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第5章 一元一次方程
5.1 认识方程
1. 掌握一元一次方程的概念，会根据实际问题中的等量关系列出方程；
2.了解方程的解的概念，能判断未知数的值是否是方程的解.
学习目标
小学时，我们学过列算式解决实际问题.在学习了用字母表示数后，我们可以用含字母的式子解决实际问题吗？
新课导入
我国明代数学著作《九章详注比类算法大全》中有一首诗：
如何解决这个问题？
远望嵬嵬塔七层，
红光点点倍加增.
共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？
我国明代数学著作《九章详注比类算法大全》中有一首诗：
如果设宝塔顶层有x 盏红灯.
其余各层自上而下依次有2x，4x，8x，16x，32x，64x盏红灯.
x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381.
①
根据问题中的等量关系：
各层红灯盏数的和＝红灯的总盏数，
远望嵬嵬塔七层，
红光点点倍加增.
共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？
设未知数解决问题时，可以直接用含已知数和未知数的等式表示等量关系.而列算式解决问题时，算式中只含已知数.
观察与发现：
活动探究
(1) 顾客购买某种练习本时有两种方案.方案一：直接按每册10元购买.
方案二：先交会员费20元，之后按照每册8元购买.请问购买多少册练习本时两种方案的费用相等？
方案一的费用＝方案二的费用
10x＝8x＋20.
解：设购买x册练习本，则方案一的费用是10x元，
方案二的费用是(8x＋20)元.
根据问题中的等量关系：
②
思考与交流：
(2) 某工厂生产紫砂茶具套装，每套茶具包含1把茶壶和6只茶杯.已知1kg紫砂泥可制作2把茶壶或8只茶杯.现要用15kg紫砂泥制作茶具套装，工厂应各分配多少千克的紫砂泥制作茶壶和茶杯？
茶杯数量＝茶壶数量的6倍
解：设制作茶壶的紫砂泥为x kg，则制作茶杯的紫砂泥为(15－x)kg.
根据问题中的等量关系：
8(15－x)＝6×2x.
③
(3) 如图，将一个正方形花坛的两边分别延长2m扩建成一个长方形花坛，扩建后整个花坛的面积为35m2.原正方形花坛的边长为多少？
原花坛的面积＋扩建部分的面积＝扩建后花坛的面积
解：设原正方形花坛的边长为x m，则原花坛的面积为x2 m2，扩建部分的面积为2x m2.根据问题中的等量关系：
x2＋2x＝35.
④
x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381.
①
10x＝8x＋20.
②
8(15－x)＝6×2x.
③
x2＋2x＝35.
④
上面的等式①②③④，有什么相同点和不同点？
等式①②③④中都只含有一个未知数.
思考与交流：
等式①②③中未知数的次数都是1，但等式④则不同.
为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根据等量关系建立含有未知数的等式，这样的等式叫作方程(equation).
方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程(linear equation with one unknown).
概括与表达：
1.已知下列方程：
（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）.
其中一元一次方程的个数有（ ）
A.2 B.5 C.4 D.3
D
巩固新知
当x＝10时，
10x＝10×10＝100，
8x＋20＝8×10＋20＝100.
因为方程10x＝8x＋20的左右两边相等，
所以x＝10就是方程10x＝8x＋20的解.
思考与交流：
活动探究
当x＝6时，
8(15－x)＝8×(15－6)＝72，
6×2x＝6×2×6＝72.
因为方程8(15－x)＝6×2x的左右两边相等，
所以x＝6就是方程8(15－x)＝6×2x的解.
使方程的等号两边相等的未知数的值叫作方程的解.
只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根.
概括与表达：
方程：
方程的解：
认识一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程：
方程中只含有一个未知数，且未知数的次数都是1, 等式两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
课堂总结
1. 根据题意列出方程：
(1) x的2倍与18的和等于54；
(2) 27与x的差的一半等于x的4倍；
解：(1) 2x＋18＝54；
(2) (27－x)＝4x；
课堂检测
当堂检测
1. 根据题意列出方程：
(3) 一个长方形的宽为x cm，长比宽多5cm，面积为36 cm ；
(4) 书包的单价为128元，文具盒的单价为x元，购买2个书包和5个文具盒共需351元.
(3) x(x＋5)＝36；
(4) 2×128＋5x＝351.
2. 判断x＝3是下列哪个方程的解：
(1)5x＋1＝19－x； (2)3x－2＝2x－3；
(3) ＝x－1； (4)－6x＋13＝13－7x.
解：x＝3是方程(1)和(3)的解.
3.在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵.设乙班植树棵.
(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数的方程；
解：(1) 根据甲班植树的棵数比乙班多，
得甲班植树的棵数为棵；
根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，
得甲班植树的棵数为棵.
(2) .
能力提升
(3) 检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵.
(3) 把分别代入(2) 中方程的左边和右边，得
左边，右边.
因为左边右边，
所以是方程的解，
即乙班植树的棵数是25棵.
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵.

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