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第2课时　比较线段的长短
第四章　4.1　线段、射线、直线
1.掌握基本事实：两点之间线段最短.
2.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.(重点)
3.会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段.(重点)
4.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.(难点)
学习目标
想一想：小狗、小猫为什么都选择直的路？
情境引入
一、两点之间线段最短
问题1　如图，从A地到C地有四条道路，哪条路最近？
提示　AC最近.
知识梳理
1.两点之间的所有连线中， 最短.简述：两点之间线段最短.
2.我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的 .
线段
距离
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B表示两个工厂.要在铁路上建一个货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
例1
解　如图，连接AB，交MN于点P，则这个货站应建在点P处，此时货站P到两厂距离之和最短.
(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身.
(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”.
反思感悟
(1)校园中常常看到“在草坪上斜踩出一条小路”，请用数学知识解释图中这一不文明现象，其原因为
A.直线外一点与直线上点之间的连线段有无数条
B.过一点有无数条直线
C.两点确定一条直线
D.两点之间线段最短
跟踪训练1
√
(2)某同学用剪刀沿直线将一片平整的樱花叶减掉一部分(如图)，发现剩下的樱花叶的周长比原樱花叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　　　　　　　　　 .
两点之间，线段最短
二、比较两条线段的长短
问题2　怎样比较两条线段的长短？
提示　(1)度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较.
(2)叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较.
问题3　如果线段不能任意移动，怎么用叠合法比较线段的长短？
提示　尺规作图.如图，让圆规的两个尖分别与线段AB两个端点重合，利用圆规改变线段的位置，但不改变线段的长度.
若有两条线段AB，CD，用叠合法比较其长短，结论如下：
1.若点A与点C重合，点B落在C，D之间，那么线段AB小于线段CD，记作AB2.若点A与点C重合，点B与点D重合，那么线段AB等于线段CD，记作AB=CD.
3.若点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，那么线段AB大于线段CD，记作AB>CD.
知识梳理
(课本P115例题)如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB.
例2
解　如图，作法如下：
(1)作射线A'C'；
(2)用圆规在射线A'C'上截取A'B'=AB.线段A'B'就是所要作的线段.
如图，已知线段a，b，求作线段AB=2a+b.
跟踪训练2
解　如图，作法如下：
(1)作射线AM；
(2)在AM上顺次截取AB1=a，B1B2=a，B2B=b，则线段AB=2a+b.
三、线段的中点
1.中点定义：
如图，点M把线段AB分成 的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点.
知识梳理
2.数学语言：因为点M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB
(或AB=2AM=2BM).
相等
如图，在直线上有A，B，C三点，AB=4 cm，BC=3 cm，如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长度.
例3
解　因为AB=4 cm，BC=3 cm，
所以AC=AB+BC=4+3=7(cm).
因为点O是线段AC的中点，
所以OC=AC=7×=(cm)，
所以OB=OC-BC=-3=(cm).
求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开.
反思感悟
如图，AB=6 cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求AC，AD的长度.
跟踪训练3
解　因为点C是线段AB的中点，AB=6 cm，
所以AC=BC=3 cm，
因为点D是线段CB的中点，
所以CD=BD=1.5 cm，
所以AD=AC+CD=4.5(cm).
1.两点之间线段最短.
2.比较线段大小的方法：度量法、叠合法.
3.尺规作图.
4.线段的中点.
5.线段的和、差、倍、分.
1.如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是
A.过一点有无数条直线
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.直线外一点与直线上点之间的连线段有无数条
√
2.如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端(A点)正好对着直尺刻度约为5.6 cm处，另一端(B点)正好对着直尺刻度约为20.6 cm.则水笔的中点位置的刻度约为
A.15 cm B.7.5 cm C.13.1 cm D.12.1 cm
解析　因为水笔的笔尖端(A点)正好对着直尺刻度约为5.6 cm处，另一端(B点)正好对着直尺刻度约为20.6 cm.
所以水笔的长度为20.6-5.6=15(cm)，水笔的一半长度为15÷2=7.5(cm)，
所以水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5=13.1(cm).
√
3.如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AC上，若AB=6，CD=2，则BD的长是　　.
解析　因为点C是线段AB的中点，AB=6，
所以AC=BC=3，因为CD=2，
所以BD=BC+CD=3+2=5.
5
4.如图，点C，D在线段AB上，且AC=CD=BD.
(1)BC=　　AB；(填数字)
解析　因为AC=CD=BD，所以AC=CD=BD=AB，
所以BC=CD+BD=AB.
(2)比较大小：BC　　AD.(填“>”“<”或“=”)
=
解析　由(1)得BC=AB，同理可得AD=AB，所以BC=AD.
本课结束

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