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人教版七（上）第三章 代数式单元测试培优卷
一、选择题
1．下列各式中，代数式有（　　）
；；；；；；；.
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．（2025七上·宁波期末）大约从 20 世纪 50 年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器。若开始输入 的值是 5 ，则第 1 次输出的结果是 16 ，第 2 次输出的结果是 8 ，第 3 次输出的结果是 4 ．依次继续下去，第 2025 次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024七上·房山期中）用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　）
①②
③④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．若，且，则式子的值等于（　　）
A．7 B．1 C．1或 D．5或
5．已知是一个两位数，也是一个两位数，将放在的左边构成一个新的四位数，则这个四位数可以表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七上·江油期中）若时，式子的值为2025，则当时，式子的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七上·成都期中）观察下面三行数：
，9，，81……①
1，，9，……②
，10，，82……③
设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2024七上·金东期中）9月16号，杭州亚运村举行开村仪式暨中国体育代表团欢迎仪式，有位运动员乘坐辆车，若每辆车载人，则还有人不能上车；若每辆车载人，则最后一辆车空了个座位．①运动员有人；②运动员有人；③运动员乘坐的车有辆；④运动员乘坐的车有辆．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2024七上·玉环期末）如图：圆，三角形，正方形三个图形的面积相等，重叠部分面积分别记为和，不重叠部分面积分别记为，，，，若，则，，，之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　）
A．220 B．232 C．242 D．252
二、填空题
11．甲、乙两地相距千米，某人用小时从甲地骑行到乙地，再开车回到甲地，总用时小时，那么他开车的平均速度为　 　千米/时.
12．已知，则的值为　 　．
13．（2024七上·成都期中）如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要　 　个三角形，……，摆第层图案需要　 　个三角形．
14．（2024七上·锦江期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．若长方形内有4个点，则三角形个数为　 　个，若长方形内有个点，则三角形个数为　 　个（不计被分割的三角形）．
15．（2024七上·黄埔期中）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为　 　．
三、解答题
16．（2024七上·南宁期中）李华家中有一个长方形窗户（如图），窗帘是由半径相同的两个四分之一圆组成的，图中透光面积（空白部分的面积）为．
（1）请用含、的代数式表示；
（2）当，时，的值．（取）．
17．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.
（1）第5个图案中，三角形有　 　个，六边形有　 　个.
（2）第为正整数个图案中，三角形与六边形各有多少个？
（3）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由.
18．（2024七上·南宁期中）如图，正方形的边长为x．
（1）根据图中数据，用含x，y的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
19．为了调动学生们体育锻炼的积极性，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元.某体育用品商店提供A，B两种优惠方案方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的付款.已知要购买篮球50个，跳绳条.
（1）若按A方案购买，一共需付款　 　元；若按B方案购买，一共需付款　 　元.（用含的代数式表示）
（2）当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
20．（2024七上·武侯期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供优惠方案如下：
方案一：买一套茶具送一只茶碗；
方案二：茶具和茶碗按定价的九五折付款．
现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只．
（1）用含x的代数式分别表示方案一和方案二的应付钱数；
（2）若，选择上述两个方案中的一个，则选择哪个比较省钱？请计算说明；
（3）当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，请说明理由．
21．（2024七上·廊坊期中）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形．
（1）请观察图形，并填写下列表格；
图形标号 第1个 第2个 第3个 … 第n个
灰色方块的个数 5 10 15 … ______
白色方块的个数 4 ______ ______ … ______
（2）第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？
（3）第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示）
22．（2024七上·四川期中）现有a根长度相同的火柴棒，按图（1）可摆成m个正方形，按图（2）可摆成个正方形．
（1）用含n的代数式表示m；
（2）当这a根火柴棒还能摆成如图（3）所示的形状时，求a的最小值．
23．（2023七上·西城期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”．
（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有________；（将正确选项的序号填写在横线上．
①；②；③．
（2）某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？
（3）对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】代数式由数、变量和运算符号组成，不包含等号或不等号。
分析各选项：①(分数，符合)
②26+38（运算式，符合）
③ab=ba(等式，不符合)
④ (含变量，符合)
⑤2a-1(含变量，符合)
⑥a(变量，符合)
⑦ (含变量，符合)
⑧5n+2(含变量，符合)
共7个代数式（排除③）
故答案为：C.
