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2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若为实数，且，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．“关于x的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
8．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
二、多选题
9．已知集合，，，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的是真命题
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
11．若正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy有最大值为 B．有最小值为
C．有最大值为 D．有最大值为
三、填空题
12．已知集合，，则 .
13．已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
14．若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为 .
四、解答题
15．设全集为，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值组成的集合.
16．已知集合.
(1)若“命题”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17．一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．
(1)求关于的关系式；
(2)为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？
18．已知，函数．
(1)当时，函数的图象与x轴交于，两点，求；
(2)求关于x的不等式的解集．
19．已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C D B C ACD AD
题号 11
答案 AB
1．D
解不等式求出集合B，根据补集与解集的定义写出.
【详解】集合, ,
或,
故选：
2．D
根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论．
【详解】命题，为存在量词命题，
则该命题的否定为，，
故选：D．
3．A
根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】因为，所以，，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，，故D错误.
故选：A
4．B
由条件及韦达定理可得，然后代入不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且，
则，解得，
则不等式可化为，
即，所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
5．C
先讨论一次还是二次不等式来求出的范围，再根据必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】当时，恒成立；
当时，由二次函数性质可得，解得；
综上.
的一个必要不充分条件,即能被推出，且推不出，
只有C选项符合，
故选：C.
6．D
先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．
【详解】方程整理得，
则有，解得且，
由方程的解集为空集，所以，即.
故选：D.
7．B
利用基本不等式求和的最小值.
【详解】时，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
8．C
对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.
【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.
故选：C.
9．ACD
根据题意得出，集合表示直线图象上点的坐标，即可判断ABC；判断出在直线的图象上，即可判断D．
【详解】由题可知，，集合表示直线图象上点的坐标，
所以，故A正确；
因为集合与中元素种类不同，故B错误，C正确；
因为，所以在直线的图象上，故D正确；
故选：ACD．
10．AD
根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.
【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，当时，，故B错误；
对C，由且能推出，充分性成立，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD．
11．AB
直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，=，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C错误，
对于D：因为，当且仅当，即时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：AB．
12．
求出方程组的解，根据集合交集的含义，即可得答案.
【详解】解，得或，
故，
故答案为：
13．2或
集合有且仅有两个子集，转化为方程只有一个解，分、讨论可得答案.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，
所以方程只有一个解，
当时，由得，符合题意，
当时，由得，符合题意，
综上所述，实数或.
故答案为：或.
14．/
由条件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.
【详解】由题意，
由，则时取等，
则.
故答案为：
15．（1）；（2）.
（1）解一元二次方程，求出集合，当，代入求出集合，根据集合的补集和交集的运算，即可得出的结果；
（2）根据题意，可知当时，，此时满足；当时，，由子集的含义，列式求出实数，从而得到集合.
【详解】解：（1），
当，则，则；
（2）当时，，此时满足，
当时，，此时若满足，
则或，解得或，
综上得：．
16．(1)
(2)
（1）由题意可知，进而求解；
（2）由题意可得是的真子集，分类讨论求解即可.
【详解】（1），
因为命题是真命题，则，
所以或，
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，即；
当时，有或，
解得.
综上所述，的取值范围是.
17．(1)
(2)长为248厘米，宽为124厘米
（1）由题意得，化简即可得解；
（2）首先得，然后结合基本不等式及其取得条件即可求解.
【详解】（1）由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，
则，整理得．
（2）由（1）知绘画墙墙面的面积，
则，
由基本不等式，有，当且仅当时取等号．
故，此时，
故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．
18．(1)
(2)答案见解析
（1）根据题意结合根与系数的关系可得，然后利用完全平方公式与立方和公式可求得结果；
（2）分，，，和五种情况求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为的图象与x轴交于，两点，
所以，
所以，
所以；
（2）由，得，
即，
当时，，解得，
当时，由，得，
解得或，
当时，，则由得或，
当时，当，即时，
由，得，
当，即，
由，得，解得，
当，即时，由，得，
综上，当时，解集为，当时，解集为或，
当时，解集为，当时，解集为，
当时，解集为.
19．(1)；
(2)证明见解析
(3)1348
【详解】（1）因为集合，，，
所以由，可得，
，可得．
（2）由于集合，，
则T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．

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