资源简介

第4节　数列求和
基础练
1.已知数列{an}满足=3an,且a1=-1,则数列{an+2n}的前5项和为(　　)
A.-151 B.-91
C.91 D.151
【答案】 B
【解析】 因为数列{an}满足an+1=3an,且a1=-1,所以数列{an}是首项为-1,公比为3的等比数列,所以an=-1×3n-1=-3n-1,所以数列{an+2n}的前5项和为S5=(-30+2)+(-31+4)+(-32+6)+(-33+
8)+(-34+10)=(-30-31-32-33-34)+(2+4+6+8+10)=+=-121+30=-91.故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=an+n,则a1+a3+…+a99=(　　 )
A.50 B.60 C.99 D.198
【答案】 A
【解析】 因为2Sn=an+n,当n=1时,2a1=2S1=a1+1,则a1=1;
当n≥2时,2an=2Sn-2Sn-1=an+n-(an-1+n-1),整理得an+an-1=1,则an+1+an=1,所以an+1=an-1.综上,数列{an}的奇数项是首项为1的常数列,所以a1+a3+…+a99=1+1+…+1=50.故选A.
3.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 bn====-,则{bn}的前10项和为-+-+…+-=-=.故选B.
4.(2025·吉林长春模拟)已知在数列{an}中,a1=2,a2=0,且an+2=an+2·(-1)n,则数列{an}的前30项和为(　　)
A.15 B.30 C.60 D.120
【答案】 B
【解析】 当n为奇数时,an+2=an-2,当n为偶数时,an+2=an+2,所以数列{an}的奇数项构成首项为2,公差为-2的等差数列,偶数项构成首项为0,公差为2的等差数列,则S30=15×2+×
(-2)+15×0+×2=30.故选B.
5.记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+Sn+1=3n2+2n+1,则S20等于(　　)
A.590 B.602 C.630 D.650
【答案】 A
【解析】 因为Sn+Sn+1=3n2+2n+1,所以Sn-1+Sn=3(n-1)2+2(n-1)+1(n≥2),两式相减可得an+an+1=6n-1(n≥2).由a1=1,S1+S2=3×12+2×1+1=6,解得a2=4,所以a1+a2=5,满足上式,故an+an+1=6n-1,所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=5+17+29+…+113==590.故选A.
6.设数列{an}的前n项和Sn=2n+1+n-2,数列{}的前m项和Tm=,则m的值为(　　)
A.8 B.10 C.12 D.20
【答案】 A
【解析】 由an=n∈N*,
又Sn-Sn-1=2n+1+n-2-2n-n+1+2=2n+1,则an=n∈N*,
当n=1时,a1=21+1=3,则an=2n+1,
则==-,
则Tm=-+-+…+-=-.
令-= 2m+1=512 m=8.故选A.
7.(2025·广西贵港模拟)已知{an+3}是等比数列,a1=-2,a2=-1,则数列{an}的前n项和为　　　　　.
【答案】 2n-3n-1
【解析】 由{an+3}是等比数列可得其公比q===2,因此数列{an+3}的首项为a1+3=1,公比q=2,所以an+3=1×2n-1,即an=2n-1-3.所以数列{an}的前n项和为a1+a2+a3+…+an=20-3+
21-3+22-3+…+2n-1-3=-3n=2n-3n-1.
8.(2025·四川广安模拟)已知数列{an}的通项公式为an=,若该数列的前k项和等于5,则k=　　　　.
【答案】 35
【解析】 设数列{an}的前n项和为Sn,因为an==-+,
所以Sk=-1+-+-…-+=-1=5,解得k=35.
9.(2025·山西晋城模拟)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(2n+2)an,则=　　　　.
【答案】
【解析】 由a1=1≠0得an≠0,又由nan+1=(2n+2)an,得=2·,
所以=2·,=2·,=2·,…,=2·(n≥2,n∈N*),
累乘可得=2n-1·,又a1=1,得an=n·2n-1.
设S=a1+a2+a3+…+a100=1·20+2·21+3·22+4·23+…+100·299,①
则2S=1·21+2·22+3·23+4·24+…+100·2100,②
①-②得-S=1+2+22+23+…+299-100·2100,
即-S=-2100·100=-99·2100-1,
所以S=99·2100+1,
所以==.
10.(2025·陕西渭南模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足a1+a2=3,S4=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=an+(-1)n(3n-1),求数列{bn}的前2n项和T2n.
【解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a1+a2=3及S4=15,得a3+a4=q2(a1+a2)=12,解得q=2,于是a1+a2=3a1=3,即a1=1,所以数列{an}的通项公式是an=a1qn-1=2n-1.
(2)由(1)知,bn=2n-1+(-1)n(3n-1),所以T2n=(1+2+22+…+22n-1)+[(-2+5)+(-8+11)+…+(-6n+4+
6n-1)]=+3n=22n+3n-1.
强化练
11.(2025·浙江杭州模拟)设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项和,则S7=(　　)
A.110 B.120 C.288 D.306
【答案】 A
【解析】 S7=a1+b1+a2+b2+a3+b3+a4+b4+a5+b5+a6+b6+a7+b7
=a1+b1+(a2+b3)+(b2+a3)+(a4+b5)+(b4+a5)+(a6+b7)+(b6+a7)
=1+1+2×2+22+2×4+24+2×6+26
=2+4+4+8+16+12+64=110.故选A.
12.(2025·内蒙古包头模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=3,an+2=an+1-an,则S21=　　　　　.
【答案】 6
【解析】 因为a1=2,a2=3,an+2=an+1-an,
则a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,