【分析】 代数式是由数、变量和运算符号（如加、减、乘、除等）组成的数学表达式，但不包含等号或不等号，换句话说，代数式是一个没有等式或不等式关系的数学表达形式，根据定义对每个式子进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，
第3次输出的结果是4，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是，
第6次输出的结果是3×1+1=4，
第7次输出的结果是2，
第8次输出的结果是1，
……
从第3开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，
(2025-2)÷3=674...1，
∴第2025次输出的结果为4，
故答案选：D.
【分析】从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】用字母表示数；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：①③如下图：
几何图形的面积：或，故①③正确．
②如下图：
几何图形的面积：，故②正确，
④如下图：
几何图形的面积：，故④正确，
综上①②③④正确，
故选：A．
【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的面积，根据选项，结合矩形的面积公式，依次画出图形表示出面积，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵|a|= 2， |b|= 3，
∴a=±2， b=±3，
∵ab>0，
∴当a=2时， b=3， 则a+b=5，
当a=-2时， b=-3， 则a+b=-5.
综上所述，a+b的值是5或-5；
故选： D.
【分析】根据绝对值的意义得到a =±2， b =±3， 由 ab>0， 则a=2， b=3或a=-2， b =-3， 把它们分别代入a+b中计算即可.
5．【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】∵x原本是两位数，当把x放在y的左边构成四位数时，
∴x所在的数位从原来的十位和个位变成了千位和百位，也就是说，x的数值扩大了100倍，
∵y仍然是它本身的两位数，
∴将扩大100倍后的x与y组合起来构成的四位数就是100x+y，
故答案为：D.
【分析】 要表示出新构成的四位数，需要明确数位的意义和数字的位置关系， 因为x是两位数，放在y的左边，就相当于x扩大了100倍，然后表示即可.
6．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：时，式子的值为2025，
，
时，
.
故答案为：B．
【分析】根据题意，将x=-1代入ax3+bx+7=2025可得a+b=-2018，然后将x=-1代入ax3+bx+7计算后，再将a+b=-2018整体代入计算可得答案.
7．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：①由，9，，81……，得第n个数为，则；
②由1，，9，……，得第n个数为，则；
③由，10，，82……，得第n个数为，则，
∴
.
故答案为：A．
【分析】观察第①组数发现：符号为奇负偶正，故符号可用(-1)n控制，数字部分每一个数的绝对值都是3的幂次方，第n个数为3n，则第①组的第n个数可表示为(-3)n；观察第②组数发现，符号为奇正偶负，故符号可用(-1)n-1控制，数字部分每一个数的绝对值都是3的幂次方，第n个数为3n-1，则第①组的第n个数可表示为(-3)n-1；观察第③组数发现，每一个数比第①组数对应数大1，故第③组的第n个数可表示为(-3)n-1，据此分别求出第202个数x、y、z的表达式，最后代入待求式子计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意，①运动员有人，
∴此选项正确，符合题意；
②运动员有人，
∴此选项正确，符合题意；
③运动员乘坐的车有辆，
∴此选项不正确，不符合题意；
④运动员乘坐的车有辆，
∴此选项正确，符合题意；
∴正确的有①②④.
故答案为：B．
【分析】根据“有位运动员乘坐辆车，若每辆车载人，则还有人不能上车；若每辆车载人，则最后一辆车空了个座位”，列出代数式，依次分析判断即可求解．
9．【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵S1+a=S3+S4+a+b，S3+S4+a+b=S2+b，
∴S1-S3-S4=b，S2-S3-S4=a。
∵3a=2b，
∴3（S2-S3-S4）=2（S1-S3-S4），
∴2S1+S4=3S2-S3.
故正确答案选：B.
【分析】由S1+a=S3+S4+a+b，S3+S4+a+b=S2+b，可以推出S1-S3-S4=b，S2-S3-S4=a。再由3a=2b，可以得到3（S2-S3-S4）=2（S1-S3-S4），进而可以得出2S1+S4=3S2-S3.
