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第5章　一元一次方程
5.3　一元一次方程和它的解
1. 学生能理解一元一次方程的概念，准确识别方程中的未知数和常数项；
2. 掌握一元一次方程的求解方法，能够熟练求解简单的一元一次方程；
3. 通过实际问题的解决，体会一元一次方程在数学和生活中的应用价值.
01
学习目标
2020年11月10日，我国载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到10909米，刷新了我国载人深潜纪录，是世界上首次同时将3人带到地球最深处.潜水器在水下时，怎样根据承受的水压计算它所在的深度？
02
新知导入
分析下列问题所给条件的数量关系，并根据其中的等量关系列出方程.
(1)一件衣服按八折销售的售价为120元，这件衣服的原价是多少元？
设这件衣服的原价为x元，可列出方程：______________ .
(2)王老师和小明相差 18岁，6年后王老师的年龄正好是小明的 2倍，
问：小明今年多大？
设小明今年y岁，可列出方程：_____________________ .
80%x＝120
03
新知讲解
y＋18＋6＝2(y＋6)
(3)在水下，水深每增加10米，物体承受的水压大约增加1个大气压.
当“奋斗者”号载人潜水器下潜至7000米时，它承受的水压约为700个大气压.问：当它承受水压增加到850个大气压时，它又继续下潜了多少米？
设它又继续下潜了x米，可列出方程：_____________________ .
观察你所列的方程，这些方程有哪些共同的特点？
700＋＝850
03
新知讲解
方程80% x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.
能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根.
求方程的解的过程称为解方程.
☆ 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根.
03
新知讲解
做一做
1.下列方程中，哪些是一元一次方程？
(1)2x－3＝5； (2)－4＝3m；
(3)x＋y＋z＝7； (4)3a－5＝－6＋a；
(5)＝1.
解：(1)(4)(5)是一元一次方程，(2)未知数的次数是两次，(3)有三个未知数，只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.所以(2)(3)不是一元一次方程.
03
新知讲解
做一做
2.判断下列x的值是不是方程2x－3＝5的解.
(1)x＝2； (2)x＝4； (3)x＝－1.
解：(1)将x＝2带入方程，左边=2×2-3=1≠5≠右边，x＝2不是方程的解.
(2)将x＝4带入方程，左边=4×2-3=5=右边，x＝4是方程的解.
(3)将x＝-1带入方程，左边=-1×2-3=-5≠5≠右边，x＝-1不是方程的解.
所以方程2x－3＝5的解是x＝4.
03
新知讲解
等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x＝a(a为已知数)”的形式，就求出了一元一次方程的解.
03
新知讲解
列方程就是把实际问题中的相等关系用方程的形式表示出来.列方程的一般步骤如下：
(1)审题，分析实际问题中的相等关系，找出已知量和未知量.
(2)恰当地设出未知数x，并把涉及相等关系的量用x.
(3)利用相等关系列出方程.
03
新知讲解
注意
列简单的一元一次方程的说明：
(1)设未知数时，有单位的要带单位.
(2)设未知数可以直接设，也可以间接设，根据具体情况分析，本着易列、易解的原则设出恰当的未知数.
03
新知讲解
注意
1.一元一次方程必须满足的三个条件：
(1)整理化简后只含“一元”；
(2)整理化简后最高次为“一次”；
(3)整理前两边均为整式.
2.若已知等式ax+b=0为关于x的一元一次方程,则默认a≠0.
3.要检验一个数是不是某个方程的解，只需把这个数分别代入方程的左右两边，看左右两边的值是否相等，若相等，则这个数是该方程的解，否则不是.
03
新知讲解
例.利用等式的性质，解下列一元一次方程：
(1)5x＝50＋4x；
解：(1)依据等式的性质1，方程的两边都减去4x，
得5x－4x＝50＋4x－4x，
合并同类项，得x＝50.
检验：把x＝50代入方程，
左边＝5×50＝250，右边＝50＋4×50＝250.
因为左边＝右边，所以x＝50是方程的解.
03
新知讲解
例.利用等式的性质，解下列一元一次方程：
(2)8－2x＝9－4x.
解：(2)方程的两边都加上4x，得
8－2x＋4x＝9－4x＋4x.
合并同类项，得8＋2x＝9.
两边都减去8，得2x＝1.
两边都除以2，得x＝(根据什么？).
03
新知讲解
对一元一次方程，解的检验过程可 以省略不写.
注 意
03
新知讲解
1.若关于x的方程(m-1)=6是一元一次方程，则m的值为( )
A.±1 B.-1 C.1 D.2
【解析】因为x的方程(m-1)=6是一元一次方程，
所以=1，m=±1，系数m-1≠0，所以m≠1，
则m=-1.
故选B.
04
课堂练习
B
2.若x=2是关于x的一元一次方程ax+2=14的解，则a=_______.
【解析】把x=2代入ax+2=14得2a+2=14，
所以2a=12，
解得a=6.
故答案为6.
04
课堂练习
6
3.用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底45个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，设用x张白铁皮制盒身，则可列方程为( )
A.2×15x=45(150-x)
B.15x=2×45(150-x)
C.2×45x=15(150-x)
D.45x=2×15(150-x)
【解析】用x张白铁皮制盒身，则用(150-x)张白铁皮制盒底.
根据题意得2×15x=45(150-x).
故选A.
04
课堂练习
A
4.在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10 ℃，假设地表温度是12℃，某矿井的温度是18 ℃，设该矿井地表以下xkm处，则可列
方程______________.
【解析】由题意可得，10x+12=18.
故答案为10x+12=18.
04
课堂练习
10x+12=18
【选做】5.利用等式性质解一元次方程：7x-2=5x+8.
解： 7x-2=5x+8，
7x-5x=8+2，
2x=10，
x=5.
04
课堂练习
【选做】6.已知关于x的方程(a+3)+6=0是一元一次方程，
则a的值为( )
A.3 B.-3 C.±3 D.±2
易错点 忽略未知数系数不能为零，导致多解
【解析】因为方程(a+3)+6=0是关于x的一元一次方程，
所以∣a∣-2=1且a+3≠0，解得a=3.
故选A.
04
课堂练习
A
知识点1 一元一次方程的概念
1.一元一次方程：方程80% x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.
2.一元一次方程的最简形式为x=-(a≠0).一元一次方程的标准形式为ax+b=0(a≠0).
05
课堂小结
知识点2 一元一次方程的解和解方程
1.解方程:求方程的解的过程叫作解方程.
2.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根.
05
课堂小结
知识点3 列简单的一元一次方程
列方程就是把实际问题中的相等关系用方程的形式表示出来.
列方程的一般步骤如下：
(1)审题，分析实际问题中的相等关系,找出已知量和未知量.
(2)恰当地设出未知数x，并把涉及相等关系的量用x.
(3)利用相等关系列出方程.
05
课堂小结
谢谢

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