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北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程单元练习
一、单选题
1．下列方程一定有实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5、 B．5、3 C．、3 D．、
3．设a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．1 B． C． D．无法确定
4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．方程的两根是菱形两条对角线的长度，则这个菱形的周长是（ ）
A．40 B．30 C．28 D．20
7．若a，b是方程的两根，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．已知一元二次方程的两个根分别是点P的横坐标，纵坐标，则当点P的横坐标为2时，点P的位置在（ ）
A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上
9．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
10．某服装店购进一款印有“鬣”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为320件，3月份销售量为500件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程的根是 ．
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ．
13．已知实数x、y满足，则 ．
14．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场，若共进行了28场比赛，设学校有个队参赛，则列方程为
15．某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有196人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为 ．
三、解答题
16．用恰当的方法解下列方程：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
17．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
18．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？
19．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
(1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽为多少米？
20．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？
(2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？
21．阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)【直接应用】
解方程：；
(2)【间接应用】
已知实数a，b满足：，，且，求的值；
(3)【拓展应用】
已知实数m，n满足：，，且，求的值．
试卷第1页，共3页
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《北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程单元练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B C D B C D C
11．，
12．
13．2
14．
15．
16．（1）解：
移项，得；
配方，得，即；
开平方，得；
解得，．
（2）解：
移项，得；
提取公因式，得，
即；
令或，
解得，．
（3）解：
开平方，得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故方程的解为，．
（4）解：
整理为一般式，得；
其中，，，
计算判别式；
代入求根公式，得；
故方程的解为，．
17．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
即当时，方程有两个实数根．
（2）解：∵，
∴由根与系数的关系，得，．
∵，
．
，
．
解方程，得或．
∵，
．
18．解：设小华邀请了x名同学转发，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：小华邀请了10名同学转发．
19．（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，(舍去)，
当时，，
答：车棚的长为米，宽为米．
（2）解：设小路的宽为米，
根据题意得：，
整理得，
解得：(舍去)，，
答：小路的宽为米．
20．（1）解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元．
21．（1）解：令，则有，
∴，
∴，，
∴（舍去），，
∴，．
（2）解：∵，
∴或．
①当时，令，，
∴，则，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时．
②当时，，
此时，
综上：的值为或．
（3）解：令，，则，，
∵，
∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
答案第1页，共2页
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