10．【答案】D
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：1+1=2，2×2=4，2×4+1=9；
2+1=3，3×2=6，3×6+2=20；
3+1=4，4×2=8，4×8+3=35；
……
n+1=n+1，（n+1）×2=2（n+1），（n+1）×2（n+1）=2(n+1)2，
则a+1=b，2b=22，22b+a=x，
∴ b=11，a=10，
∴ x=252.
故答案为：D.
【分析】根据正方形中四个数发现规律，左下角的数=左上角的数+1，右上角的数=2×左下角的数，右下角的数=左下角的数×右上角的数+左上角的数，据此可得x的值.
11．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】已知从甲地骑行到乙地用时a小时，往返总用时b小时，那么开车所用的时间为(b-a)小时，
甲、乙两地相距m千米，开车时间为(b-a)小时，
根据"速度=路程÷时间"，可得开车的平均速度为：千米/时，
故答案为：.
【分析】 先求出开车所用的时间，再根据路程、速度和时间的关系，用甲、乙两地的距离除以开车所用时间，即可得到开车的平均速度.
12．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据绝对值及偶次方的非负性求解x，y值，再将x，y值代入计算可求解
13．【答案】；
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1层，1个三角形，
第2层，3个三角形，比第一次多2个，
第3层，7个三角形，比第二次多4个，
第4层，13个三角形，比第三次多6个，
∴第5层三角形的个数为：（个），
第6层三角形的个数为：（个），
，
∴第10层三角形的个数为：（个），
∴第层与第的数量关系是：第层上的三角形个数比第层多个三角形，
∴第层三角形的个数为：
，
故答案为：， ．
【分析】观察层次与三角形数量的关系可得后一层依次比前一层多2、4、6、8、10、……个三角形，即第层上的三角形个数比第层多个三角形，分别算出每个三角形的个数，运用整式混合运算即可求解．
14．【答案】10；
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：图2中长方形内有1个点时，三角形个数为（个）；
图3中长方形内有2个点时，三角形个数为（个）；
以此类推长方形内有3个点时，三角形个数为（个）；
长方形内有4个点时，三角形个数为（个）；
……
长方形内有个点时，三角形个数为个．
故答案为：10；．
【分析】根据长方形内有1个点时三角形个数，长方形内有2个点时三角形个数，……从中找出规律，再根据规律求出结果．
15．【答案】440
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子
（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【分析】
先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可解答．
16．【答案】（1）解：根据图形可知：；
（2）解：当，时，
．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（）根据矩形和圆的面积公式，结合面积的数量关系，列出代数式，即可求解；
（）将，时，代入（1）中年的代数式，进行计算求值，即可得到答案.
（1）解：根据图形可知：；
（2）解：当，时，
．
17．【答案】（1）12；5
（2）解：由题图总结规律可得，第为正整数个图案中三角形有个，六边形有个
（3）不存在，理由如下：
因为当时，三角形有（个），六边形有40个，而，
所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（1）观察可知：第1图案中，三角形4个，六边形1个；
第2个图案中，三角形6个，六边形2个；
第3个图案中，三角形8个，六边形3个；
以此类推，可知第5个图案中，三角形有12个，六边形有5个；
故答案为：12；5.
【分析】（1）分别观察前个图案中三角形和六边形的个数，总结规律即可得到第五个图案中的三角形和六边形的个数；
（2）在（1）的基础上，总结规律，即可得到第n个图案中的三角形和六边形；
（3）根据（2）的基础上，根据三角形和六边形的个数，可知对应为第40个图案，然后计算对应的三角形的数量，判断即可.
18．【答案】（1）解：．
（2）解：当，时，
．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据正方形和三角形的面积公式，结合正方形的一半减去右上角的小三角形的面积，列出代数式，即可求解．
（2）将，代入（1）中代数式，结合有理数的运算法则，进行计算，即可求解．
（1）解：．
（2）解：当，时，
．
19．【答案】（1）；
（2）解：由（1）可知，当时，
A方案付款金额（元），
B方案付款金额（元）.
因为.
所以购买150条跳绳时，A方案较为合算
（3）能给出一种更为省钱的购买方案.按A方案购买50个篮球（送50条跳绳），按B方案购买100条跳绳合计需付款：
（元）.