所以数列{an}是周期为6的数列,且S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=2+3+1-2-3-1=0,
所以S21=S3×6+3=S3=a1+a2+a3=6.
13.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:第一层1件货物,下一层比上一层多1件货物.已知最底下一层货物单价1万元,上面一层货物的单价比下面一层货物的单价多.若一共堆放n层,则第k层的货物的价格为　　　　万元,这堆货物总价为　　　　　　　万元.
【答案】 k()n-k　 -56-7n
【解析】 由题意可得第k层货物的单价为()n-k万元,
故第k层的货物的价格为ak=k()n-k万元,
则这堆货物总价为Sn=n·()0+(n-1)·()1+(n-2)·()2+…+1·()n-1,①
则Sn=n·()1+(n-1)·()2+(n-2)·()3+…+1·()n,②
由②-①可得,
Sn=-n+()1+()2+()3+…+()n-1+()n=-n=8()n-8-n,
所以Sn=-56-7n.
14.已知等差数列{an}中,a3=3,a6=6,且bn=
(1)求数列{bn}的通项公式及前20项和;
(2)若cn=b2n-1b2n,记数列{cn}的前n项和为Sn,求Sn.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,则d==1,所以an=a3+(n-3)d=n,
从而bn=
故b1+b2+b3+…+b19+b20=(2+4+…+20)+(22+24+…+220)=+=110+(410-1).
(2)因为cn=b2n-1b2n=2n·22n=2n·4n,
所以Sn=2×41+4×42+6×43+…+2n·4n,4Sn=2×42+4×43+6×44+…+2(n-1)·4n+2n·4n+1,
两式相减得,-3Sn=2×41+2×42+2×43+…+2×4n-2n·4n+1,所以-3Sn=-2n·4n+1=(-2n)4n+1-,
即Sn=(n-)4n+1+.
15.(2025·重庆沙坪坝模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且anan+1=2(3Sn-1),a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,证明:Tn<.
(1)【解】 当n=1时,a1a2=2(3S1-1),又a1=1,解得a2=4,
当n≥2时,由anan+1=2(3Sn-1),可得an-1an=2(3Sn-1-1),
两式相减可得anan+1-an-1an=2(3Sn-1)-2(3Sn-1-1),
所以an(an+1-an-1)=6Sn-6Sn-1=6an,又数列{an}是正项数列,
所以an+1-an-1=6,所以奇数项是以a1=1为首项,6为公差的等差数列,
所以a2n-1=a1+(n-1)×6=1+6n-6=6n-5=3(2n-1)-2,
由an+1-an-1=6,可得偶数项是以a2=4为首项,6为公差的等差数列,
所以a2n=a2+(n-1)×6=4+6n-6=6n-2=3×2n-2,
所以an=3n-2.
(2)【证明】 由(1)可得bn==<=-(n≥2),
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn<1+(-)+(-)+(-)+…+(-)=1+-<.第4节　数列求和
基础练
1.已知数列{an}满足=3an,且a1=-1,则数列{an+2n}的前5项和为(　　)
A.-151 B.-91
C.91 D.151
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=an+n,则a1+a3+…+a99=(　　 )
A.50 B.60 C.99 D.198
3.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·吉林长春模拟)已知在数列{an}中,a1=2,a2=0,且an+2=an+2·(-1)n,则数列{an}的前30项和为(　　)
A.15 B.30 C.60 D.120
5.记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+Sn+1=3n2+2n+1,则S20等于(　　)
A.590 B.602 C.630 D.650
6.设数列{an}的前n项和Sn=2n+1+n-2,数列{}的前m项和Tm=,则m的值为(　　)
A.8 B.10 C.12 D.20
7.(2025·广西贵港模拟)已知{an+3}是等比数列,a1=-2,a2=-1,则数列{an}的前n项和为　　　　　.
8.(2025·四川广安模拟)已知数列{an}的通项公式为an=,若该数列的前k项和等于5,则k=　　　　.
9.(2025·山西晋城模拟)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(2n+2)an,则=　　　　.
10.(2025·陕西渭南模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足a1+a2=3,S4=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=an+(-1)n(3n-1),求数列{bn}的前2n项和T2n.
强化练
11.(2025·浙江杭州模拟)设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项和,则S7=(　　)
A.110 B.120 C.288 D.306
12.(2025·内蒙古包头模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=3,an+2=an+1-an,则S21=　　　　　.
13.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:第一层1件货物,下一层比上一层多1件货物.已知最底下一层货物单价1万元,上面一层货物的单价比下面一层货物的单价多.若一共堆放n层,则第k层的货物的价格为　　　　万元,这堆货物总价为　　　　　　　万元.
14.已知等差数列{an}中,a3=3,a6=6,且bn=
(1)求数列{bn}的通项公式及前20项和;
(2)若cn=b2n-1b2n,记数列{cn}的前n项和为Sn,求Sn.
15.(2025·重庆沙坪坝模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且anan+1=2(3Sn-1),a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,证明:Tn<.

展开更多......

收起↑