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2025-2026学年四川省泸州高级中学本部九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为( )
A. 0 B. 1 C. D. 1或
3.用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
4.抛物线过，，三点，则将，，，从小到大顺序排列是( )
A. B. C. D.
5.某人画二次函数的图象时，列出下表计算没有错误：
x
y
根据此表判断：一元二次方程的一个根满足下列关系式中的( )
A. B. C. D.
6.已知二次函数为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
7.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为( )
A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
8.如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为设道路的宽为x m，可列方程是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是若一点到达终点，另一点也随之停止运动
A. 2s或 B. 1s或 C. D. 2s或
10.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动点C在点D下方，且当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
11.关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为( )
A. B. 1 C. 3 D. 9
12.对于二次函数，规定函数是它的相关函数.已知点M，N的坐标分别为，，连接MN，若线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一元二次方程的解是______.
14.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______.
15.二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______.
16.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是______.
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：
18.解方程：
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题6分
化简：
20.本小题7分
在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点
求此抛物线的对称轴；
当时，写出y的取值范围.
21.本小题7分
2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物.
若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
22.本小题8分
湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度AB为4米，桥墩露出水面的高度AE为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度.
求抛物线的表达式；
公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？
23.本小题8分
已知关于x的方程
求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
若此方程有两个实数根、，且，求k的值．
24.本小题12分
阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第15页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数.
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数.我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”.
关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”.
①当时，该全整根方程的“关爱码”是______.
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为______.
关于x的一元二次方程为整数，且是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”.
若关于x的一元二次方程是均为正整数的“全整根伴侣方程”，求的值直接写出答案
25.本小题12分
综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点
求该抛物线的函数表达式.
点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP，PC，BC，当四边形APCB的面积最大时，求点P的坐标.
点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】，
14.【答案】
15.【答案】①③④
16.【答案】
17.【答案】解：

18.【答案】解：，
，
，
，
19.【答案】
解：原式
20.【答案】
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线解析式为，
此抛物线的对称轴为直线；
，且，
当时，y有最小值，
当时，；
当时，；
当时，y的取值范围为
21.【答案】解：由题意，设每次上涨的百分率为m，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每次上涨的百分率为
由题意，设每个售价为x元，
每天的利润
当时，每天的最大利润为
网店每个应降价元，即网店每个应降价10元．
答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．
22.【答案】
为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，
抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，解得
抛物线的表达式为
在中，令可得：
，
解得：舍去或，
处距桥墩的距离CE至少为米．
23.【答案】证明：时，方程为，方程有实数根．
时，方程为一元二次方程，
，
一元二次方程有实根，
无论k为任何实数，方程总有实根．
解方程
得：，即，
，
或，
或
的值为1或
24.【答案】解：①；
②或3；
，
，
，
，
其中完全平方数有49、64和81，
当时，，
当时，不合题意，
当时，，
当时，原方程为，
则，
当时，原方程为，
则，
综上所述：该方程的“关爱码”为或；
方程的“关爱码”，
方程的“关爱码，
由题意得：，
，
或，
，n均为正整数，
不合题意，

25.【答案】
二次函数的图象与x轴交于，两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
该抛物线的表达式为；
二次函数与y轴交于点C，
当时，得：，
，
设直线AC的表达式为，将点A的坐标代入得：
，
解得：，
直线AC的表达式为，
如图1，过点P作轴于点D，交AC于点
设，则，
，，，
，，，
，
，，
当时，取最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或理由如下：
设，
，
如图2，①当AM为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：不合题意，舍去或，
，；
②当AQ为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：或，
，或，
；
③当AC为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：不合题意，舍去或，
，
综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或

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