因为，
所以更为省钱的购买方案是：按A方案购买50个篮球（送50条跳绳），剩下的100条跳绳按B方案购买，需付款7800元
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（1）按A方案，买一个篮球送一条跳绳，购买50个篮球，赠送50条跳绳，需额外购买的跳绳数为(x-50)条，
总费用为：50×120+(x-50)×20=6000+20x-1000=元，
按B方案，所有商品按定价的90%付款，总费用为：(50×120+x×20)×0.9=(6000+20x)×0.9=元。
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意，用含有x的式子表示方案A和B方案的总费用即可；
（2）在（1）的基础上，分别计算方案A和B的费用，然后比较即可确定；
（3）结合购买的数量，探究更优的混合购买方案即可.
20．【答案】（1）解∶方案一费用：元；
方案二费用：元．
（2）解∶当时，方案一更合适，计算如下：
方案一： (元)
方案二：(元)
因为
所以方案一更合适．
（3）解∶可以有更合适的购买方式，方案如下：
按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要 (元)
按方案二购买剩余10只茶碗，需要 (元)
所以，共计 (元)．
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）方案一费用：30套茶具费用加条茶碗费用；方案二费用： 30套茶具费用与x只茶碗费用之和再乘以即可；
（2）把代入（1）中的式子计算，比较大小即可判断求解；
（3）根据题意可得按方案一购买30套茶具和30只茶碗，方案二购买剩余的10只茶碗，然后再进行计算即可求解．
（1）解∶方案一费用：元；
方案二费用：元．
（2）解∶当时，方案一更合适，计算如下：
方案一： (元)
方案二：(元)
因为
所以方案一更合适．
（3）解∶可以有更合适的购买方式，方案如下：
按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要 (元)
按方案二购买剩余10只茶碗，需要 (元)
所以，共计 (元)．
21．【答案】（1），7，10，
（2）解：第100个图形中的灰色方块有（个），
第102个图形中的白色方块有（个）．
（个）．
答：第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个；
（3）解：第个图形中的灰色方块有个，
第个图形中的白色方块有（个），
（个）．
答：第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个．
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：第2个图形中白色方块数为（个），
第3个图形中白色方块数为（个），
第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，
故答案为：，7，10，；
【分析】（1）观察图形发现灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出第2个，第3个白色方块个数，第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，；
（2）根据（1）中的规律，第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，第100个图形中的灰色方块数当n=100代入式子=500；第102个图形中的白色方块数当n=102代入式子307，则共有807个；
（3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数有个和第个图形中的白色方块数有，则 ．
（1）解：根据题意可得：
第2个图形中白色方块数为（个），
第3个图形中白色方块数为（个），
第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，
故答案为：，7，10，；
（2）解：第100个图形中的灰色方块有（个），
第102个图形中的白色方块有（个）．
（个）．
答：第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个；
（3）解：第个图形中的灰色方块有个，
第个图形中的白色方块有（个），
（个）．
答：第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个．
22．【答案】解：（1）图（1）中火柴棒总数是根，
图（2）中火柴棒总数是根，
因为火柴棒的总数相同，
所以，
即．
（2）设图（3）中有个小正方形，则火柴总数为根，
由题意得，
所以，
∵都为正整数，且被5整除，
∴p的个位数字只能是2或7，即，…，
∴使是3的倍数且值最小的，这时，且a的值最小，
即．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】(1)根据图1和图2的火柴棒的总数相同，列出等式，从而得到关系式；
(2)可设图3中有3p个正方形，可得等式 求出最小正整数解，从而得到a的最小值.
23．【答案】（1）①③；②；
（2）解：∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代效式”，
∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为；

（3）
【知识点】有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有②
故答案为：①③；②；
（3）∵
∴是“奇代数式”，
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，
∵，
∴是“偶代数式”
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是，
∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是，
故答案为：
【分析】（1）根据定义即可判定；
（2）根据“奇代数式”的定义即可得到答案；
（3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和．
（1）解：∵，，，
∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有②
故答案为：①③；②；
（2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代效式”，
∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为；
（3）∵
∴是“奇代数式”，
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，
∵，
∴是“偶代数式”
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是，
∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是，
故答案为：
1 / 1人教版七（上）第三章 代数式单元测试培优卷
一、选择题
1．下列各式中，代数式有（　　）
；；；；；；；.
