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文澜中学2025学年初三第二次考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要
求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x25x B．y＝6x+1 C． D．
2．已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定
3．西溪国家湿地公园到文文家的路程为8km，文文回家所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（　　）
A．t＝8v B． C．t D．t＝8v2
4．关于二次函数y＝3（x1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大
5．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．125°
（第6题） （第7题） （第8题）
7．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，澜澜家有一个菱形中国结装饰如图，测得BD＝12cm，AB＝10cm，直线EF⊥AB交两对边于点E、F，则线段EF的长为（　　）
A．8cm B．10cm C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C．3 D．6
9．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，
交⊙O于点F，F为的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的
最小值是（　　）
A．4 B．
C．6 D．
（第9题）
10．在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax22ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 B．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
C．当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．二次函数y＝x2+2x+3的图象与y轴的交点坐标是　 　 ．
12．如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，∠AOB＝55°，则的长是　 　 ．
图1 图2 图3
（第12题）
13．在反比例函数的图象上有两点A（x1，y2）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1>y2，则m的取值范围是　 　 ．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在对角线BD上（不与点B，D重合），EF⊥BC于点F，连结AE，∠AEF＝105°，则线段BE的长为　 　 ．
15．一块梯形木板ABCD，AD//BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图方式设计一个矩形桌面EFCG（点E在边AB上）．当EF＝ 　 　 时，矩形桌面面积最大．
（第14题） （第15题） （第16题）
16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．将沿弦BC翻折，交AB于D，把沿直径AB
翻折，交BC于点E，过点D作DF⊥BC，点E恰好是翻折后的的中点，则∠ABC的度数为　 　 ，
的值为 　 　 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题各10分，第24
题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，6），求这个函数的表达式，并写出这个函数图象的对称轴.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．求证：BE＝CE.
（第18题）
19．小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 100
（1）小杭通过分析表格数据发现， F是l的函数.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的
点，并画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）. 并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
图1 图2
（第19题）
20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若点B是的中点，求证：AB＝DE；
（2）若CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径r．
（第20题）
21．已知二次函数ymx+m1（m为常数）．
（1）若点（2，1）在该函数图象上，则m＝　 　 ；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围．
22．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连结ED、EC，EC交AD于点G，作CF//ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
（第22题）
23．许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．点A、C的坐标分别是（6，2），（0，4）．
图1 图2
（第23题）
（1）直接写出点B的坐标 ；
（2）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
（3）如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S1＝2S2，求m的值．
24. 如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）如图2，若GD＝GF，GC平分∠DGF，则的值为　 　；
（3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论．
图1 图2 (备用图)
（第24题）
文澜中学2025学年初三第二次考试数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C B B D C C D
二、填空题
11．（0，3） 12．cm 13.m>2
14． 15． 16．
三、解答题
17.，对称轴：直线x＝1
18. 证明：连结AE
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC．
∵AB＝AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE＝CE；
19. (1)如图所示：
（3）F是l的反比例函数，函数表达式为F，
当OA的长增大时，拉力F减小，
理由：在第一象限内，F随l的增大而减小．
20. (1) ∵点B是的中点，
∴，
∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，
∴，
∴，
∴，
∴DE＝AB；
(2) 连结OA，
∵OD⊥AB，AB＝6，
∴AC＝BCAB＝6，
∵CD＝2，
∴OC＝r﹣2＝OA﹣CD，
在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣2）2+62，解得r＝10，
∴⊙O的半径10．
21. (1) 2；
(2)由题可知
，
∵（m﹣1）2≥0，
∴（m﹣1）2+1＞0，
∴Δ＞0，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
(3)p＞1或p＜﹣1．
22. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF＝CD＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，DA＝BC＝3，
∴BF4，
∵AB＝CD=5，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，
在Rt△FGA中，FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG．
23.（1）B（-6，2）
（2）由题意可设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+4，将点A（6，2）代入得
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
(3)设平移后的抛物线对应的关系式为，
当x＝0时，得，
此时抛物线与y轴的交点设为，
∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且S1＝2S2，
∴，
∴，
解得m＝6（负值已舍）或m（负值已舍），
∴m的值为6或．
24. (1) （1）证明：
∵四边形ADCG为圆的内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC．
∵AB是直径， CD⊥AB，
∴，
∴∠ADC＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
(2)4.
(3) 解： DH＝HG+CG．理由：
在DG的延长线上截取GM＝GC，连接AM，
∵∠AGM＝∠DGF，∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGM＝∠DGC+∠FGC＝∠DGC+∠AGD＝∠AGC．
在△AGC和△AGM中，
，
∴△AGC≌△AGM（SAS），
∴AC＝AM．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴AD＝AC，
∴AD＝AM，
∵AH⊥DG，
∴DH＝HM，
∴DH＝HG+GM＝HG+GC．
初三年级数学试卷 第1页 共5页

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