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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
基础练
1.(多选题)下列各组向量中,能作为基底的是(　　)
A.e1=(-1,-1),e2=(0,0)
B.e1=(1,1),e2=(2,2)
C.e1=(-3,4),e2=(,-)
D.e1=(2,4),e2=(-1,2)
2.(2025·江西景德镇模拟)已知向量a=(-1,3),b=(2,4),则2a-b的坐标为(　　)
A.(6,8) B.(-4,2)
C.(-6,12) D.(4,18)
3.已知A,B,C,D为平面内不同的四点,若=-2,且=(2,-1),则=(　　)
A.(4,-2) B.(-4,2)
C.(6,-3) D.(-6,3)
4.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　)
A.a-c与b共线
B.b+c与a共线
C.a与b-c共线
D.a+b与c共线
5.(2025·四川成都模拟)如图,在正六边形ABCDEF中,=x+y,则x2+y2=(　　)
A. B. C. D.1
6.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为(　　)
A.(6,-8) B.(-6,8)
C.(3,-4) D.(-3,4)
7.在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为　　　　.
8.设向量a=(x,3),b=(2,1),若对任意的正数m,n,向量ma+nb始终具有固定的方向,则x=
　　　　.
9.已知A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),=(1-λ)+λ,λ∈R.若点D在第一、第三象限的角平分线上,则λ的值为　　　　.
10.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
强化练
11.已知向量a=(m,m2+1),b=(n,12),若向量a,b共线且m>0,则n的最大值为(　　)
A.6 B.4 C.8 D.3
12.在△ABC中,点D满足=,点E在射线AD(不含点A)上移动,若=λ+μ,则(μ+2)2+λ2的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.(4,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
13.若{α,β}是平面内所有向量的一个基底,向量γ=x α+y β(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p,q}(p=(1,-1),q=(2,1))下的坐标为(-2,2),则a在基底{m,n}(m=(-1,1),n=(1,2))下的坐标为　　　　.
14.(2025·山东泰安模拟)已知a,b是两个不共线的向量.
(1)若=a+b,=a+2b,=a+3b,证明:A,B,C三点共线;
(2)若向量b-ta,a-b共线,求实数t的值.
15.如图,在△ABC中,点M为BC上一点,且=2.
(1)请用向量,表示向量;
(2)过点M的直线l与AC,AB所在直线分别交于点P,Q,且满足=λ,=μ(λ>0,μ>0),求证:+=3.第2节　平面向量基本定理及坐标表示
基础练
1.(多选题)下列各组向量中,能作为基底的是(　　)
A.e1=(-1,-1),e2=(0,0)
B.e1=(1,1),e2=(2,2)
C.e1=(-3,4),e2=(,-)
D.e1=(2,4),e2=(-1,2)
【答案】 CD
【解析】 因为e1=(-1,-1),e2=(0,0),则e1∥e2,所以不能作为基底,故A错误;因为e1=(1,1),
e2=(2,2),所以e2=2e1,即e1∥e2,所以不能作为基底,故B错误;因为-3×(-)≠4×,所以e1=(-3,4)与e2=(,-)不共线,所以可以作为基底,故C正确;因为2×2≠4×(-1),所以e1=(2,4)与e2=(-1,2)不共线,所以可以作为基底,故D正确.故选CD.
2.(2025·江西景德镇模拟)已知向量a=(-1,3),b=(2,4),则2a-b的坐标为(　　)
A.(6,8) B.(-4,2)
C.(-6,12) D.(4,18)
【答案】 B
【解析】 2a-b=(-2,6)-(2,4)=(-4,2).故选B.
3.已知A,B,C,D为平面内不同的四点,若=-2,且=(2,-1),则=(　　)
A.(4,-2) B.(-4,2)
C.(6,-3) D.(-6,3)
【答案】 A
【解析】 由=-2,可知+=-,即=,即=,=+=2=(4,-2).故选A.
4.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　)
A.a-c与b共线
B.b+c与a共线
C.a与b-c共线
D.a+b与c共线
【答案】 C
【解析】 a-c=(4,2),因为4×7-5×2=18≠0,所以a-c与b不共线;b+c=(7,11),因为7×6-6×11=-24≠0,所以b+c与a不共线;b-c=(3,3),因为3×6-6×3=0,所以a与b-c共线;a+b=(11,13),因为11×4-2×13=18≠0,所以a+b与c不共线.故选C.