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】代数式由数、变量和运算符号组成，不包含等号或不等号。
分析各选项：①(分数，符合)
②26+38（运算式，符合）
③ab=ba(等式，不符合)
④ (含变量，符合)
⑤2a-1(含变量，符合)
⑥a(变量，符合)
⑦ (含变量，符合)
⑧5n+2(含变量，符合)
共7个代数式（排除③）
故答案为：C.
【分析】 代数式是由数、变量和运算符号（如加、减、乘、除等）组成的数学表达式，但不包含等号或不等号，换句话说，代数式是一个没有等式或不等式关系的数学表达形式，根据定义对每个式子进行判断即可.
2．（2025七上·宁波期末）大约从 20 世纪 50 年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器。若开始输入 的值是 5 ，则第 1 次输出的结果是 16 ，第 2 次输出的结果是 8 ，第 3 次输出的结果是 4 ．依次继续下去，第 2025 次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，
第3次输出的结果是4，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是，
第6次输出的结果是3×1+1=4，
第7次输出的结果是2，
第8次输出的结果是1，
……
从第3开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，
(2025-2)÷3=674...1，
∴第2025次输出的结果为4，
故答案选：D.
【分析】从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答.
3．（2024七上·房山期中）用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　）
①②
③④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】用字母表示数；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：①③如下图：
几何图形的面积：或，故①③正确．
②如下图：
几何图形的面积：，故②正确，
④如下图：
几何图形的面积：，故④正确，
综上①②③④正确，
故选：A．
【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的面积，根据选项，结合矩形的面积公式，依次画出图形表示出面积，即可得出答案．
4．若，且，则式子的值等于（　　）
A．7 B．1 C．1或 D．5或
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵|a|= 2， |b|= 3，
∴a=±2， b=±3，
∵ab>0，
∴当a=2时， b=3， 则a+b=5，
当a=-2时， b=-3， 则a+b=-5.
综上所述，a+b的值是5或-5；
故选： D.
【分析】根据绝对值的意义得到a =±2， b =±3， 由 ab>0， 则a=2， b=3或a=-2， b =-3， 把它们分别代入a+b中计算即可.
5．已知是一个两位数，也是一个两位数，将放在的左边构成一个新的四位数，则这个四位数可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】∵x原本是两位数，当把x放在y的左边构成四位数时，
∴x所在的数位从原来的十位和个位变成了千位和百位，也就是说，x的数值扩大了100倍，
∵y仍然是它本身的两位数，
∴将扩大100倍后的x与y组合起来构成的四位数就是100x+y，
故答案为：D.
【分析】 要表示出新构成的四位数，需要明确数位的意义和数字的位置关系， 因为x是两位数，放在y的左边，就相当于x扩大了100倍，然后表示即可.
6．（2024七上·江油期中）若时，式子的值为2025，则当时，式子的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：时，式子的值为2025，
，
时，
.
故答案为：B．
【分析】根据题意，将x=-1代入ax3+bx+7=2025可得a+b=-2018，然后将x=-1代入ax3+bx+7计算后，再将a+b=-2018整体代入计算可得答案.
7．（2024七上·成都期中）观察下面三行数：
，9，，81……①
1，，9，……②
，10，，82……③
设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：①由，9，，81……，得第n个数为，则；
②由1，，9，……，得第n个数为，则；
③由，10，，82……，得第n个数为，则，
∴
.
故答案为：A．
【分析】观察第①组数发现：符号为奇负偶正，故符号可用(-1)n控制，数字部分每一个数的绝对值都是3的幂次方，第n个数为3n，则第①组的第n个数可表示为(-3)n；观察第②组数发现，符号为奇正偶负，故符号可用(-1)n-1控制，数字部分每一个数的绝对值都是3的幂次方，第n个数为3n-1，则第①组的第n个数可表示为(-3)n-1；观察第③组数发现，每一个数比第①组数对应数大1，故第③组的第n个数可表示为(-3)n-1，据此分别求出第202个数x、y、z的表达式，最后代入待求式子计算可得答案.
