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第2课时　应用一元一次方程——“盈不足”问题
第五章　5.3　一元一次方程的应用
1.学会用表格分析盈不足问题，掌握数量关系a+m=b-n.(重点)
2.会用一元一次方程解答盈不足问题.(难点)
3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想.(重点)
学习目标
“盈不足”是《周礼》九数之一，这种方法在古代中国被广泛应用于各种实际问题，如共同购买物品时的分摊计算等，通过“盈不足”的方法，可以计算出参与购买的人数和物品的价格.这种方法不仅适用于简单的算术问题，还可以解决高等数学中用于推求高次数字方程或函数实根的近似值.
情境引入
一、古代盈不足问题
《九章算术》中有这样一个问题，原文是：
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？(注：“钱”为中国古代的货币单位)
请解答上述问题.
例1
解　设有x人，
依题意，得8x-3=7x+4，解得x=7，
所以8x-3=53.
即人数为7，物品的价格是53钱.
《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，则x等于
A.38 B.39 C.40 D.41
跟踪训练1
解析　由题意可得+2=，解得x=39.
√
二、现代盈不足问题
学校在一次研学活动中，师生乘坐客车前往，若每辆客车乘30人，则还有8人不能上车；若每辆客车乘38人，则少用了一辆车，并空了2个座位.则师生人数一共为
A.188 B.158 C.97 D.48
例2
√
解析　设师生一共有x人，由题意，得
=+1，
解得x=188.
所以师生人数一共为188.
某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租1辆，且余30个空座位，则该学校参加春游的人数为
A.180 B.270 C.360 D.450
跟踪训练2
解析　设租用x辆45座的客车，
依题意，得45x=60(x-1)-30，
解得x=6，
6×45=270.
√
用一元一次方程解决问题的关键：
(1)仔细审题，利用表格分析数量关系.
(2)列方程.
(3)解方程并验证结果.
1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问：几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为
A.=x-1 B.=x+1
C.=x-4.5 D.=x+4
√
2.一批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有　　　本.
解析　设有x人，则由题意可得6x-6=5x+5，解得x=11，
共有书5×11+5=60(本).
60
3.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？”则该题中合伙人数为　　　.
解析　设合伙人数为x，
依题意，得5x+45=7x+3，
解得x=21.
所以合伙人数为21.
21
4.用化肥若干千克给麦田追肥，每公顷追肥6千克还差17千克，每公顷追肥5千克还剩余3千克，问：麦田有多少公顷？化肥有多少千克？
解：设麦田有x公顷，则用去的化肥可用两个式子表示，一个是6x-17，另一个是　　　，得方程6x-17=　　　，解得x=　　，
化肥有6x-17=　　　　　=　　　(千克)， 即________________________
　　 .
5x+3
5x+3
20
6×20-17
103
麦田有20公顷，化肥有103
千克
本课结束

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