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第3节　空间直线、平面的平行
基础练
1.设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n α,则“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 由面面平行的性质可知 m∥β且n∥β,充分性成立;当m∥n时,若m,n α,m∥β,n∥β,则α,β可能平行或相交,必要性不成立,所以“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的充分不必要条件.故选A.
2.(2025·湖南岳阳模拟)下列命题正确的是(　　)
A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
B.若直线a不平行于平面α且a α,则平面α内不存在与a平行的直线
C.直线a,b,平面α,β,且a α,b β,α∥β,则直线a,b平行
D.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α相交
【答案】 B
【解析】 若直线l上有无数个点不在平面α内,则 l∥α或l与α相交,故A选项错误;若直线a不平行于平面α且a α,则a与α相交,所以平面α内不存在与a平行的直线,故B选项正确;已知直线a,b,平面α,β,且a α,b β,α∥β,则直线a,b平行或异面,故C选项错误;两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b∥平面α或b与α相交,故D选项错误.故选B.
3.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为(　　)
A.平行 B.相交
C.垂直 D.平行或相交
【答案】 D
【解析】 若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行;
若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.故选D.
4.在空间四边形ABCD中,H,G分别为BC,CD的中点,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,则(　　)
A.BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形
B.HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形
C.HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形
D.EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形
【答案】 D
【解析】 如图,因为H,G分别为BC,CD的中点,所以 HGBD,因为E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,所以EFBD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形,又EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以EF∥平面BCD.故选D.
5.(2025·山东淄博模拟)已知α,β,γ为三个不同的平面,a,b,l为三条不同的直线.若α∩β=l,
α∩γ=a,β∩γ=b,l∥γ,则下列说法正确的是(　　)
A.a与l相交 B.b与l相交
C.a∥b D.a与β相交
【答案】 C
【解析】 l∥γ,l 平面α,α∩γ=a,则l∥a,同理可得l∥b,则A,B错误;由A,B的分析知a∥b,则C正确;由A的分析知l∥a,a 平面β,l 平面β,则a∥β,故D错误.故选C.
6.(多选题)如图,已知三棱台ABCA′B′C′,上、下底面边长之比为1∶2,棱AB,BC,AC的中点分别为点M,P,N,则下列结论错误的有(　　)
A.A′N∥PC′
B.A′P与AC为异面直线
C.AB∥平面A′C′P
D.平面A′MN∥平面BCC′B′
【答案】 AC
【解析】 对于A,因为 A′N 平面A′C′CA,C′∈平面A′C′CA,P 平面A′C′CA,且C′ A′N,所以A′N与PC′是异面直线,故A错误;
对于B,因为AC 平面A′C′CA,A′∈平面A′C′CA,P 平面A′C′CA,且A′ AC,所以A′P与AC为异面直线,故B正确;
对于C,如图,连接MP,因为棱AB,BC的中点分别为点M,P,所以AC∥MP,因为AC∥A′C′,所以MP∥A′C′,可得AB∩平面 A′C′PM=M,故C错误;
对于D,因为AB,AC的中点分别为点M,N,所以MN∥BC,因为MN 平面BCC′B′,BC 平面BCC′B′,所以MN∥平面BCC′B′,因为AC∥A′C′,A′C′=AC=NC,所以四边形A′C′CN为平行四边形,可得A′N∥C′C,因为A′N 平面BCC′B′,C′C 平面BCC′B′,所以A′N∥平面BCC′B′,因为MN∩A′N=N,MN,A′N 平面A′MN,所以平面A′MN∥平面BCC′B′,故D正确.故选AC.
7.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则 AB=　　　　.
【答案】
【解析】 因为平面α∥平面β,且平面PAB∩平面α=CD,平面PAB∩平面β=AB,所以CD∥AB,所以△PCD∽△PAB,可得=,所以AB===.
8.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长等于　　　　.
【答案】
【解析】 因为EF∥平面AB1C,EF 平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以点F为DC的中点.故EF=AC=.
9.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,则M满足　　　　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1.
【答案】 M在线段FH上
【解析】 如图,连接HN,FH,FN.
由题易知,HN∥DB,HN 平面B1BDD1,DB 平面B1BDD1,
所以HN∥平面B1BDD1.
又FH∥D1D,同理可证FH∥平面B1BDD1,
又HN∩FH=H,HN,FH 平面FHN,
所以平面FHN∥平面B1BDD1.
因为点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,平面FHN∩平面EFGH=FH,所以M∈FH.