5.(2025·四川成都模拟)如图,在正六边形ABCDEF中,=x+y,则x2+y2=(　　)
A. B. C. D.1
【答案】 C
【解析】 由正六边形ABCDEF可知,=,则=+=++=-+,所以=+,即=+,所以x=,y=,所以x2+y2=()2+()2=.故选C.
6.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为(　　)
A.(6,-8) B.(-6,8)
C.(3,-4) D.(-3,4)
【答案】 A
【解析】 法一　不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(m<0),
则|b|==10,
解得m=-2(m=2舍去),
故b=(6,-8).
法二　与a方向相反的单位向量是==(,-),
故b=10(,-)=(6,-8).
7.在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为　　　　.
【答案】 (,5)
【解析】 因为在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,
所以==(+)==(,5).
8.设向量a=(x,3),b=(2,1),若对任意的正数m,n,向量ma+nb始终具有固定的方向,则x=
　　　　.
【答案】 6
【解析】 仅当a与b共线时,向量ma+nb始终具有固定的方向,结合题设,两向量必同向共线,1·x=2×3,所以x=6.
9.已知A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),=(1-λ)+λ,λ∈R.若点D在第一、第三象限的角平分线上,则λ的值为　　　　.
【答案】
【解析】 由点D在第一、第三象限的角平分线上,设D(x,x),则=(1,2),=(5,3),
=(x+2,x-1),又=(1-λ)+λ,所以(x+2,x-1)=(1-λ)(1,2)+λ(5,3)=(1+4λ,2+λ),即解得λ=.
10.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
【解】 法一　如图,作平行四边形OB1CA1,
则=+,
因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,
所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,||=2,
所以||=2,||=4,
所以||=||=4,
所以=4+2,
所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
法二　以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(1,0),B(-,),C(3,).
由=λ+μ,
得解得
所以λ+μ=6.
强化练
11.已知向量a=(m,m2+1),b=(n,12),若向量a,b共线且m>0,则n的最大值为(　　)
A.6 B.4 C.8 D.3
【答案】 A
【解析】 因为向量a,b共线,所以12m-(m2+1)n=0,解得n=,又m>0,
所以m+≥2,n=≤6,当且仅当m=1时,等号成立.故选A.
12.在△ABC中,点D满足=,点E在射线AD(不含点A)上移动,若=λ+μ,则(μ+2)2+λ2的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.(4,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
【答案】 B
【解析】 如图,由点E在射线AD(不含点A)上,设=k,k>0,又=,
则=k(+)=k[+(-)]=+,于是
因此(μ+2)2+λ2=(+2)2+k2=k2+3k+4>4,所以(μ+2)2+λ2的取值范围是(4,+∞).故选B.
13.若{α,β}是平面内所有向量的一个基底,向量γ=x α+y β(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p,q}(p=(1,-1),q=(2,1))下的坐标为(-2,2),则a在基底{m,n}(m=(-1,1),n=(1,2))下的坐标为　　　　.
【答案】 (0,2)
【解析】 因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=x m+y n=
(-x+y,x+2y),所以解得所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).
14.(2025·山东泰安模拟)已知a,b是两个不共线的向量.
(1)若=a+b,=a+2b,=a+3b,证明:A,B,C三点共线;
(2)若向量b-ta,a-b共线,求实数t的值.
(1)【证明】 因为=-=a+2b-(a+b)=b,
=-=a+3b-(a+b)=2b,
所以=2,且直线AB与直线AC有公共点A,
因此A,B,C三点共线.
(2)【解】 因为a,b不共线,所以向量a-b为非零向量,
因为向量b-ta,a-b共线,
所以存在实数λ,使得b-ta=λ(a-b),即(t+λ) a=(λ+1)b,
必有(t+λ)a-(λ+1)b=0,由a,b不共线,
所以 解得t=,
因此,当向量b-ta,a-b共线时,t=.
15.如图,在△ABC中,点M为BC上一点,且=2.
(1)请用向量,表示向量;
(2)过点M的直线l与AC,AB所在直线分别交于点P,Q,且满足=λ,=μ(λ>0,μ>0),求证:+=3.
(1)【解】 因为=-,=-,
又=2,故-=2(-),得3=2+,
所以=+.
(2)【证明】 由P,M,Q三点共线可设=x,又=λ,=μ(λ>0,μ>0),
所以=+=+x=+x(-)=x+(1-x)=(1-x)λ+xμ,
因为M为BC上一点,且=2,
=+,
所以所以
所以+=3-3x+3x=3.

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