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2025-2026学年人教（A）版第一单元检测
第一章 数学试卷
考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知，，则是的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知集合，若，则实数（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．已知R，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
8．命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．下列说法正确的是（　　）
A．命题：“”的否定是“”
B．函数恒过定点
C．函数的值域为
D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
10．下列说法不正确的是（　　）
A．的定义域为，则的定义域为
B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C．一元二次不等式的解集为，则有最小值
D．若，则的最小值为1
11．已知非空集合R，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（　　）
A．集合是封闭集
B．若集合是封闭集，则也是封闭集
C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集
D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知全集，实数满足，集合，，则　 　.
13．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为　 　.
14．设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：　 　.
四、解答题（15题13分，16题-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分）
15．设函数.
（1）当时，求方程的实数解；
（2）当时，
（①）存在，使不等式成立，求k的范围；
（②）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围.
16．已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
17．集合，.
（1）求
（2）若“则”是假命题，求实数a的取值范围；
18．给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质.
（1）设集合，，请直接写出，是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求的值；
（3）若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合．
19．已知实数集，定义
（1）若，求；
（2）若，求集合；
（3）若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值
2025-2026学年人教（A）版第一单元检测
第一章 数学试卷答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5
答案 C B D B A
题号 6 7 8
答案 C D B
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
题号 9 10 11
答案 ABD AC AD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.
13. 28
14. 或
四、解答题（15题13分，16题-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分）
15.（1）解：当时，，由题意得，
所以或，解得或.
（2）解：当时，，该函数在上单调递增，
（ⅰ）存在，使不等式成立，
即成立，即成立，
则，
当时，，所以.
（ⅱ）当时，的值域为，
当时，的值域为，
根据题意，得，
则，解得，
故实数b的取值范围为.
16.（1）解：由题意知：，解得：，
即，
当时，，
所以；
（2）解：因为，所以，
当时，；
当时，且，解得：，
综上所述：.
17.（1）解：对于，在上单调递减，
所以，所以.
所以.
（2）解：由（1）得，而，
由于“则”是假命题，即集合不是集合的子集，
则集合不是空集，所以，则，
此时集合不是集合的子集，
所以的取值范围是
18.（1）解：因为中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，
两数中至少有一个属于集合M，所以具有性质；
中的，，所以集合N不具有性质。
所以集合具有性质，集合不具有性质。
（2）解：记，易知，
令，则，
因为具有性质，所以，
不妨设，则，且，
则，且，且，
①当时，显然，，
所以，解得， 此时，具有性质；
②当时，则，，解得，
此时，与题意不符（舍），
综上，，。
（3）解：记，易知，，
因为具有性质，所以，
不妨设，，此时，
若，显然，所以，
因为具有性质，所以，，
因为且与互为相反数，所以，中一正一负，所以中有0，有正数也有负数，
下面对中元素的正负个数进行讨论：
（1）当中有1个负数，4个正数时，
不妨设，，
因为均大于，所以均不属于，
因为具有性质，所以，
因为，所以不可能同时等于，
所以此时不具有性质，舍去；
（2）当中有4个负数，1个正数时，
不妨设时，，
因为均小于，
所以均不属于，
因为具有性质，所以，
因为，所以不可能同时等于，
所以此时集合不具有性质，舍去；
（3）当中有2个负数，3个正数时，
不妨设时，，，
因为，所以，
因为具有性质，所以，
因为，所以，
即，①
因为均大于，
所以均不属于，
因为具有性质，所以，，
因为，，所以，，，
故，，，，
所以，，，②
由①②，得，
所以。
（4）当中有3个负数，2个正数时，
由（3）可得，
由此，当恰有6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，，
，。
19.（1）解：依题意，.
（2）解：依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
①当时，且，
相乘得，解得，
因此，；
②当时，同理得到，，
所以或.
（3）解：先证明中元素个数不小于13，
若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数，
①集合中没有负数，
不妨设，则
积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14，
②集合中至少有一个负数，
设是中的全部负元素，是中的全部非负元素，
不妨设，其中为正整数，，
于是有，
以上是中的个非正数元素，又，
它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13，
因此中元素个数不小于13，
取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13.
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