10.如图,已知在三棱柱ABCA1B1C1中,A1C与AC1交于点O,D为BC边上一点,D1为B1C1中点,且A1B∥平面ADC1.求证:
(1)A1B∥OD;
(2)平面A1BD1∥平面ADC1.
【证明】 (1)由题意,因为A1B∥平面ADC1,且A1B 平面A1BC,平面ADC1∩平面A1BC=OD,
所以由线面平行的性质得A1B∥OD.
(2)由(1)可知A1B∥OD,又因为O为A1C的中点,所以D为BC的中点,即BD=BC,
因为D1为B1C1的中点,即D1C1=B1C1,又因为BCB1C1,所以BDD1C1,
所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1∥DC1,又因为DC1 平面ADC1,BD1 平面ADC1,所以BD1∥平面ADC1,又A1B∥平面ADC1,A1B∩BD1=B,A1B 平面A1BD1,BD1 平面A1BD1,
所以平面A1BD1∥平面ADC1.
强化练
11.(多选题)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知点G,H分别在A1B1,A1C1上,且GH经过△A1B1C1的重心,E,F分别是AB,AC的中点,且B,C,G,H四点共面,则下列结论正确的是(　　)
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.=
D.棱柱被平面A1EF截得的三棱锥A1AEF与多面体B1C1A1BCFE的体积之比为 1∶11
【答案】 ABD
【解析】 在三棱柱ABCA1B1C1中,可得平面ABC∥平面A1B1C1,因为B,C,G,H四点共面,由面面平行的性质,可得BC∥GH,又因为E,F分别为AB,AC的中点,可得EF∥BC,所以 EF∥GH,所以A正确;由A知EF∥GH,因为EF 平面A1EF,且GH 平面A1EF,所以 GH∥平面A1EF,所以B正确;由BC∥GH且BC∥B1C1,可得GH∥B1C1,因为GH经过△A1B1C1的重心,所以GH=B1C1,又因为E,F分别为AB,AC的中点,可得EF=BC,且BC=B1C1,所以=,所以C不正确;设三棱柱ABCA1B1C1的高为h,底面面积为S,则=Sh,因为E,F分别为AB,AC的中点,可得S△AEF=S,所以=×Sh=Sh,所以=-=Sh,可得=,所以D正确.故选ABD.
12.(2025·浙江绍兴模拟)如图所示,四棱锥PABCD 的底面是边长为1的正方形,点E是棱PD上一点,PE=PD,若 =λ且满足BF∥平面ACE,则λ=　　　　.
【答案】
【解析】 如图,连接BD,交AC于点O,连接OE,由四边形ABCD是正方形,得 BO=OD,在线段PE上取点G,使得GE=ED,由PE=PD,得=,连接BG,FG,则BG∥OE,由OE 平面ACE,
BG 平面ACE,得BG∥平面ACE,而BF∥平面ACE,BG∩BF=B,BG,BF 平面BGF,
因此平面BGF∥平面ACE,又平面PCD∩平面ACE=EC,平面PCD∩平面BGF=GF,则GF∥EC,所以λ===.
13.如图所示,在四棱锥PABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,E是PD的中点.
(1)求证:BC∥AD;
(2)求证:CE∥平面PAB;
(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB 请说明理由.
(1)【证明】 在四棱锥PABCD中,BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,AD 平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD.
(2)【证明】 如图,取F为PA中点,连接EF,BF,由E是PD的中点,得EFAD,由(1)知BC∥AD,又BC=AD,所以EFBC,所以四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF,而CE 平面PAB,BF 平面PAB,则CE∥平面PAB.
(3)【解】 取AD的中点N,连接CN,EN,MN,因为E,N分别为PD,AD的中点,所以EN∥PA,
因为EN 平面PAB,PA 平面PAB,所以 EN∥平面PAB,线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB,理由如下:由(2)知,CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE 平面CEN,EN 平面CEN,
所以平面CEN∥平面PAB,又M是CE上的动点,MN 平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB.
