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第1课时　应用一元一次方程——形积变化问题
第五章　5.3　一元一次方程的应用
1.能针对具体问题列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.(重点)
2.通过具体问题的解决体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系.(难点)
学习目标
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由
4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少？
情境引入
一、等积变形问题
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
容积/m3
问题　解决“情境引入”中的问题：设水箱的高变为x m，填写表格.
2
1.6
4
x
π×22×4
π×1.62x
试着解出“情境引入”中的结果.
例1
解　设水箱的高度变为x m，根据题意，得
π×22×4=π×1.62x，
解得x=6.25，
所以水箱的高变成了6.25 m.
解决等积(长)变形问题，要用到小学学过的周长、面积、体积等公式：
(1)长方形的周长=(长+宽)×2，l=2(a+b)，
正方形的周长=边长×4，l=4a.
(2)长方形的面积=长×宽，S=ab，
正方形的面积=边长×边长，S=a2.
(3)三角形的面积=底×高÷2，S=ah.
反思感悟
(4)平行四边形的面积=底×高，S=ah.
(5)梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，S=(a+b)h.
(6)圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2，C=πd=2πr.
(7)圆的面积=圆周率×半径×半径，S=πr2=π=.
(8)圆环的面积：S圆环=π(R2-r2)=.
R表示外圆半径，r表示内圆半径，D表示外圆直径，d表示内圆直径.
反思感悟
(9)长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，S=2(ab+ah+bh).
(10)长方体的体积=长×宽×高，V=abh.
(11)正方体的表面积=棱长×棱长×6，S=6a2.
(12)正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a3.
(13)圆柱的侧面积=底面圆的周长×高，S侧=Ch=2πrh.
反思感悟
(14)圆柱的表面积=上、下底面面积+侧面积，S表=2S底+Ch=2(πr2+πrh).
(15)圆柱的体积=底面积×高，V=πr2h.
(16)圆锥的体积=×底面积×高，V=πr2h.
反思感悟
(1)如图，张师傅要将一个底面半径为10 cm，高为9 cm的“矮胖”形圆柱，锻压成底面半径为5 cm的“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中，圆柱体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？
跟踪训练1
解　设圆柱的高变成了x cm，根据题意，得
π×102×9=π×52x，解得x=36，
因此，圆柱的高变成了36 cm.
(2)如图，一个长方体容器里装满果汁，长方体的长为12 cm，宽为8 cm，高为24 cm.把果汁倒满旁边的圆柱形玻璃杯，杯子的内径为6 cm，高为18 cm，这时长方体容器里果汁的高度约是多少？(π取3.14，结果精确到0.01 cm)
解　设这时长方体容器里果汁的高度是x cm.
由题意，得12×8x+π××18=12×8×24，解得x≈18.70.
因此，这时长方体容器里果汁的高度约是18.70 cm.
二、等长变形问题
小明家买了长为10米的栏杆，准备围成一个长方形花圃.下面三种围法面积各是多少？
妈妈：围成长比宽多1.4米的长方形；
小明：围成长比宽多0.8米的长方形；
爸爸：我建议围成长与宽相等的正方形.
例2
解　妈妈的方案：
设长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米，
根据题意，得2(x+1.4+x)=10，
解得x=1.8，
长是1.8+1.4=3.2(米)，
面积为3.2×1.8=5.76(平方米)，
因此，妈妈的方案围成的面积是5.76平方米.
小明的方案：
设长方形的宽为x米，则它的长为(x+0.8)米.根据题意，得(x+0.8+x)×2=10，
解得x=2.1，
长是2.1+0.8=2.9(米).
面积是2.9×2.1=6.09(平方米)，
因此，小明的方案围成的面积是6.09平方米.
爸爸的方案：
设正方形的边长为x米，根据题意，得4x=10，
解得x=2.5，
面积是2.52=6.25(平方米)，
因此，爸爸的方案围成的面积是6.25平方米.
解决等周长变形问题：长、宽改变了，周长不变；形状、面积不同，而周长相同，可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.
反思感悟
(1)已知一个小长方形的长和宽分别是x和2，当5个形状、大小相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分面积是　　.
跟踪训练2
解析　一个小长方形的长和宽分别是x和2，因为大长方形是由5个形状、大小相同的小长方形拼成.
所以(x+2+2)×(5+2+2)=5×2x+S阴影，且x+2=5+2+2.
所以x=7，S阴影=(7+4)×9-5×2×7=29.
29
(2)如图所示，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
解　设正方形的边长是x厘米.
则4x=5(x-4)，解得x=20，
20×4=80(平方厘米)，
因此，每一个长条的面积为80平方厘米.
1.三角形的三边长之比为2∶2∶3，最长边为15，那么三角形的周长是
A.35 B.20 C.15 D.10
√
解析　设边长一份为x，则3x=15，解得x=5，
则2x=10，
所以三角形三边长分别为10，10，15，所以周长为35.
2.一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是
A.7 B. C.3 D.4
解析　设原正方形的边长是x米，
由题意可得(x+5)(x+3)-x2=71，
解得x=7，
即原来正方形的边长为7米.
√
3.“里拉斜塔”是一种科学现象，指通过叠加木块形成伸出长度远超自身的尺寸的塔状结构，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中，如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜
塔”，每块木板都是完全相同的长方体，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，…，
按此规律，若每块木板的长度都为10 cm，则　　　(填编号)号木板最多可伸出2 mm.
解析　设第n号木板最多可伸出2 mm，
10×=0.2，
解得n=25.
故第 号木板最多可伸出2 mm.
4.如图，一个盖着盖的容器里装着一些水，根据图中标明的数据可计算该容器的容积是　　cm3.
70
解析　设容器的容积是x cm3，
由题意，得x-(9-7)×10=10×5，
解得x=70，所以容器的容积是70 cm3.
本课结束

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