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第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
基础练
1.(多选题)下列说法中,正确的有(　　)
A.用一个平面去截棱锥,原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C.梯形的直观图可以是平行四边形
D.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
【答案】 BD
【解析】 对于A,当截面与棱锥底面不平行时,原棱锥底面和截面之间的部分不是棱台,A错误;对于B,经过底面直角三角形锐角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥,四个面都是直角三角形,B正确;对于C,梯形的直观图不可以是平行四边形,C错误;对于D,一条侧棱垂直于底面矩形的四棱锥,四个侧面都是直角三角形,D正确.故选BD.
2.(2025·八省联考)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　)
A. B.π C.2π D.3π
【答案】 A
【解析】 由题意,圆锥的高h==,体积为V=×π×12×=.故选A.
3.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上,顶点为球心O,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球O的表面积为(　　)
A.24π B.36π C.48π D.64π
【答案】 C
【解析】 设圆锥的底面半径为r,则球O的半径为圆锥母线长l==,由圆锥的侧面展开图是一个半圆,则有πrl=πl2,即l=2r,即有2r=,解得r=,则l=2r=2,故球O的表面积为S表=4πl2=48π.故选C.
4.有一块多边形菜地,它水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是直角梯形ABCD(如图),其中∠ABC=45°,AD=CD=1,BC⊥CD,则这块菜地的面积为(　　)
A. B. C. D.3
【答案】 D
【解析】 如图(1)所示,过点A作AE垂直于BC于点E,因为∠ABC=45°,AD=CD=1,所以BE=AE=CD=1,四边形AECD是正方形,则BC=2,AB=,
将图(1)还原成如图(2)所示的直角梯形,其中A′B′=2,A′D′=1,B′C′=2,
所以这块菜地的面积为=3.故选D.
5.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)
A.3 B. C.1 D.
【答案】 C
【解析】 由题意可知,AD⊥平面B1DC1,
即AD为三棱锥A-B1DC1的高,且AD=×2=,
又=×2×=,
所以=××=1.故选C.
6.如图,三棱锥PABC的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PC=,PB=,则三棱锥
PABC外接球的表面积为(　　)
A.
B.
C.8π
D.
【答案】 C
【解析】 因为三棱锥PABC的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直,所以三棱锥PABC可以补成一个长方体,如图所示,
长方体的长、宽、高分别为PB,PC,PA,则此长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球,设外接球的半径为R,则(2R)2=PB2+PC2+PA2=2+3+3=8,得4R2=8,所以三棱锥PABC外接球的表面积为4πR2=8π.故选C.
7.已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足△SAB为等边三角形,且面积为4,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为　　　　.
【答案】 8π
【解析】 设圆锥的母线长为l,由△SAB为等边三角形,且面积为4,所以l2sin =4,
解得l=4.
设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.
又r2+h2=16,解得r=h=2,
所以圆锥的侧面积S=πrl=π·2×4=8π.
8.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积
为V1,V2的两部分,则V1∶V2=　　　　.
【答案】 7∶5
【解析】 设三棱柱ABCA1B1C1的高为h,上、下底面面积均为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh,
因为E,F分别为AB,AC的中点,故S△AEF=S,结合题意可知几何体AEFA1B1C1为棱台,
则V1=h(S+S+)=Sh,故V2=Sh-Sh=Sh,故V1∶V2=7∶5.
9.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为　　　　cm.
【答案】
【解析】 如图所示,沿着正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1剪开,把正三棱柱的侧面展开成一个平面图形,可得一个长为3×2=6(cm),宽为5 cm的矩形,该矩形的对角线长为=
(cm),即最短路线的长为 cm.
10.某广场内设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,如图所示,若被截正方体的棱长是60 cm.
(1)求石凳的体积;
(2)为了美观,工人准备将石凳的表面进行粉刷,已知每平方米造价50元,请问粉刷一个石凳需要多少钱
【解】 (1)正方体的体积为603=216 000(cm3),石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积,其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为 30 cm,
故一个小正三棱锥的体积为××302×30=4 500(cm3),
故石凳的体积为216 000-4 500×8=180 000(cm3).
(2)石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成,
其中正方形和正三角形的边长均为30 cm,
则石凳的表面积为6×(30)2+×30×30sin 60°×8=(3 600+10 800)cm2,
则粉刷一个石凳需要×50=(54+18)元.
强化练
11.(多选题)如图圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,下面说法正确的是(　　)
A.线段AC=2
B.该圆台的表面积为11π
C.该圆台的体积为7π
D.沿着该圆台的表面,从点C到AD中点的最短距离为5
【答案】 ABD
【解析】 显然四边形ABCD是等腰梯形,AB=AD=BC=2,CD=4,其高即为圆台的高h=
=.对于A,在等腰梯形ABCD中,AC==2,A正确;对于B,圆台的表面积S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π,B正确;对于C,圆台的体积V=π(12+1×2+22)×
=π,C错误;对于D,将圆台一半侧面展开,如图中扇环ABCD且E为AD中点,而圆台对应的圆锥半侧面展开为COD且OC=4,又∠COD==,在Rt△COE中,CE==5,斜边CE上的高为=>2,即CE与弧AB相离,所以点C到AD中点的最短距离为5,D正确.故选ABD.
