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第2节　常用逻辑用语
基础练
1.(2025·山东青岛模拟)已知命题 p: x∈(0,),sin xA. x (0,),sin x>x
B. x∈(0,),sin x>x
C. x (0,),sin x≥x
D. x∈(0,),sin x≥x
【答案】 D
【解析】 命题 p: x∈(0,),sin x2.(2025·广东湛江模拟)已知a,b均为实数,则“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 因为a2=b2,所以a=±b,由a2+ab=2b2,得(a-b)(a+2b)=0,得a=b或a=-2b,
所以“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.(2025·山东潍坊模拟)十七世纪,数学家费马提出猜想:对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为(　　)
A.对任意正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解
B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
【答案】 D
【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题,故只有D满足题意.故选D.
4.若“ x∈M,|x|>6”为真命题,“ x∈M,x<5”为假命题,则集合M可以是(　　)
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
【答案】 A
【解析】 “ x∈M,x<5”为假命题,则其否定“ x∈M,x≥5”为真命题.对A,M={x|x>6},则|x|>6,满足“ x∈M,|x|>6”,也满足“ x∈M,x≥5”,故A正确;对B,M={x|x<-6},则其不满足“ x∈M,x≥5”,故B错误;对C,M={x|x<6},举例x=2,此时|x|<6,不满足“ x∈M,|x|>6”,C错误;对D,M={x|x>-6},举例x=2,此时|x|<6,不满足“ x∈M,|x|>6”,D错误.故选A.
5.若x,y∈R,则“x<|y|”是“x2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当x<0,且|x|>|y|时,x2当x26.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
B.命题“ x∈R,x2+2<0”是全称量词命题
C.命题“ x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题
D.命题“实数的平方都是正数”的否定是存在量词命题,且是真命题
【答案】 BCD
【解析】 A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误;
B中命题“ x∈R,x2+2<0”是全称量词命题,故B正确;
C中命题“ x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题,故C正确;
D中命题“实数的平方都是正数”就是“所有实数的平方都是正数”是一个全称量词命题,这是一个假命题,因此其否定是存在量词命题且是真命题,故D正确.故选BCD.
7.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则(　　)
A.t是p的必要不充分条件
B.t是q的充要条件
C.p是s的充要条件
D.q是s的充要条件
【答案】 ABD
【解析】 因为t是q的必要条件,t是s的充分条件,q是s的必要条件,所以q t s,且s q,则q t s,所以B,D正确.因为q t s,且p是q的充分不必要条件,所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.
8.(2025·内蒙古赤峰模拟)命题“ x∈R, n∈N*,n>x2”的否定是“　　　　　　　　　　”.
【答案】 x∈R, n∈N*,n≤x2
【解析】 由全称量词命题与存在量词命题的否定可知,命题“ x∈R, n∈N*,n>x2”的否定是“ x∈R, n∈N*,n≤x2”.
9.若不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,则实数a的取值范围为　　　　.
【答案】 [-5,0]
【解析】 由|x+a|≤3,得-3-a≤x≤3-a,因为不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,所以有且等号不同时成立,解得-5≤a≤0.
10.(2025·北京大兴模拟)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　　.
【答案】 2,-1,-2(答案不唯一)
【解析】 当a=2,b=-1,c=-2时,满足a>b>c,但是ab=-2,c2=4,ab强化练
11.(2025·四川成都模拟)命题“x+y≤6”是“x≤2或y≤4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 命题“x+y≤6”是“x≤2或y≤4”的充分不必要条件,即“x+y≤6” “x≤2或y≤4”,且“x≤2或y≤4”“x+y≤6”.
①“x+y≤6” “x≤2或y≤4”.用反证法证明:假设“x≤2或y≤4”不成立,则x>2且y>4.所以有x+y>6,这与已知x+y≤6矛盾,故假设错误,即“x≤2或y≤4”成立.
②“x≤2或y≤4”“x+y≤6”.因为当x=2,y=100时,满足条件x≤2或y≤4,此时x+y=102,不满足x+y≤6.故“x≤2或y≤4”“x+y≤6”.故选A.
12.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D.>1
【答案】 A
【解析】 因为a>0,b>0 a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,ab>1,>1.故
选A.
13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,设命题p: c∈N*,C为钝角,关于命题p有以下四个判断:
①p为真命题;
②﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”;
③p为假命题;
④﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”.
其中判断正确的序号是(　　)
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
【答案】 A
【解析】 在△ABC中由C为钝角,结合a=3,b=5及余弦定理可知,当c=6或7时cos C=
<0,则p为真命题,故①正确,③错误;因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”,故②正确,④错误.故选A.
