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2025-2026学年度高三学科联赛试卷
数学试卷
班级 姓名 考号
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知全集，， ，则（ ）
2.等差数列的公差为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列的前项和、前项和、前项和分别为，则.
A． B．
C． D．
4．设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）.
A. 1 B. 2 C. D.
5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
8．若函数，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
11．已知函数及其导函数满足，且，则（ ）
A. 在上单调递增 B. 在上有极小值
C. 最小值为 D. 的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．若复数满足(-1+2i) =5，则__________.
13.已知等比数列的前n项和为，，设，那么数列的前21项和为______________.
14．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是 ．
四、解答题:本大题共5小题，共77分。解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分 ）已知数列是等差数列，且，.求：
(1)数列的通项公式；
(2)设，求数列前5项和为.
16．（15分）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
(1)求证：平面平面BDE；
(2)当E为PC中点时，求二面角的余弦值.
17．（15分）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)讨论函数单调性．
18．（17分）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知数列的前20项和.
19．（17分） 2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
（1）若只取1块，求它是由B队所采的概率；
（2）若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；
（3）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
2025-2026学年度高三学科联赛数学试参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A A B B C A D C ABC BD AB
7．D【详解】由，得，即.设的内切圆的半径为，则
因为的内切圆的面积为，所以，解得（负舍），在中，
根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知
，即，
由，联立，得，
所以该椭圆的长轴长为.故选：D.
8．【解答】解：已知函数，则 ，
令 得，∴ ，
∴ ，∴，又，
∴故答案为：C．
10.【分析】由全概率公式可计算得到D正确；根据贝叶斯公式可知B正确；根据可知C错误；由可知A错误.
【详解】由题意知：，，，，，，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
，，
，事件与事件不相互独立，A错误.故选：BD.
【解答】解：函数及其导函数满足 ，，，又 ，，
AB、，令解得，当时，
，单调递减，当时，，单调递增，
， 在上单调递增，在上有极小值 ，AB正确；
C、令 ，则，令解得，当时，
，单调递减，当时，，单调递增，
，C错误；
由A知 ，D错误. 故答案为：AB.
13.【详解】依题意，设等比数列的公比为，
由题意得，所以，
所以，则，所以，
则数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以.故答案为：.
14.【详解】函数的定义域为，对任意，有，
令，，则，
所以在上单调递增，不等式，
即，即，所以，解得，
所以不等式的解集是.
四、解答题：
15．（1）【详解】（1）等差数列{an}中，设公差为d,
由，，可得。 .......................................................3分
解得：，，..............................................................................5分
所以；....................................................................6分
（2）由（1）知，...........................................................................7分
由，可得，........................................................10分
则数列是首项为2，公比为4的等比数列，
所以. .....................................................13分
16．（1）底面ABCD是正方形，，..................................................1分
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，................................................4分
平面PAC，又平面BDE，
平面平面BDE. ................................................................................................................6分
（2）平面ABCD，平面ABCD，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，..................................................8分
所以，...........................9分
设平面ABE的法向量为，则，
解得，令得，故， .......................................................11分
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令得，故， ...................................................................13分
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，....................................................................14分
所以二面角的余弦值为 .............................................................15分
17．【详解】（1）当时，，..........................................1分
则，.............................................................2分
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，.....................................................................6分
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得极小值，无极大值．...................................7分
（2），
则，....................................................9分
当时，，则单调递减；...............................................................12分
当时，当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增．............14分
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增..............15分
18.【详解】（1）当时，可得， ..............1分
当时，，..............3分
，..............5分
上述两式作差可得，..............7分
因为满足，所以的通项公式为。...............8分
（2），..............10分
所以，..............13分
.........16分
所以数列的前20项和为...............17分
19．【解析】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，.......................2分
所以若只取1块，它是B队所采的概率为.........................3分
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，............................4分
与（1）同理可求得若只取1块，则，...............................................5分
由B，C两队所采的概率为.................................................6分
依题意可知的取值为0，1，2，且............................................7分
所以，，，..............9分
所以的分布列为：
0 1 2
P
数学期望........................................................10分
（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.......................11分
所以，，.............................................12分
又......................13分
，..................................................14分
即今年冰块的利用率约为0.67. （15分）
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. （16分）
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. （17分）

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