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第1课时　角
第四章　4.2　角
1.掌握角的概念及其表示方法.
2.进一步认识锐角、钝角、直角、平角、周角及其大小关系.(重点)
3.认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算.(难点)
4.进一步认识角在生活中的应用.
学习目标
你能不能从图中找到角？生活中还有哪些角的形象？
情境引入
一、角的定义及其表示方法
问题1　(1)我们已经认识了射线，从一点可以引出多少条射线？
提示　从一点可以引出无数条射线.
(2)如果从一点出发引出两条射线，那么出现的是什么图形？
提示　角.
问题2　如何用适当的方式分别表示图中的每个角？它们能用∠A来表示吗？
提示　∠BAC，∠CAD和∠BAD.
不能用∠A来表示.
知识梳理
1.角由两条具有公共 的射线组成.
2.两条射线的公共端点是这个角的顶点.
3.两条射线是这个角的两条边.
注意点：角的两边由两条射线构成，可以无限延长；角的大小与边的长短无关.
端点
4.一个角可以有以下表示方法：
(1)如图1，用三个大写字母表示： .
(2)如图1，用一个大写字母表示： .
(3)如图1，用一个数字表示： .
(4)如图2，用一个希腊字母表示： .
注意点：(1)顶点的字母必须写在中间.
(2)当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示.
(3)在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上数字.
(4)在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母.
∠AOB或∠BOA
∠O
∠1
∠α
下列语句中正确的是
A.从同一点引出的两条射线组成的图形叫作角
B.两条直线相交组成的图形叫作角
C.从同一点引出的两条线段组成的图形叫作角
D.两条线段相交组成的图形叫作角
例1
解析　从同一点引出的两条射线组成的图形叫作角，A正确，C错误；
两条直线相交，形成4个角，B错误；
角的两条边是射线，D错误.
√
正确理解角的定义是解题的关键.
反思感悟
下列说法中，正确的个数是
①两条射线所组成的图形叫作角；
②两条射线，它们的端点重合时可以形成角；
③有一个公共端点的两条线段组成的图形叫作角.
A.0 B.1 C.2 D.3
跟踪训练1
√
解析　有公共端点的两条射线所组成的图形叫作角，故①③错误；
②两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确.
在下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是
例2
√
(1)如图，下列表示∠1正确的是
A.∠O B.∠AOB
C.∠AOC D.∠OAC
跟踪训练2
√
解析　A项，以O为顶点的角有两个，故∠O不能表示∠1；
B项，∠AOB表示的角与∠1不同，故不能表示∠1；
C项，∠AOC和∠1表示同一个角，故正确；
D项，在题图中∠OAC写法错误，故不能表示∠1.
(2)如图，下列说法不正确的是
A.∠1和∠AOB是同一个角
B.∠AOC也可以用∠O表示
C.图中有三个角
D.∠α和∠BOC是同一个角
√
解析　A项，因为∠1和∠AOB是同一个角，所以此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
B项，因为以点O为顶点的角不是一个，∠AOC不可以用∠O表示，所以此选项的说法错误，故此选项符合题意；
C项，因为图中有∠AOB，∠BOC和∠AOC，共3个角，所以此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
D项，因为∠α和∠BOC是同一个角，所以此选项的说法正确，故此选项不符合题意.
二、直角、平角和周角
问题3　裁纸刀在开合过程中形成了大小不同的角.你还能举出其他类似的例子吗？
提示　开窗户、打开扇子等.
角的动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点 而成的，如图所示.
知识梳理
(1)当终边旋转到与始边垂直时，所成的角叫作直角，如图1所示.
旋转
(2)当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作 ，如图2所示.
(3)终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作 ，如图3所示.
平角
注意点：1直角=90°，1平角=180°，1周角=360°.
周角
(1)下列说法正确的是
A.平角就是一条直线
B.周角就是一条射线
C.小于平角的角是钝角
D.一个周角的度数等于四个直角的度数和
例3
解析　平角不是一条直线，故A错误；角和射线不是一个概念，故B错误；小于平角的角不一定是钝角，还可能是直角和锐角，故C错误；1周角=360°，1直角=90°，故D正确.
√
(2)下列说法正确的是
A.大于0°且小于90°的角是锐角
B.大于90°的角是钝角
C.大于0°且小于180°的角是锐角或钝角
D.直角既是锐角也是钝角
解析　大于0°且小于90°的角是锐角，故A选项正确；
大于90°且小于180°的角是钝角，故B选项错误；
大于0°且小于180°的角是锐角、直角或钝角，故C选项错误；
直角既不是锐角也不是钝角，故D选项错误.
