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第5章　一元一次方程
5.5　一元一次方程的应用(1)
1. 学生能够学会分析实际问题中的数量关系，列出一元一次方程；
2. 掌握运用一元一次方程解决和差倍分与工程问题、等常见类型的实际问题；
3. 通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力.
01
学习目标
杭州第 19届亚运会的会徽“潮涌”既展现江潮奔涌，又寓意勇立潮头，潮头形象象征大家团结携手、紧密相拥、永远向前.
02
新知导入
杭州第19届亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个.请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？
请与你的同伴讨论和解答下面的问题.
(1)能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数吗？
(2)如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？
(3)根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？
03
新知讲解
解：(1)杭州第19届亚运会开设的奥运项目个=×3+4=31(个)；
(2)设非奥运项目为x个，则奥运项目有(40-x)个；
(3)等量关系：非奥运项目+奥运项目=40,
由题意x+3x+4=40，解得x=9.
03
新知讲解
例1.每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠.某场演出共售出966张票，收入25800元.问：这场演出共售出学生票多少张？
分析：题中涉及的数量有票数、票价、总票价等，它们之间的相等关系有：
03
新知讲解
解：设这场演出售出学生票 x 张，则售出全价票(966－x)张.
根据题意，得(966－x)×30＋×30×x＝25800.
解这个方程，得x＝212.
检验：x＝212是方程的解，且符合题意.
答：这场演出共售出学生票212张.
03
新知讲解
从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系.
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示(例如x).
3.列方程：根据相等关系列出方程.
4.解方程：求出未知数的值.
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答.
03
新知讲解
分析问题中的相等关系
1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5，首先写出“x+2的2倍”
即2(x+2)，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5.
2.列表分析法：用行(或列)表示不同的项目或种类，用列(或行)表示
相应的数量.
3.画图分析法：用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中
常用线段示意图帮助分析相等关系.
03
新知讲解
拓展：设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况如下：
(1)设问题的局部(或部分)为x.如多位数问题设其中的一位或几位上的数为x.
(2)若题中所求几个未知量的比例关系已知，则可用x表示其中“每份”的数量.
(3)有些应用题，尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知量时，这些未知量虽非题目所求,但缺了它就不易建立相等关系，这时可设辅助未知数.
03
新知讲解
常见问题中的相等关系
1.配套问题
相等关系：加工总量成比例，若一件产品由A，B两种配件组成,
A，B两种配件的数量比是a：b，
则A种配件总数量×b=B种配件总数量×a；
例如，一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成,这里镜架总数×2=镜片总数×1.
03
新知讲解
2.工程问题
(1)基本关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=，
工作效率=
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
03
新知讲解
方法
(1)找相等关系的规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果甲量已知，从乙量设元,那么就从丙量找相等关系列方程.
(2)工程类应用题的工作总量不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”.
(3)工作总量看作“1”时，工作效率=工作时间=.
03
新知讲解
例2.某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花 30个月完成整个施工任务.已知甲班组比乙班组平均每月多施工8米，问：甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？
分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系.
03
新知讲解
解：设乙班组每月施工x米，则甲班组每月施(x＋8)米，
由题意，得30x＋30(x＋8)＝2400.
解这个方程，得x＝36.
检验：x＝36是方程的解，且符合题意.
甲班组每月施工长度为36＋8＝44(米).
答：甲班组平均每月施工44米，乙班组平均每月施工36米.
03
新知讲解
1.三个正整数的比是1:2:4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是_______.
【解析】设这三个正整数分别为x，2x，4x.
由题意得x+2x+4x=84，解得x=12，
所以这个数中最大的数是4x=48.
故答案为48。
04
课堂练习
48
2.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各儿何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差
16钱.问人数、买鸡的钱数各是少？设人数为x，可列方程为( )
A.9x+11=6x+16 B.9x-11=6x-16
C.9x+11=6x-16 D.9x-11=6x+16
【解析】已知人数为x，由题意得，9x-11=6x+16，故选D.
04
课堂练习
D
3.一项工作,甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合作几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合作了_______天.
【解析】设甲、乙两人合作了x天，
由题意得(+)x+2×=1，
解得x=4，
故答案为4.
04
课堂练习
4
4.星期天，妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除，根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间.
解：设小峰打扫了xh，则爸爸打扫了(3-x)h.
由题意，得x+3--x)=1，解得x=2.
答：小峰打扫了2h.
04
课堂练习
【选做】5.如图,将正整数1至1000按一定规律排列,整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是( )
A.1002 B.1004 C.1006 D.1008
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
…
04
课堂练习
C
【解析】设被方框遮住的最上面的数为x，则左下方的数为x+7，
右下方的数为x+9，所以三个数的和为3x+16.
当3x+16=1002时，x=328，不符合题意；
当3x+16=1004时，x=329，不符合题意；
当3x+16=1006时，x=330，符合题意；
当3x+16=1008时，x=330，不符合题意.故选C.
04
课堂练习
【选做】6.一项工程由甲、乙、内三个人来完成，原计划n天完成(n为正整数)，如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，那么比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作,那么比原计划晚1天完成,若丙单独完成这项工程需要50天，则n=_______.
【解析】第一种：甲+乙+丙+…=1；第二种：丙+甲+乙+…=1；第三种：乙+丙+甲+…=1.可以发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工作量都是一样的，所以有两种可能：
04
课堂练习
①第一种情况,最后两天为甲+乙，那么第三种情况最后三天必然是乙+丙+甲，
由此得到甲+乙=乙+丙+甲，显然不符合题意；②第一种情况，最后一天为甲，那么第二种情况最后就是丙+甲，第三种情况最后两天就是乙+丙，所以甲=丙+甲=乙+丙，因为丙单独完成这项工程需要50天，所以丙的工效为，所以甲单独完成这项工程需要25天，乙单独完成这项工程需要50天.设乙和丙工作了x天，则甲工作了(x+1)天，恰好如期完成，则x+x+(x+1)=1，解得x=12，所以n=12+12+13=37.
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课堂练习
【答案】37
知识点1 列方程解决实际问题的步骤
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系.
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示(例如x).
3.列方程：根据相等关系列出方程.
4.解方程：求出未知数的值.
5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答.
05
课堂小结
知识点2 分析问题中的相等关系
1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5，首先写出“x+2的2倍”即2(x+2)，它比3x-6大5，那么“大-小=5 ”，即2(x+2)-(3x-6)=5.
2.列表分析法：用行(或列)表示不同的项目或种类，用列(或行)表示相应的数量.
3.画图分析法：用图形表示题目中的相等关系.例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系.
05
课堂小结
知识点3 常见问题中的相等关系
1.配套问题：相等关系，加工总量成比例.
2.工程问题
(1)基本关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=，
工作效率=.
(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1.
(3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
05
课堂小结
谢谢

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