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课前准备
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美丽的数学心
让我们一起走进角平分线判定的逻辑世界！
14.3.2 角的平分线的判定
学习目标
学习重点
理解角平分线的判定定理；
掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题；
会判断一个点是否在一个角的平分线上.
角的平分线的判定定理的证明及应用；
角的平分线的判定.
知识回顾
性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
证明线段相等.
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
定理的作用：
探究新知
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论？
猜想:
这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D, E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
. （全等三角形的对应角相等）
OP=OP，（公共边）
PD= PE，（已知 ）
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO ≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
猜想证明
赞扬
补
充
疑
问
发言
归纳总结
角平分线的判定定理
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
判断点是否在角的平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的角平分线上.
定理的作用：
　角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；
判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
数学应用
1.如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
【方法点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
D
C
探究新知
三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.

分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？

例题解析
A
M
C
B
N
P
　　例　如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P．求证：
　　（1）点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等．
　　（2）△ABC 的三条角平分线交于一点．
　　
D
F
E
　　证明∶（1）过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F．
　　∵　BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
　　∴　PD＝PE．
　　同理　PE＝PF．
　　∴　PD＝PE＝PF．
　　即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等．
A
M
C
B
N
P
D
F
E
　　（2）由（1）知，点 P 到 AB，CA 的距离相等，
　　∴　点 P 在∠A 的平分线上．
　　∴　△ABC 的三条角平分线交于一点．
课堂练习
1.如图，AB CD, CE AD, 垂足分别为B, E, AB=CE, AB, CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE.
证明：∵AB CD, CE AD，
∴∠ABD=∠CED=.
在 ABD和 CED中，
∴ ABD≌ CED(AAS）.
∴BD=ED.
∵DB AB, DE CE, DB=DE,
∴点F在∠BFE的平分线上，
∴FD平分∠BFE.
　　2. 如图，已知△ABC，BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P．求证：
　　（1）点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
　　（2）点 P 在∠A 的平分线上．
A
C
B
D
E
F
P
G
　　证明∶（1）过点 P 作PM⊥AC，PN⊥AB，PH⊥CB，垂足分别为 M，N，H.
　　∵　BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，
　　∴　PH＝PN.
　　同理　PH＝PM．
　　∴　PH＝PM＝PN．
　　即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等．
　　（2）由（1）知，点 P 到射线 AB，AC 的距离相等，
　　∴　点 P 在∠A 的平分线上．
A
C
B
D
E
F
P
G
M
N
H
3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC, AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
（1）求点O到△ABC三边的距离和；
（2）若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
解：（1）过点O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分别为点N，点E .
∵OM⊥AC，OE⊥AB, AP平分∠BAC，
∴OM=OE.
∵OE⊥AB, ON⊥BC , BD平分∠ABC,
∴OE=ON.
∴OM=OE=ON.
∵OM＝4，
∴ ON + OE + OM =12.
B
C
A
P
（2）连接OC.
=+ON+
=
=4×32
=64
4. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，
∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
拓展延伸
如图，直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比为3:4:5.
归纳小结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课外作业
必做作业：教材p52习题14.3的第2、3题.
选做作业：教材p53习题14.3的第7、8题.
大美数学
角平分线的判定藏着逆向推演的智慧之美，恰如人生：从果溯因方得通透，于平衡处彰显公正.数学的严谨逻辑与人生的深刻哲理交相辉映，美自流淌.

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