8．（2024七上·金东期中）9月16号，杭州亚运村举行开村仪式暨中国体育代表团欢迎仪式，有位运动员乘坐辆车，若每辆车载人，则还有人不能上车；若每辆车载人，则最后一辆车空了个座位．①运动员有人；②运动员有人；③运动员乘坐的车有辆；④运动员乘坐的车有辆．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意，①运动员有人，
∴此选项正确，符合题意；
②运动员有人，
∴此选项正确，符合题意；
③运动员乘坐的车有辆，
∴此选项不正确，不符合题意；
④运动员乘坐的车有辆，
∴此选项正确，符合题意；
∴正确的有①②④.
故答案为：B．
【分析】根据“有位运动员乘坐辆车，若每辆车载人，则还有人不能上车；若每辆车载人，则最后一辆车空了个座位”，列出代数式，依次分析判断即可求解．
9．（2024七上·玉环期末）如图：圆，三角形，正方形三个图形的面积相等，重叠部分面积分别记为和，不重叠部分面积分别记为，，，，若，则，，，之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵S1+a=S3+S4+a+b，S3+S4+a+b=S2+b，
∴S1-S3-S4=b，S2-S3-S4=a。
∵3a=2b，
∴3（S2-S3-S4）=2（S1-S3-S4），
∴2S1+S4=3S2-S3.
故正确答案选：B.
【分析】由S1+a=S3+S4+a+b，S3+S4+a+b=S2+b，可以推出S1-S3-S4=b，S2-S3-S4=a。再由3a=2b，可以得到3（S2-S3-S4）=2（S1-S3-S4），进而可以得出2S1+S4=3S2-S3.
10．如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　）
A．220 B．232 C．242 D．252
【答案】D
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：1+1=2，2×2=4，2×4+1=9；
2+1=3，3×2=6，3×6+2=20；
3+1=4，4×2=8，4×8+3=35；
……
n+1=n+1，（n+1）×2=2（n+1），（n+1）×2（n+1）=2(n+1)2，
则a+1=b，2b=22，22b+a=x，
∴ b=11，a=10，
∴ x=252.
故答案为：D.
【分析】根据正方形中四个数发现规律，左下角的数=左上角的数+1，右上角的数=2×左下角的数，右下角的数=左下角的数×右上角的数+左上角的数，据此可得x的值.
二、填空题
11．甲、乙两地相距千米，某人用小时从甲地骑行到乙地，再开车回到甲地，总用时小时，那么他开车的平均速度为　 　千米/时.
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】已知从甲地骑行到乙地用时a小时，往返总用时b小时，那么开车所用的时间为(b-a)小时，
甲、乙两地相距m千米，开车时间为(b-a)小时，
根据"速度=路程÷时间"，可得开车的平均速度为：千米/时，
故答案为：.
【分析】 先求出开车所用的时间，再根据路程、速度和时间的关系，用甲、乙两地的距离除以开车所用时间，即可得到开车的平均速度.
12．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据绝对值及偶次方的非负性求解x，y值，再将x，y值代入计算可求解
13．（2024七上·成都期中）如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要　 　个三角形，……，摆第层图案需要　 　个三角形．
【答案】；
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1层，1个三角形，
第2层，3个三角形，比第一次多2个，
第3层，7个三角形，比第二次多4个，
第4层，13个三角形，比第三次多6个，
∴第5层三角形的个数为：（个），
第6层三角形的个数为：（个），
，
∴第10层三角形的个数为：（个），
∴第层与第的数量关系是：第层上的三角形个数比第层多个三角形，
∴第层三角形的个数为：
，
故答案为：， ．
【分析】观察层次与三角形数量的关系可得后一层依次比前一层多2、4、6、8、10、……个三角形，即第层上的三角形个数比第层多个三角形，分别算出每个三角形的个数，运用整式混合运算即可求解．
14．（2024七上·锦江期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．若长方形内有4个点，则三角形个数为　 　个，若长方形内有个点，则三角形个数为　 　个（不计被分割的三角形）．
【答案】10；
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：图2中长方形内有1个点时，三角形个数为（个）；
图3中长方形内有2个点时，三角形个数为（个）；
以此类推长方形内有3个点时，三角形个数为（个）；
长方形内有4个点时，三角形个数为（个）；
……
长方形内有个点时，三角形个数为个．
故答案为：10；．
【分析】根据长方形内有1个点时三角形个数，长方形内有2个点时三角形个数，……从中找出规律，再根据规律求出结果．
15．（2024七上·黄埔期中）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为　 　．
【答案】440
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子
（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【分析】
先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可解答．
三、解答题
16．（2024七上·南宁期中）李华家中有一个长方形窗户（如图），窗帘是由半径相同的两个四分之一圆组成的，图中透光面积（空白部分的面积）为．
（1）请用含、的代数式表示；
（2）当，时，的值．（取）．
【答案】（1）解：根据图形可知：；
（2）解：当，时，
．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（）根据矩形和圆的面积公式，结合面积的数量关系，列出代数式，即可求解；
（）将，时，代入（1）中年的代数式，进行计算求值，即可得到答案.