拓展练
14.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,且EF=,P是正方形ABB1A1内及其边界的动点,若C1P∥平面CD1EF,则点P的轨迹长度为(　　)
A.2 B.3π C. D.π
【答案】 C
【解析】 如图所示,取A1B1的中点H,B1B的中点G,连接A1B,GH,C1H,C1G,EG,HF,
则A1B1EG,且A1B1C1D1,可得EGC1D1,可知四边形EGC1D1是平行四边形,则C1G∥D1E,且C1G 平面CD1EF,D1E 平面CD1EF,可得C1G∥平面CD1EF,同理可得,C1H∥平面CD1EF,且C1H∩C1G=C1,C1H,C1G 平面C1GH,可知平面C1GH∥平面CD1EF,又因为P是正方形ABB1A1内及其边界的动点,C1P∥平面CD1EF,所以点P在线段GH上,由题意可知,GH=A1B,EF=A1B,可得GH=EF=,所以点P的轨迹长度为.故选C.
15.如图(1),在梯形PBCD中,BC∥PD,PD=2BC,A是PD中点,现将△ABP沿AB折起得图(2),M是PD的中点,N是BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在一点E,使得平面EMN∥平面PAB 若存在,请指出点E的位置并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 如图,取PA的中点Q,连接MQ,BQ,因为M,Q分别为PD,PA的中点,所以MQAD,又因为N为BC的中点,所以BNAD,所以MQBN,所以四边形MNBQ为平行四边形,所以MN∥BQ,又因为MN 平面PAB,BQ 平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)【解】 存在点E,当E为PC的中点时,平面EMN∥平面PAB.证明如下:由题图(1),因为A是PD中点,BC∥PD,PD=2BC,所以BCAD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD.如图,因为E,M分别为PC,PD中点,所以EM∥CD,所以EM∥AB,因为AB 平面PAB,EM 平面PAB,所以EM∥平面PAB,同理可知,EN∥平面PAB,又因为EM∩EN=E,EM 平面EMN,
EN 平面EMN,所以平面EMN∥平面PAB.第3节　空间直线、平面的平行
基础练
1.设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n α,则“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2025·湖南岳阳模拟)下列命题正确的是(　　)
A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
B.若直线a不平行于平面α且a α,则平面α内不存在与a平行的直线
C.直线a,b,平面α,β,且a α,b β,α∥β,则直线a,b平行
D.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α相交
3.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为(　　)
A.平行 B.相交
C.垂直 D.平行或相交
4.在空间四边形ABCD中,H,G分别为BC,CD的中点,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,则(　　)
A.BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形
B.HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形
C.HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形
D.EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形
5.(2025·山东淄博模拟)已知α,β,γ为三个不同的平面,a,b,l为三条不同的直线.若α∩β=l,
α∩γ=a,β∩γ=b,l∥γ,则下列说法正确的是(　　)
A.a与l相交 B.b与l相交
C.a∥b D.a与β相交
6.(多选题)如图,已知三棱台ABCA′B′C′,上、下底面边长之比为1∶2,棱AB,BC,AC的中点分别为点M,P,N,则下列结论错误的有(　　)
A.A′N∥PC′
B.A′P与AC为异面直线
C.AB∥平面A′C′P
D.平面A′MN∥平面BCC′B′
7.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则 AB=　　　　.
8.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长等于　　　　.
9.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,则M满足　　　　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1.
10.如图,已知在三棱柱ABCA1B1C1中,A1C与AC1交于点O,D为BC边上一点,D1为B1C1中点,且A1B∥平面ADC1.求证:
(1)A1B∥OD;
(2)平面A1BD1∥平面ADC1.
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11.(多选题)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知点G,H分别在A1B1,A1C1上,且GH经过△A1B1C1的重心,E,F分别是AB,AC的中点,且B,C,G,H四点共面,则下列结论正确的是(　　)
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.=
D.棱柱被平面A1EF截得的三棱锥A1AEF与多面体B1C1A1BCFE的体积之比为 1∶11
12.(2025·浙江绍兴模拟)如图所示,四棱锥PABCD 的底面是边长为1的正方形,点E是棱PD上一点,PE=PD,若 =λ且满足BF∥平面ACE,则λ=　　　　.
13.如图所示,在四棱锥PABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,E是PD的中点.
(1)求证:BC∥AD;
(2)求证:CE∥平面PAB;
(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB 请说明理由.
拓展练
14.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,且EF=,P是正方形ABB1A1内及其边界的动点,若C1P∥平面CD1EF,则点P的轨迹长度为(　　)
A.2 B.3π C. D.π
15.如图(1),在梯形PBCD中,BC∥PD,PD=2BC,A是PD中点,现将△ABP沿AB折起得图(2),M是PD的中点,N是BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在一点E,使得平面EMN∥平面PAB 若存在,请指出点E的位置并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

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