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2025-2026 学年人教版高一数学上学期阶段检测（1-3 章）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1．集合 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 的非空真子集的个数为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．对于集合 ，我们把集合 且 叫做集合 的差集，记作 ．已知集
合 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 t=1，则
C．若 ，则 D．存在 ，使得
6．规定 表示取 a b 中的较大者，例如 ， .则函数
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数 的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，则说法错误的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C．若 ，则
D．若当 时， 单调递减，则当 时，不等式
的解集为
二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）
9．若不等式 的解集是 的子集，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题是假命题的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 且 ，则
11．已知函数 的图象经过点 ， ，则（ ）
A．
B．
C．曲线 关于 轴对称
D．不等式 的解集为
三．填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分）
12．已知集合 ， ， ，则 ______.
13．若函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当
时， ．
14．若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是 ．
四．解答题（共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，满分7 7
分）
15．已知幂函数 与一次函数 的图象都经过点 ，且 .
(1)求 与 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
16．已知集合 ，集合 ．
(1) 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17．已知函数 ，对于任意的 ，都有 ，当 时，
．
(1)求 的值；
(2)判断 的奇偶性和单调性；
(3)设函数 ，若方程 有 2 个不同的解，求 m 的取值范
围．
18.函数 是定义在 上的奇函数，且
(1)求 的解析式；
(2)证明 在 上为增函数；
(3)解不等式 .
19．定义运算： ，其中 为非零常数．已知
，且关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
(1)证明： 为定值．
(2)若 ，求 的值．
(3)求关于 的不等式 的解集．2025-2026 学年人教版高一数学上学期阶段检测（1-3 章）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1．集合 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， 或 .
①若 ，则 ，解得 ；
②若 ，由韦达定理得 ，无解.
综上所述， .
故选：B.
2．已知 ，则 的非空真子集的个数为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，又
所以 ，集合 的非空真子集有 ， ， ， ， ， ，
共 个，
故选：B.
3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数 的定义域为 ，得 ，则 ，
即 的定义域为 ，在函数 中，由 ，解得 ，
所以所求函数的定义域为 .
故选：A
4．设 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 且 能推出 ；但 不能推出 且 （如
， ），
所以“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.故选：B.
5．对于集合 ，我们把集合 且 叫做集合 的差集，记作 ．已
知集合 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 t=1，则
C．若 ，则 D．存在 ，使得
【答案】C
【解析】由 ，解得 ，
则 ，
当 时， ，
又 ，则 ， ，故 AB 错误；
对于 C，由定义知 ，又 ，则，
即 ，因此可得 ，
则 ，解得 ，故 C 正确；
对于 D，由 ， ，又 ，
则，可得 ，
则 ，无解，因此不存在这样的 ，使得 ，故 D 错误；
故选：BC.
6．规定 表示取 a b 中的较大者，例如 ， .则函数
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
所以 ，
显然 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：B.
7．已知函数 的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 的定义域为 ，不符合函数图像，A 不满足；
的定义域为 ，不符合函数图像，B 不满足；
， ，不符合函数图像，D 不满足.
故选：C
8．已知函数 的定义域为 ，则说法错误的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C．若 ，则
D．若当 时， 单调递减，则当 时，不等式
的解集为
【答案】A
【解析】对于 A，令 ，可得 ，所以 ，故 A 错误；
对于 B，令 ， ，所以 ，
令 ， 时，可得 ，
所以 为奇函数，故 B 正确；
对于 C，令 ，则 ，又 ， ，所以
，故 C 正确；
对于 D，因为 是奇函数， ，所以由 得
，
则 ，又 ，所以 ，
又 在 上单调递减，则不等式等价于 ，解得 ，故 D 正确.
故选：A
多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）
9．若不等式 的解集是 的子集，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】分 与 两种情况讨论，结合已知条件得出关于 的不等式（组），求出
的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】当 时，不等式 即为 ，解得 ，不合乎题意；
当 时，由于不等式 的解集是 的子集，
则 ，解方程 ，即 ，解得 ， .
由题意可得 ，解得 .
因此，AD 选项合乎题意，BC 选项不合乎题意.