（1）解：根据图形可知：；
（2）解：当，时，
．
17．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.
（1）第5个图案中，三角形有　 　个，六边形有　 　个.
（2）第为正整数个图案中，三角形与六边形各有多少个？
（3）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）12；5
（2）解：由题图总结规律可得，第为正整数个图案中三角形有个，六边形有个
（3）不存在，理由如下：
因为当时，三角形有（个），六边形有40个，而，
所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（1）观察可知：第1图案中，三角形4个，六边形1个；
第2个图案中，三角形6个，六边形2个；
第3个图案中，三角形8个，六边形3个；
以此类推，可知第5个图案中，三角形有12个，六边形有5个；
故答案为：12；5.
【分析】（1）分别观察前个图案中三角形和六边形的个数，总结规律即可得到第五个图案中的三角形和六边形的个数；
（2）在（1）的基础上，总结规律，即可得到第n个图案中的三角形和六边形；
（3）根据（2）的基础上，根据三角形和六边形的个数，可知对应为第40个图案，然后计算对应的三角形的数量，判断即可.
18．（2024七上·南宁期中）如图，正方形的边长为x．
（1）根据图中数据，用含x，y的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：．
（2）解：当，时，
．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据正方形和三角形的面积公式，结合正方形的一半减去右上角的小三角形的面积，列出代数式，即可求解．
（2）将，代入（1）中代数式，结合有理数的运算法则，进行计算，即可求解．
（1）解：．
（2）解：当，时，
．
19．为了调动学生们体育锻炼的积极性，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元.某体育用品商店提供A，B两种优惠方案方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的付款.已知要购买篮球50个，跳绳条.
（1）若按A方案购买，一共需付款　 　元；若按B方案购买，一共需付款　 　元.（用含的代数式表示）
（2）当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
【答案】（1）；
（2）解：由（1）可知，当时，
A方案付款金额（元），
B方案付款金额（元）.
因为.
所以购买150条跳绳时，A方案较为合算
（3）能给出一种更为省钱的购买方案.按A方案购买50个篮球（送50条跳绳），按B方案购买100条跳绳合计需付款：
（元）.
因为，
所以更为省钱的购买方案是：按A方案购买50个篮球（送50条跳绳），剩下的100条跳绳按B方案购买，需付款7800元
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（1）按A方案，买一个篮球送一条跳绳，购买50个篮球，赠送50条跳绳，需额外购买的跳绳数为(x-50)条，
总费用为：50×120+(x-50)×20=6000+20x-1000=元，
按B方案，所有商品按定价的90%付款，总费用为：(50×120+x×20)×0.9=(6000+20x)×0.9=元。
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意，用含有x的式子表示方案A和B方案的总费用即可；
（2）在（1）的基础上，分别计算方案A和B的费用，然后比较即可确定；
（3）结合购买的数量，探究更优的混合购买方案即可.