14.(多选题)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.m>-2 B.m>-1
C.m>0 D.m>1
【答案】 CD
【解析】 由题意,存在x>0,使得mx2+2x-1>0,即m>()min,又=()2-=(-1)2-1,当-1=0,即x=1时,取得最小值-1,故m>-1,所以命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的充分不必要条件对应的集合是{m|m>-1}的真子集,结合选项可得,C,D符合题意.故选CD.
15.(多选题)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是(　　)
A B
C D
【答案】 BD
【解析】 由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;电路图D中,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则一定有开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.
16.已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、第三象限},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 {a|0【解析】 由“y∈B”是“y∈A”的必要条件,即A B,由A中元素为整数,故A只可能为{1},{2},{1,2},
由点(x-1,x-a)不在第一、第三象限,
得或即①或②
当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},有0当a≥1时,由①②得1≤x≤a,此时A={x∈Z|1≤x≤a},因为1∈A,只需3 A,有1≤a<3.
综上,实数a的取值范围是{a|017.已知命题p: x∈R,mx2+1≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0.若命题p,q均为假命题,则实数m的取值范围为　　　　.
【答案】 [2,+∞)
【解析】 命题p: x∈R,mx2+1≤0为假命题,
所以m≥0,
命题q: x∈R,x2+mx+1>0,
所以Δ=m2-4<0,解得-2由于该命题为假命题,所以m≥2或m≤-2.
当p,q均为假命题时,故或整理得m≥2.
18.f(x)=-x2-6x-3,记max{p,q}表示p,q两者中较大的一个,函数g(x)=max{()x-2,log2(x+3)},若m<-2,且 x1∈[m,-2], x2∈[0,+∞),使f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为　　　　.
【答案】 -5
【解析】 y=()x-2为减函数,
y=log2(x+3)为增函数,
观察尝试可知当且仅当x=1时,
()x-2=log2(x+3).
由题意得,g(x)=
所以在[0,+∞)上,g(x)min=g(1)=2,g(x)的值域为[2,+∞),
f(x)=-(x+3)2+6≤6.
“ x1∈[m,-2], x2∈[0,+∞),使f(x1)=g(x2)成立”等价于f(x)在[m,-2]上的函数值域是g(x)在[0,+∞)上的值域的子集,作函数y=f(x),y=g(x)的图象,如图所示,
令f(x)=-x2-6x-3=2,
解得x=-5或x=-1,
则m的最小值为-5.第2节　常用逻辑用语
基础练
1.(2025·山东青岛模拟)已知命题 p: x∈(0,),sin xA. x (0,),sin x>x
B. x∈(0,),sin x>x
C. x (0,),sin x≥x
D. x∈(0,),sin x≥x
2.(2025·广东湛江模拟)已知a,b均为实数,则“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025·山东潍坊模拟)十七世纪,数学家费马提出猜想:对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为(　　)
A.对任意正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解
B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
4.若“ x∈M,|x|>6”为真命题,“ x∈M,x<5”为假命题,则集合M可以是(　　)
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
5.若x,y∈R,则“x<|y|”是“x2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
B.命题“ x∈R,x2+2<0”是全称量词命题
C.命题“ x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题
D.命题“实数的平方都是正数”的否定是存在量词命题,且是真命题
7.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则(　　)
A.t是p的必要不充分条件
B.t是q的充要条件
C.p是s的充要条件
D.q是s的充要条件
8.(2025·内蒙古赤峰模拟)命题“ x∈R, n∈N*,n>x2”的否定是“　　　　　　　　　　”.
9.若不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,则实数a的取值范围为　　　　.
10.(2025·北京大兴模拟)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　　.
强化练
11.(2025·四川成都模拟)命题“x+y≤6”是“x≤2或y≤4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D.>1
13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,设命题p: c∈N*,C为钝角,关于命题p有以下四个判断:
①p为真命题;
②﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”;
③p为假命题;
④﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”.
其中判断正确的序号是(　　)
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
14.(多选题)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.m>-2 B.m>-1
C.m>0 D.m>1
15.(多选题)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是(　　)
A B
C D
16.已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、第三象限},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
17.已知命题p: x∈R,mx2+1≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0.若命题p,q均为假命题,则实数m的取值范围为　　　　.
18.f(x)=-x2-6x-3,记max{p,q}表示p,q两者中较大的一个,函数g(x)=max{()x-2,log2(x+3)},若m<-2,且 x1∈[m,-2], x2∈[0,+∞),使f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为　　　　.

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