故选：AD.
10．下列命题是假命题的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 且 ，则
【答案】AC
【解析】对 A，取 ，满足 ，
但 ，故 不成立，A 错误，符合题意；
对 B，若 ，则 ，所以 ，即 ，B 正确，不符合题意；
对 C，因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，C 错误，符合题意；
对 D，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，D 正确，不符合题意.
故选：AC
11．已知函数 的图象经过点 ， ，则（ ）
A．
B．
C．曲线 关于 轴对称
D．不等式 的解集为
【答案】AC
【解析】由题意可得 ， ，解得 ，故选项 A 正确，选
项 B 错误；
由前面计算可知 ，其定义域为 关于原点对称，
且 ，
为偶函数，即曲线 关于 轴对称，故选项 C 正确；
由复合函数单调性可知 在区间 上单调递减，且 为偶函数，
故 等价于 ，
两边平方可得 ，解得 ，故选项 D 错误；
故选：AC.
填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分）
12．已知集合 ， ， ，则 ______.
【答案】0 或 或-1
【解析】由题意得 ，
若 ，则 无解， 为空集，满足 ；
当 时，由 得 ，则 ，
故由 得 或 ，即 或 ，
故 a 的值为 0 或 或-1，
故答案为：0 或 或-1
13．若函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当
时， ．
13．【答案】
【解析】当 时，则 ，得 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
故当 时， .
14．若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是 ．
【答案】[2，6]
【解析】由命题“ ”的否定为“ ”，
因为命题“ ”为假命题，则“ ”为真命题，
所以 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
解答题（共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，满分7 7
分）
15．已知幂函数 与一次函数 的图象都经过点 ，且 .
(1)求 与 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
【解】（1）设 ， ， ，
则 ，
解得 ，
则 ， ；
（2）由（1）知， ，
令 ， ，则 ，
记 ，
当 时， ，
当 或 1 时， ，
故 在 上的值域为
16．已知集合 ，集合 ．
(1) 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【解】（1）当 时，集合 ，
集合 ，
则 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，
当 时，即 ，则 ，
当 时， ，得 ，
则 的取值范围为 ．
17．已知函数 ，对于任意的 ，都有 ，当 时，
．
(1)求 的值；
(2)判断 的奇偶性和单调性；
(3)设函数 ，若方程 有 2 个不同的解，求 m 的取值范围．
【解析】（1）令 ，代入 得 ，所以
．（2 分）
（2）令 ，
代入 ，可得 ，
所以 ，可得函数 为奇函数；（6 分）
任取 ，且
又因为 时， ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以函数 是 上的减函数．（10 分）
（3） ，即
所以
，（12 分）
令 ，即 ，
因为函数 是 上的减函数，所以 ，即
令 （14 分）
作出 的图象如图，结合图象，可得：
当 或 时，函数 的图象与 x 轴有 2 个交点，
即实数 m 的取值范围为 或 ．（17 分）
18.函数 是定义在 上的奇函数，且
(1)求 的解析式；
(2)证明 在 上为增函数；
(3)解不等式 .
【解】（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 ，此时
，......................................3 分
又 ，所以 ，解得 ，所以
；..........................................5 分
（2）任取 ，且 ，则
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上为增函数
（3）因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以由 ，得 ，
又因为 在 上为增函数，所以 ，解得 .
所以原不等式的解集为
19．定义运算： ，其中 为非零常数．已知
，且关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
(1)证明： 为定值．
(2)若 ，求 的值．
(3)求关于 的不等式 的解集．
【解】（1）证明：由题可知 ，则 ，
关于 的方程 即为 ，则 ，
所以 ，为定值
（2）由（1）方程 可化为 ，
由 ，解得 或 .
由 ，得 ，解得 或 .
因为 或 ，所以
（3）由（1）
所以 ，
所以 ，且 .
由（2）知 或 ，
当 时， ，则该不等式的解集为 或 ；
当 时， ，则该不等式的解集为 ；
当 时， ，则该不等式的解集为 ；
当 时， ，则该不等式的解集为 ；
当 时， ，则该不等式的解集为 或 或 ．

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