．
【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，当三点共线时，，最小，当点与点重合时，最小，再根据三角形面积可得CM，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．（2024八上·武城期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则　 　（用含k的代数式表示）．
【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
由于所求两四边形都可证明是正方形，则可分别设这两个正方形的边长BC=a，FK=b，则由全等的性质可得AG=a+b，则三角形AEG与四边形AGHN的面积均可表示，则四边形AEHN的面积可表示；又由全等的性质可证，则四边形BMHP的面积等于三角形BDK的面积，也等于三角形AEG的面积，再利用已知两四边形的面积比求得a、b的数量比即可．
19．（2024八上·武城期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）的面积为 ；
（2）在图中作出关于直线的对称图形．
（3）利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹）
【答案】（1）5
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：．
故答案为：5；
【分析】（1）根据割补法求出三角形面积即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于直线MN的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）连接交直线于点P，则点P即为所求点.
（1）解：．
故答案为：5；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
20．（2024八上·武城期中）货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
【答案】解：如图，
∵CDBE，
∴∠EBC＝∠1＝40°，
∴∠BCA＝∠1+∠DCA＝60°
又∵∠ABC＝180°﹣40°﹣80°＝60°
∴△ABC是等边三角形
（海里）
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为3海里．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；方位角
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠EBC＝∠1＝40°，根据角之间的关系可得∠BCA，根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
21．（2024八上·武城期中）八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）
已知：如图，线段相交于点O，______________，连接．
求证：____________．
证明：
【答案】解：已知：，O分别为的中点（或，，）．
求证：
证明：∵O分别为的中点，
∴，（线段中点定义）
∵（已知）
∴，（等量代换）
在和中
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据线段中点可得，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．（2024八上·武城期中）如图，点D、E是等边的边、上的点，且，、相交于P点，于Q，已知，求的长．
【答案】解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据等边三角形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形外角性质可得∠BPD，则，根据含30°角的直角三角形性质可得BP，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2024八上·武城期中）如图，已知，点，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
24．（2024八上·武城期中）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
【答案】证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）根据正多边形性质可得AB=BC，∠ABM=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠BAM=∠CBN，根据三角形外角性质可得∠BAM+∠ABP=∠APN，再根据正多边形内角和定理即可求出答案.
25．（2024八上·武城期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有_______________．
（2）【深入研究】如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接BE，，求证：．
（3）【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，.
∵是等边三角形，
∴，.
∴
∴，
∴.
在和中，
（SAS）.
.
（3）结论：且
理由如下
证明：如下图所示，AB交CE于点O
∵是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°.
∵是等腰直角三角形，
∴AD=AE，∠DAE=90°.
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+BAE=∠DAE+BAE，
∴.
在和中，
，
.
，.
，
.
∴.
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）证明：
.
在和中，
(SAS).
故答案为：△BAD；△CAE.
【分析】（1）先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明；
（2）先利用等边三角形的性质说明AB=AD，AE=AC，再说明它们的夹角相等，接着利用SAS证明，然后由全等三角形的性质得到BE=CD；
（3）先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，再说明它们的夹角相等，接着利用SAS证明，然后由全等三角形的性质得到，再结合，可证.
（1）证明：
在和中，
（2）证明：由等边和等边知
，，
由（1）的推理，同理可知：
在和中，
（3）且，理由如下
证明：如下图所示，AB交CE于点O
由以上推理，同理可知：
在和中，
，
即
∴
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