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第3节　等式性质与不等式性质
基础练
1.(2025·湖北黄石模拟)若m,n∈R,且|m|A.m2>n2 B.<
C.m【答案】 C
【解析】 若m=0,n=1,满足|m|n2,<无意义),m<-n不成立,故A,B,D错误;由n>|m|≥m易得C正确.故选C.
2.(多选题)(2025·江苏南京模拟)若a<00,则(　　)
A.>-1 B.|a|<|b|
C.+>0 D.(a-1)(b-1)<1
【答案】 ABD
【解析】 对于A,由a+b>0,可得a>-b,因为b>0,可得>-1,所以A正确;对于B,由|a|-|b|=
-a-b=-(a+b)<0,得|a|<|b|,所以B正确;对于C,因为a<00,可得+=<0,所以+<0,所以C错误;对于D,因为a<00,可得ab<0,所以(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1<1,所以D正确.故选ABD.
3.已知6A.<< B.21C.-12【答案】 C
【解析】 由154.(2025·广东深圳模拟)若a=+,b=-,c=+,则(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
【答案】 A
【解析】 因为a-c=-+==>0,所以a>c.因为c-b=-+=
,(2+)2-(2)2=4-9=->0,且2+>0,2>0,所以2+
>2,所以c-b>0,所以c>b.故a>c>b.故选A.
5.(2025·浙江金华模拟)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则(　　)
A.N

C.N【答案】 B
【解析】 根据题意得,M=,N=,P===,N-P=-=,因为a>b>c,所以a-c>0,b-c>0,所以a+b-2c>0,所以N-P=>0,所以N>P,故A错误;M-P=
-=,由A的分析知a+b-2c>0,所以M-P=>0,所以M>P,故B正确;
M-N=-=,由A的分析知a+b-2c>0,所以-a-b+2c<0,所以M-N=<0,所以MP,N>P,所以M+N>2P,故D错误.故选B.
6.(2025·浙江宁波模拟)已知bA.(0,3) B.[0,3)
C.(3,+∞) D.(1,3)
【答案】 B
【解析】 因为b7.若0【答案】 x2
【解析】 因为01,0<<1,08.已知实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d【答案】 b>d>c>a
【解析】 由②③,得2a+b+d<2c+b+d,化简得a由a+b=c+d及ad,又d>c,所以b>d>c>a.
9.已知对于实数x,y,满足|2x+3y|≤10,|x-y|≤5,则|x+2y|的最大值为　　　　.
【答案】 7
【解析】 由|2x+3y|≤10,|x-y|≤5可得-10≤2x+3y≤10,-5≤x-y≤5,因为x+2y=(2x+3y)-(x-y),
-6≤(2x+3y)≤6,-1≤-(x-y)≤1,所以-7≤x+2y≤7,故|x+2y|≤7,则|x+2y|的最大值为7.
10.(1)已知1(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,试比较与的大小.
【解】 (1)因为1又<<,所以<<2.
(2)-=,因为>且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0,
又因为x>y>0,所以bx>ay>0,(x+a)(y+b)>0,所以>.
强化练
11.(多选题)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论正确的是(　　)
A.a+b>0 B.ac>bc
C.> D.ab+bc≤0
【答案】 AD
【解析】 因为a+b+c=0且a>b>c,则a>0,c<0,则a+b=-c>0,A正确;因为a>b,c<0,所以acb>c,a-b>0,b-c>0,所以(a-b)-(b-c)=a+c-2b=-3b,当b>0时,0;当b<0时,a-b>b-c>0,则<;当b=0时,a-b=b-c,则=,C错误;因为ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,D正确.故选AD.
12.(2025·湖北鄂州模拟)已知aA.(-∞,-) B.(-,1)
C.(0,) D.(,1)
【答案】 B
【解析】 因为a+2b+4c=0,a0,由a+2b+4c=0得c=-a-b,则-a-b>0,解得>-,由b-,由a13.(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.
【答案】 [15,19]
【解析】 因为x+y=4-z,2x-y=5-z,故x=3-,y=1-,由x,y,z≥0得
解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4(3-)+3(1-)+5z=+15∈[15,19].
14.(1)已知b>a>0,证明:<;
(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,证明:++<2.
【证明】 (1)-==,由b>a>0,得a-b<0,而a>0,b+a>0,b>0,则<0,所以<.
(2)a,b,c为△ABC的三边长,则有b+c>a>0,a+c>b>0,a+b>c>0,由(1)知<,<,
<,将以上不等式左右两边分别相加得++<++=2,所以++<2.
15.若a>b>0,c|c|.
(1)求证:b+c>0;
(2)求证:<;
(3)在(2)的不等式中,能否找到一个代数式,满足<所求式< 若能,请直接写出该代数式;若不能,请说明理由.
(1)【证明】 因为|b|>|c|,且b>0,c<0,
所以b>-c,所以b+c>0.
(2)【证明】 因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<,
因为a>b,d>c,
所以a+d>b+c,由(1)知b+c>0,
所以a+d>b+c>0,
所以<.
(3)【解】 因为a+d>b+c>0,0<<,
所以<<或<<(只要写出其中一个即可).第3节　等式性质与不等式性质
基础练
1.(2025·湖北黄石模拟)若m,n∈R,且|m|A.m2>n2 B.<
C.m2.(多选题)(2025·江苏南京模拟)若a<00,则(　　)
A.>-1 B.|a|<|b|
C.+>0 D.(a-1)(b-1)<1
3.已知6A.<< B.21C.-124.(2025·广东深圳模拟)若a=+,b=-,c=+,则(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
5.(2025·浙江金华模拟)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则(　　)
A.N

C.N6.(2025·浙江宁波模拟)已知bA.(0,3) B.[0,3)
C.(3,+∞) D.(1,3)
7.若08.已知实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d9.已知对于实数x,y,满足|2x+3y|≤10,|x-y|≤5,则|x+2y|的最大值为　　　　.
10.(1)已知1(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,试比较与的大小.
强化练
11.(多选题)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论正确的是(　　)
A.a+b>0 B.ac>bc
C.> D.ab+bc≤0
12.(2025·湖北鄂州模拟)已知aA.(-∞,-) B.(-,1)
C.(0,) D.(,1)
13.(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.
14.(1)已知b>a>0,证明:<;
(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,证明:++<2.
15.若a>b>0,c|c|.
(1)求证:b+c>0;
(2)求证:<;
(3)在(2)的不等式中,能否找到一个代数式,满足<所求式< 若能,请直接写出该代数式;若不能,请说明理由.

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