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莆田第二十五中学2025-2026学年上学期九年级月考一数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
4.设，是一元二次方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
5.将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ( )
A. B. C. D.
6.对于二次函数，下列说法错误的是 ( )
A. 最小值为 B. 图象与轴没有公共点
C. 当时，随的增大而减小 D. 其图象的对称轴是轴
7.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，则该群一共有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
8.某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元．设从年到年该地投入异地安置资金的年平均增长率为，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
10.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：；；；若的取值范围是，则直线与的图象有个公共点，则正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一元二次方程的根是______．
12.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
13.如图所示，抛物线经过原点，那么的值是 ．
14.二次函数，当时，的取值范围为________．
15.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，这个等腰三角形的周长为 ．
16.如图，在边长为的正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止过了 秒钟，的面积等于．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
用适当的方法解方程：
；
18.本小题分
已知关于的一元二次方程有一个实根为，求的值及方程的另一个实根．
19.本小题分
已知关于的方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程有两个实数根，分别为，，当时，求的值．
20.本小题分
已知抛物线与轴交与点，，与轴交与点．
求抛物线的解析式；
当时，求函数的最小值。
21.本小题分
有长为的篱笆，如图所示，一面靠墙墙足够长，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是时，求的长．
22.本小题分
新定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；
已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？
23.本小题分
如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
若点在该抛物线上，求的面积．
24.本小题分
综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据如下表格内容完成任务．
课题 设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构
材料 如图是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为两边是与地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为，连廊的宽度为．
材料 半圆形的顶部设计在跨度小不超过时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相比较抛物线，其模板简单固定半径，施工简捷，成本较低．
任务 确定连廊形状 如图为连廊的横截面示意图，其中为连廊顶部的抛物线段，点为最高点，，为两边的支撑柱，以所在的直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴，单位长度为建立平面直角坐标系，则的函数解析式为 ．
任务 探索最优方案 如图，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁，利用某种材料搭建成一个矩形脚手架其中，，用到材料，所用材料单价为元为了做好充分的预算，请你计算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？
任务 优化连廊结构 工程师决定将顶部抛物线改为半圆弧，其中圆弧顶端到地面的距离仍为，宽为现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为，求货架顶部到地面的最大允许高度．
25.本小题分
如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．
求该抛物线的解析式和顶点的坐标；
设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大；
如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

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