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湖北省楚天协作体2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题
1．已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于平面的对称为点，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
3．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在平面直角坐标中，斜率为的直线经过点，若直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一架无人机正在执行巡检任务，其当前位置在空间直角坐标系中，位于点，另外有一条高压电缆沿直线铺设，电缆经过两点，为确保安全，需要计算无人机到电缆的最短距离，该最短距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
8．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若空间三个向量，满足，则向量共面
B．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底
C．在四面体中，若，则
D．已知四点共面，对空间任意一点，若，则
10．已知为古典概型样本空间中的两个随机事件，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．
C．事件与独立 D．
11．如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ）

A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为
B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值
C．当时，异面直线与的夹角为
D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．两条直线与之间的距离为 .
13．在一次机器狗搜索演习中，只机器狗组成一个搜索小队，每只机器狗独立发现特定目标的概率均为，且互不影响.若搜索小队中至少有一只机器狗发现目标，则搜索任务成功.要使搜索任务成功的概率超过，则的最小值是 .
14．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点是内的一动点（含边界），则的最小值是 ．
四、解答题
15．已知空间三点，设.
(1)若，且，求.
(2)若与互相垂直，求.
16．如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.

(1)若对角线的长度为时，求的值.
(2)求证：.
17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求点到平面的距离.
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．在平面直角坐标系中，已知三个顶点.
(1)求边所在直线的方程.
(2)若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标.
(3)若，四个点在直线的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点.
19．如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数.

(1)求三棱锥的体积.
(2)若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围.
(3)求四面体的外接球半径的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B A B B C AC BCD
题号 11
答案 AB
1．A
【详解】已知向量是直线的方向向量，则直线的斜率为，故直线的倾斜角为.
故选：A.
2．A
【详解】点关于原点的对称点，点关于平面的对称点，
所以.
故选：A
3．B
【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；
若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；
所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件，
故选：B
4．B
【详解】设直线，令，则，
，解得：（舍）或.
故选：B.
5．A
【详解】由可得，
由得，故过定点，
当直线与点和所在直线垂直时，
点到直线的距离最大，由结合垂直关系可得，
所以直线方程为.
故选：A
6．B
【详解】根据题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为，
设直线的斜率为，则直线方程为，即，
直线与轴交于点，与轴交于点，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积，即，
当时，，即，，
所以二次方程有两个不同的实数根，
即存在条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为；
当时，，即，，
所以二次方程不存在实数根，
即不存在直线与两坐标轴围成的三角形的面积为；
综上所述，经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线有条.
故选：B
7．B
【详解】由题意，，则，
所以到直线的距离为.
故选：B
8．C
【详解】由可得，，
所以.
因为为钝角，所以，且不共线，
所以，即，且.
当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；
当时，有且，可取2，3，4，5，6；
当时，有且，可取4，5，6；
当时，有且，可取6；
当或时，，此时无解.
综上所述，满足条件的有14种可能.
又先后抛掷两次，得到的样本点共36种，
所以为钝角的概率
故选：C.
9．AC
【详解】A：由题设，根据空间向量的共面定理知向量共面，对；
B：由，即共面，故不能构成基底，错；
C：由，
又，则，对；
D：由四点共面，对空间任意一点，则有，
所以，则，错.
故选：AC
10．BCD
【详解】由，
可得，所以事件与不互斥，A错误；
，
所以，B正确，
，
显然，C正确，
如图阴影部分即为，
所以，
可得，D正确，
故选：BCD
11．AB
【详解】对于A，因为半圆面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
又平面，所以，，
由为直径，故，因为，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，因为点运动时，点到平面的最大距离为，所以
，故A正确；
对于B， 设半圆圆心为，正方形中心为，则，因为正方形的中心到四个顶点的距离为，当运动时，，故是外接球的球心，球半径为定值，故B正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，则，所以点，，所以，
则，不是，故C错误；
对于D，设，则，，
平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为：
，则，
即，则，故或，
即满足条件的点有两个，不唯一，故D错误.
故选：AB
12．/
【详解】两条直线与之间的距离，
即两条直线与之间的距离为.
故答案为：.
13．4
【详解】由题设，每只机器狗不能发现目标的概率为，
所以搜索小队中至少有一只机器狗发现目标的概率为，
令，则，而，
所以，故的最小值是4.
故答案为：4
14．/
【详解】连接，交平面于，连接，
在正方体中，易知平面，且，
设点关于平面对称点为，
则在上，且，
，
又当时，取得最小值，
又，所以此时，
故，
即的最小值是．
故答案为：.
15．(1)或
(2)或
【详解】（1），因为，则设，
故，则，
则，即或.
（2）
得，即，
则或
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底，
且，
，
则，故.
（2），
则
.
故.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）连接平行四边形的对角线，交于，
在中，是的中点，是中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）由已知，，，，
在中，由余弦定理得，
则，由勾股定理，则，
又底面，平面，则有，，
所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标，则，，，，，
的中点，，，
设平面法向量为，
则，取，则，，故，
，则点与平面的距离.
（3）由（2）得，
，，设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，
平面与平面所成锐二面角余弦值为.
18．(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由已知，，根据直线的两点式斜率得，
则根据直线的点斜式方程，得，即；
（2）因为点在直线：上，所以①，
又，所以，
又边上的高为点到直线的距离，
则，
所以
由①代入，则，则或，即或.
得或，故点的坐标为或；
（3）因为四点在直线的两侧，
根据距离公式的特征：直线同侧的点代入同号，
异侧的点代入符号相反，
由于两侧的点到直线的距离和相等，则四个点的坐标代入的和为0，
即，
则，即，代入方程得，
整理即：，
不同时为零，直线过定点，则与无关
故，即.则恒过定点.
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）根据题意，，
又，
因为在直三棱柱中，，，
当点是线段上的中点时，平面，
所以点到平面的距离，即三棱锥的高，
所以.
（2）在直三棱柱中，，，，
则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
又，则，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，故，
又在直三棱柱中，，则平面，
所以平面的法向量为，
又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为：
，
令，因为，则，故，
即，则，即，故，所以.
（3）设四面体的外接球心的坐标为，半径为，
则，
故，
则，所以外接球心的坐标为，
代入得，
即，
则，当时，取得最小值为，
当或时，，所以，
所以，当时，取得最小值为，
当时，，所以，所以，
所以四面体的外接球半径的取值范围为.

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