20．（2024七上·武侯期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供优惠方案如下：
方案一：买一套茶具送一只茶碗；
方案二：茶具和茶碗按定价的九五折付款．
现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只．
（1）用含x的代数式分别表示方案一和方案二的应付钱数；
（2）若，选择上述两个方案中的一个，则选择哪个比较省钱？请计算说明；
（3）当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解∶方案一费用：元；
方案二费用：元．
（2）解∶当时，方案一更合适，计算如下：
方案一： (元)
方案二：(元)
因为
所以方案一更合适．
（3）解∶可以有更合适的购买方式，方案如下：
按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要 (元)
按方案二购买剩余10只茶碗，需要 (元)
所以，共计 (元)．
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）方案一费用：30套茶具费用加条茶碗费用；方案二费用： 30套茶具费用与x只茶碗费用之和再乘以即可；
（2）把代入（1）中的式子计算，比较大小即可判断求解；
（3）根据题意可得按方案一购买30套茶具和30只茶碗，方案二购买剩余的10只茶碗，然后再进行计算即可求解．
（1）解∶方案一费用：元；
方案二费用：元．
（2）解∶当时，方案一更合适，计算如下：
方案一： (元)
方案二：(元)
因为
所以方案一更合适．
（3）解∶可以有更合适的购买方式，方案如下：
按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要 (元)
按方案二购买剩余10只茶碗，需要 (元)
所以，共计 (元)．
21．（2024七上·廊坊期中）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形．
（1）请观察图形，并填写下列表格；
图形标号 第1个 第2个 第3个 … 第n个
灰色方块的个数 5 10 15 … ______
白色方块的个数 4 ______ ______ … ______
（2）第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？
（3）第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示）
【答案】（1），7，10，
（2）解：第100个图形中的灰色方块有（个），
第102个图形中的白色方块有（个）．
（个）．
答：第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个；
（3）解：第个图形中的灰色方块有个，
第个图形中的白色方块有（个），
（个）．
答：第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个．
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：第2个图形中白色方块数为（个），
第3个图形中白色方块数为（个），
第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，
故答案为：，7，10，；
【分析】（1）观察图形发现灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出第2个，第3个白色方块个数，第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，；
（2）根据（1）中的规律，第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，第100个图形中的灰色方块数当n=100代入式子=500；第102个图形中的白色方块数当n=102代入式子307，则共有807个；
（3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数有个和第个图形中的白色方块数有，则 ．
（1）解：根据题意可得：
第2个图形中白色方块数为（个），
第3个图形中白色方块数为（个），
第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个，
故答案为：，7，10，；
（2）解：第100个图形中的灰色方块有（个），
第102个图形中的白色方块有（个）．
（个）．
答：第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个；
（3）解：第个图形中的灰色方块有个，
第个图形中的白色方块有（个），
（个）．
答：第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个．
22．（2024七上·四川期中）现有a根长度相同的火柴棒，按图（1）可摆成m个正方形，按图（2）可摆成个正方形．
（1）用含n的代数式表示m；
（2）当这a根火柴棒还能摆成如图（3）所示的形状时，求a的最小值．
【答案】解：（1）图（1）中火柴棒总数是根，
图（2）中火柴棒总数是根，
因为火柴棒的总数相同，
所以，
即．
（2）设图（3）中有个小正方形，则火柴总数为根，
由题意得，
所以，
∵都为正整数，且被5整除，
∴p的个位数字只能是2或7，即，…，
∴使是3的倍数且值最小的，这时，且a的值最小，
即．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】(1)根据图1和图2的火柴棒的总数相同，列出等式，从而得到关系式；
(2)可设图3中有3p个正方形，可得等式 求出最小正整数解，从而得到a的最小值.
23．（2023七上·西城期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”．
（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有________；（将正确选项的序号填写在横线上．
①；②；③．
（2）某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？
（3）对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______．
【答案】（1）①③；②；
（2）解：∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代效式”，
∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为；

（3）
【知识点】有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有②
故答案为：①③；②；
（3）∵
∴是“奇代数式”，
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，
∵，
∴是“偶代数式”
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是，
∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是，
故答案为：
【分析】（1）根据定义即可判定；
（2）根据“奇代数式”的定义即可得到答案；
（3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和．
（1）解：∵，，，
∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有②
故答案为：①③；②；
（2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代效式”，
∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为；
（3）∵
∴是“奇代数式”，
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，
∵，
∴是“偶代数式”
∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是，
∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是，
故答案为：
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