12.(2025·广西南宁模拟)某学生使用硬纸片制作一个表面积为16π的圆柱(硬纸片的厚度不计),记该圆柱的底面半径为r,则当圆柱的外接球表面积取得最小值时,r2=(　　)
A. B.2
C. D.
【答案】 C
【解析】 如图所示,设圆柱的高为h,
则2πr2+2πrh=16π,故h=-r,
设圆柱的外接球半径为R,则r2+=R2,
故R2=r2+=r2+=r2+-4≥2-4,
当且仅当r2=,r2=时,等号成立,
故当r2=时,圆柱的外接球表面积取得最小值.故选C.
13.如图,从一个半径为2的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板,并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体,则该正四面体的高为　　　　.
【答案】
【解析】 圆内最大正三角形即圆内接正三角形.设该圆内接正三角形的边长为m,则×m=2,解得m=6,如图,设折叠后正四面体SEFG的棱长为a,高为h,则a==3,设O为底面正三角形EFG的中心,连接SO,OF,则在△EFG中,由正弦定理得2OF=,则OF==,所以高h=SO===.
14.如图,梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图,已知O′A′∥B′C′,
O′A′=2,O′B′=B′C′=3.
(1)在下面给定的表格中画出四边形OABC(不需写作图过程)﹔
(2)若四棱锥POABC的高等于OC的长,求四棱锥POABC的体积.
【解】 (1)因为O′A′与x′轴重合,则OA与x轴重合,且OA=O′A′=2,
B′C′与x′轴平行,则BC与x轴平行,且BC=B′C′=3,
O′B′与y′轴重合,则OB与y轴重合,且OB=2O′B′=6,
连接AB,OC,即可得四边形OABC,如图所示.
(2)由(1)得,四边形OABC的面积为S=×2×6+×3×6=15,OC==3,
所以四棱锥POABC的体积为=S·OC=×15×3=15.
15.如图(1),圆锥的底面直径和高均为a,过PO上一点O1作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.
如图(2),底面直径和高均为6 cm的圆锥有一个底面半径为R,高为H的内接圆柱.
(1)求R与H的关系式;
(2)求圆柱侧面积的最大值;
(3)当圆锥的高PO为6 cm,底面直径为6 cm时,底面一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥一周回到A点,求蚂蚁爬行的最短距离.
【解】 (1)如图,记PA与圆柱的上底面交于点C,连接O1C,OA,则O1C∥OA,则=,即=,整理可得2R+H=6,
所以R与H的关系式为2R+H=6.
(2)由(1)知,6=2R+H≥2,当且仅当R=,H=3时,等号成立,则R·H≤,因此圆柱的侧面积S=2πR·H≤2π×=9π,
所以当R= cm,H=3 cm时,圆柱的侧面积取最大值9π cm2.
(3)由圆锥的高PO为6 cm,底面直径为6 cm,得圆锥母线长PA==9 (cm),
把圆锥的侧面沿母线PA剪开展开在平面内,得如图所示的扇形,
显然圆弧AA′的长为2π×3=6π,因此∠APA′==,
在△PAA′中,PA=PA′,∠PAA′=,因此 AA′=2PA·cos =9(cm),
所以蚂蚁爬行的最短距离是9 cm.第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
基础练
1.(多选题)下列说法中,正确的有(　　)
A.用一个平面去截棱锥,原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C.梯形的直观图可以是平行四边形
D.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
2.(2025·八省联考)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　)
A. B.π C.2π D.3π
3.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上,顶点为球心O,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球O的表面积为(　　)
A.24π B.36π C.48π D.64π
4.有一块多边形菜地,它水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是直角梯形ABCD(如图),其中∠ABC=45°,AD=CD=1,BC⊥CD,则这块菜地的面积为(　　)
A. B. C. D.3
5.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)
A.3 B. C.1 D.
6.如图,三棱锥PABC的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PC=,PB=,则三棱锥
PABC外接球的表面积为(　　)
A.
B.
C.8π
D.
7.已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足△SAB为等边三角形,且面积为4,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为　　　　.
8.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积
为V1,V2的两部分,则V1∶V2=　　　　.
9.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为　　　　cm.
10.某广场内设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,如图所示,若被截正方体的棱长是60 cm.
(1)求石凳的体积;
(2)为了美观,工人准备将石凳的表面进行粉刷,已知每平方米造价50元,请问粉刷一个石凳需要多少钱
强化练
11.(多选题)如图圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,下面说法正确的是(　　)
A.线段AC=2
B.该圆台的表面积为11π
C.该圆台的体积为7π
D.沿着该圆台的表面,从点C到AD中点的最短距离为5
12.(2025·广西南宁模拟)某学生使用硬纸片制作一个表面积为16π的圆柱(硬纸片的厚度不计),记该圆柱的底面半径为r,则当圆柱的外接球表面积取得最小值时,r2=(　　)
A. B.2
C. D.
13.如图,从一个半径为2的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板,并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体,则该正四面体的高为　　　　.
14.如图,梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图,已知O′A′∥B′C′,
O′A′=2,O′B′=B′C′=3.
(1)在下面给定的表格中画出四边形OABC(不需写作图过程)﹔
(2)若四棱锥POABC的高等于OC的长,求四棱锥POABC的体积.
15.如图(1),圆锥的底面直径和高均为a,过PO上一点O1作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.
如图(2),底面直径和高均为6 cm的圆锥有一个底面半径为R,高为H的内接圆柱.
(1)求R与H的关系式;
(2)求圆柱侧面积的最大值;
(3)当圆锥的高PO为6 cm,底面直径为6 cm时,底面一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥一周回到A点,求蚂蚁爬行的最短距离.

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