√
(1)下列各角中，是钝角的是
A.周角 B.平角
C.平角 D.平角
跟踪训练3
√
解析　A项，周角=×360°=90°，是直角，不符合题意；
B项，平角=×180°=120°，是钝角，符合题意；
C项，平角不是钝角，不符合题意；
D项，平角=×180°=45°，是锐角，不符合题意.
(2)如图所示，图中共有　　个小于180°的角，其中最大的角是　　　　.
解析　根据图形可得，小于180°的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，共有6个，其中最大的角是∠AOD.
6
∠AOD
三、角度的换算
问题4　怎么知道一个角的大小？
提示　角的度量工具：量角器.
量角器量角的步骤：①把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合；
②零度刻线和角的一边重合；
③角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数.
问题5　1°的角怎么定义？
提示　把一个周角分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°.
1°的为1分，记作1'，即1°= .
1'的为1秒，记作1″，即1'= .
知识梳理
60'
60″
(1)把25.72°用度、分、秒表示；
例4
解　0.72°=0.72×60'=43.2'，0.2'=0.2×60″=12″，
所以25.72°=25°43'12″.
(2)把45°12'30″用度表示(结果保留2位小数).
解　30″=30×'=0.5'，12.5'=12.5×°≈0.21°，
所以45°12'30″≈45.21°.
(1)按1°=60'，1'=60″先把不够1度的部分化成分，再把不够1分的部分化成秒(小数化整数).
(2)按1″='，1'=°先把秒化成分，再把分化成度(整数化
小数).
反思感悟
(1)2.5°等于
A.90' B.25'
C.150' D.120'
跟踪训练4
解析　根据1°=60'进行换算，
2.5°=2.5×60'=150'.
√
(2)计算：
①用度、分、秒表示30.26°；
解　因为0.26°=60'×0.26=15.6'，
0.6'=60″×0.6=36″，
所以30.26°=30°15'36″.
②42°18'15″等于多少度？(结果保留3位小数)
解　因为15″='×15=0.25'，
18.25'=°×18.25≈0.304°，
所以42°18'15″≈42.304°.
四、角的应用——钟面角和方向角
(1)每经过1 h，时针转过多少度？每经过1 min，分针转过多少度？
例5
解　时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6°.
(2)当时钟指向上午10：10，时针与分针的夹角是多少度？
解　此时分针走过了360°的，即60°，所以时针移动的角度占30°的，
即5°，所以剩余25°.
故夹角为60°+30°+25°=115°.
分针每60分钟转360°，因而每分钟转360°×=6°，时针每12小时转360°，因而每小时转360°×=30°.
反思感悟
(1)确定相应钟表上时针与分针所成的角度.
跟踪训练5
30°
120°
90°
0°
(2)小红早晨8：30出发，中午12：30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为　　　，到家时时针和分针的夹角为　　　　.
75°
165°
解析　与12点整相比，8：30时，时针转过了×30°=255°，分针转过了30×6°=180°，所以夹角为255°-180°=75°.
同理12：30时，时针和分针的夹角为180°-×30°=165°.
如图，下列说法中错误的是
A.OA方向是北偏东60°
B.OB方向是北偏西15°
C.OC方向是南偏西65°
D.OD方向是东南方向
例6
√
如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是
A.南偏东40° B.北偏东50°
C.南偏西40° D.北偏西50°
跟踪训练6
√
角
1.如图，射线OP绕端点O从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形是
A.扇形 B.圆弧
C.角 D.三角形
√
解析　一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形是角.
2.以学校为观测点，广场在北偏西30°的方向上，如图中正确的是
√
3.计算下列各题：
(1)54°30'=　　　°，15.4°=　　　　；
解析　54°30'=54°+(30÷60)°=54.5°，
15.4°=15°+(0.4×60)'=15°24'.
54.5
15°24'
(2)64°23'+78°58'=　　　　　；
解析　64°23'+78°58'=143°21'.
143°21'
(3)25°36'+78.5°=　　　　　.
104°6'
解析　25°36'+78.5°=104°6'.
4.如图，当钟表上的时间显示为7：20，时针与分针所成的夹角为　　　.
解析　由题意得3×30°+20×0.5°=90°+10°=100°.
100°
本课结束

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