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第3课时　应用一元一次方程——行程问题
第五章　5.3　一元一次方程的应用
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.(重点)
2.发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力.(难点)
学习目标
时隔5年，再回上海的“2024 F1中国大奖赛”重新点燃了中国汽车运动爱好者的激情.观察赛车历程表，你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？
情境引入
一、用一元一次方程解决相遇问题
问题　(1)行程问题中，常用的量有哪些？
提示　路程、速度、时间.
(2)这些量之间存在的关系是什么？
提示　路程=速度×时间，以及本公式的其他变形.
(3)对于行程问题，分类有几种？
提示　追及(同向而行)与相遇(相向而行)，还有环形跑道、顺风逆风、过桥等.
A，B两地间的路程为360 km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72 km.甲车出发25 min后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48 km，乙车出发几小时两车相遇？
例1
解　画出“线段图”如图所示.
设乙车出发x h两车相遇，
根据题意，得72+48x=360，
解得x=，
故在乙车出发 h两车相遇.
找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系.这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系.
反思感悟
A，B两地相距450 km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120 km/h，乙车速度为80 km/h，问经过多少小时两车相距50 km？
跟踪训练1
解　设经过x h两车相距50 km，
第一种情况如图所示，则120x+80x=450-50，
解得x=2；
第二种情况如图所示，则120x+80x=450+50，
解得x=2.5，
故经过2 h或2.5 h两车相距50 km.
二、用一元一次方程解决追及问题
甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，问：多长时间甲追上乙？
例2
解　画出“线段图”如图所示，
设经过t秒甲追上乙，
根据题意，得5+6.5t=7t，
解得t=10，
故在10秒后甲追上乙.
这类追及问题的等量关系：甲的路程=乙的路程，或者是甲、乙间隔的路程+乙走的路程=甲追及的路程.
反思感悟
某中学学生步行到郊外旅行，七年级(1)班学生组成前队，步行速度为4 km/h，七年级(2)班的学生组成后队，速度为6 km/h.前队出发1 h后，后队才出发，后队追上前队需要多长时间？
跟踪训练2
解　设后队追上前队需要x h，
由题意，得(6-4)x=4×1，
解得x=2，
所以后队追上前队需要2 h.
三、用一元一次方程解决环形问题
操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒跑10米，两人绕跑道同时同地同向而行，经过多长时间两人第一次相遇？
例3
解　设经过x秒两人第一次相遇，由题意，得
10x-5x=400，
解得x=80.
所以经过80秒两人第一次相遇.
环形问题中的相等关系，两个人同时同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程+乙的行程=一圈周长；两个人同时同地同向而行：追及问题(首次追上)，|甲的行程-乙的行程|=一圈周长.
反思感悟
(1)如图，甲、乙两人沿着边长为90 m的正方形，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50 m/min的速度行走；同时，乙从点B出发，以65 m/min的速度行走.当乙第一次追上甲时，在正方形的
A.BC边上 B.AD边上
C.点C处 D.点D处
跟踪训练3
√
解析　设乙x min第一次追上甲，
由题意得65x-50x=270，
解得x=18，
而50×18=900，900÷(4×90)=2……180，
即乙第一次追上甲是在点C处.
(2)甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米，如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过几秒两人首次相遇？若两人同时反向出发，经过多长时间两人首次相遇？
解　设同向时经过x秒甲、乙两人首次相遇，
根据题意，得8x-6x+8=400，解得x=196，
所以同向时，经过196秒甲、乙两人首次相遇.
设反向时经过y秒甲、乙两人首次相遇，
根据题意，得8y+6y+8=400，解得y=28，
所以反向时，经过28秒甲、乙两人首次相遇.
四、用一元一次方程解决过桥问题
某铁路桥长1 200 m，现在一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用50 s，整列火车完全在桥上的时间为30 s，求火车的车身长和速度.
例4
解　根据题意，画图如图所示，
设火车车身长x m，根据题意，得=，
解得x=300，
所以=30，
故火车车身长300 m，速度为30 m/s.
在行程问题中，有的物体的长度有时会忽略不计，如小汽车、卡车等，在“线段图”中可看成一个点；有的物体是有长度的，如火车、队伍等，不能看成一个点.
反思感悟
一列火车正在匀速行驶，它先用26 s的时间通过了一条长256 m隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口)，又用16 s的时间通过了一条长96 m隧道，则这列火车长　　　m.
跟踪训练4
160
解析　设这列火车长x m，
依题意得=，
解得x=160.
故这列火车长160 m.
借助“线段图”分析行程问题中的数量关系：
(1)相遇问题：S甲+S乙=两地距离.
(2)追及问题：
(3)环形跑道问题：
(4)过桥问题：根据题意分析，计算路程时是否考虑车长，一般根据速度
相等列方程.
1.父子二人早上去公园晨练，父亲从家跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需
A.8分钟 B.9分钟
C.10分钟 D.11分钟
√
解析　设儿子追上父亲需x分钟，
根据题意，得x=，解得x=10.
所以儿子追上父亲需10分钟.
2.《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是
A.走路快的人和走路慢的人的速度比为5∶3
B.可得方程60x=100x-100
C.x的值为250
D.可得方程=
√
解析　A项，因为在相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步，
所以两人的速度比为100∶60=5∶3，选项A不符合题意；
B项，设走路快的人走x步，则走路慢的人走(x-100)步，
根据题意得=，
即60x=100x-10 000，选项B符合题意；
C项，设走路快的人走x步，则走路慢的人走(x-100)步，
根据题意得=，
即60x=100x-10 000，
解得x=250，选项C不符合题意；
D项，设走路快的人走x步，则走路慢的人走(x-100)步，
根据题意得=，
即=，选项D不符合题意.
3.一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是
A.18千米/时 B.15千米/时
C.12千米/时 D.20千米/时
解析　设轮船在静水中的速度是x千米/时，
根据题意得3(x-3)=2(x+3)，
解得x=15.
即轮船在静水中的速度是15千米/时.
√
4.小明在公路上行走，速度是每小时6千米，一辆车身长20米的汽车从背后驶来，并从小明身旁驶过，驶过小明身旁的时间为15秒，则汽车的行驶速度是多少？
解　设汽车的行驶速度是每小时x千米，
由题意得(x-6)×=，
解得x=10.8，
故汽车的行驶速度是每小时10.8千米.
本课结束

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