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第3节　等比数列
基础练
1.(2025·福建泉州模拟)在等比数列{an}中,a1+a4=0,a2=-2,记Sn为{an}的前n项和,则S4等于(　　)
A.-8 B.-5 C.-4 D.0
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=51,则公比q等于(　　)
A. B. C.2 D.3
3.(2025·福建福州模拟)在数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025·四川雅安模拟)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a1+a5+a9=9,
b2b5b8=3,则=(　　)
A.2 B. C. D.
5.(多选题)记递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则(　　)
A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1
C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1
6.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,则S7等于(　　)
A.63 B.127 C.128 D.256
7.(2025·山东聊城模拟)已知数列{an}各项均为正数,若a1=1,且ln an+1=ln an+1(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　.
8.有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1 890盏,则底层所开灯的数量为　　　　.
9.已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=　　　　.
10.(2024·全国甲卷改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的通项公式.
强化练
11.(2025·江苏苏州模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1+a,则a1a2-a2a3+
a3a4-…+a9a10=(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}为等比数列
B.数列{Sn+n}为等比数列
C.数列{an+1}为等比数列
D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4
13.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
拓展练
14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=m-25-n,则a1a2·…·an的最大值为　　　　.
15.(2025·安徽合肥模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,
+mSn+1=,其中m为常数.
(1)证明:Sn+1=2Sn+m.
(2)是否存在实数m,使得数列{an}为等比数列 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.第3节　等比数列
基础练
1.(2025·福建泉州模拟)在等比数列{an}中,a1+a4=0,a2=-2,记Sn为{an}的前n项和,则S4等于(　　)
A.-8 B.-5 C.-4 D.0
【答案】 D
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,则a1+a4=a1+a1q3=0,因为a1≠0,则q=-1,又a2=-2,故a1=2,a3=2,a4=-2,则S4=a1+a2+a3+a4=0.故选D.
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=51,则公比q等于(　　)
A. B. C.2 D.3
【答案】 C
【解析】 由题意知,q>0且q≠1,则===,解得q=2.故选C.
3.(2025·福建福州模拟)在数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 对于数列{an},若an+1=2an,当a1=0时,可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则=2,即an+1=2an,故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故选B.
4.(2025·四川雅安模拟)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a1+a5+a9=9,
b2b5b8=3,则=(　　)
A.2 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意可得解得所以===.
故选C.
5.(多选题)记递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则(　　)
A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1
C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1
【答案】 BC
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}为递增的等比数列,且a2+a4=10>0,所以an>0.因为a2a3a4=64,所以=64,解得a3=4,因为a2+a4=10,所以+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.又数列{an}为递增的等比数列,故q=2,a1===1,an=2n-1,Sn==2n-1,
Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.
6.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,则S7等于(　　)
A.63 B.127 C.128 D.256
【答案】 B
【解析】 在Sn+1=2Sn+1中,令n=1,得S2=3,
所以a2=2.
由Sn+1=2Sn+1得Sn+2=2Sn+1+1,
两式相减得an+2=2an+1,即=2.
又a1=1,=2,
所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以S7==127.故选B.
7.(2025·山东聊城模拟)已知数列{an}各项均为正数,若a1=1,且ln an+1=ln an+1(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　.
【答案】 an=en-1
【解析】 由已知可得ln an+1-ln an=ln =1,所以=e,所以数列{an}是等比数列,且该数列的首项为1,公比为e,an=1·en-1=en-1.
8.有一座六层高的商场,若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍,一共开了1 890盏,则底层所开灯的数量为　　　　.
【答案】 30
【解析】 依题意,从下往上每层灯的数量构成等比数列{an},公比q=2,n=6,前6项和S6=
1 890,于是S6===1 890,解得a1=30,所以底层所开灯的数量为30.
9.已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=　　　　.
【答案】 12
【解析】 由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和S偶的4倍,
所以S奇+S偶=4S偶,故S偶=S奇.
设等比数列{an}的公比为q,该等比数列共有2k(k∈N*)项,则S偶=a2+a4+…+a2k=
q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=,
因为=a1a2a3=64,所以a2=4,所以a1==12.
10.(2024·全国甲卷改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的通项公式.
【解】(1)因为2Sn=3an+1-3,故2Sn-1=3an-3(n≥2),所以2an=3an+1-3an(n≥2),即5an=3an+1,故等比数列的公比q=,故2a1=3a2-3=3a1×-3=5a1-3,故a1=1,所以an=()n-1.
(2)由等比数列求和公式得Sn==·()n-.
强化练
11.(2025·江苏苏州模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1+a,则a1a2-a2a3+
a3a4-…+a9a10=(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 由题意得an=Sn-Sn-1=2n+1+a-2n-a=2n(n≥2),因为{an}为等比数列,a1=4+a,a2=4,
所以==2,解得a=-2,a1=2,
易知a1a2,-a2a3,a3a4,…,-a8a9,a9a10构成首项为8,公比为-4的等比数列,
所以a1a2-a2a3+a3a4-…-a8a9+a9a10==.故选A.
12.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}为等比数列
B.数列{Sn+n}为等比数列
C.数列{an+1}为等比数列
D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4
【答案】 BD
【解析】 因为Sn+1=2Sn+n-1,所以Sn+1+n+1=2Sn+n-1+n+1=2(Sn+n),又S1+1=a1+1=2,所以Sn+n≠0,所以=2,所以{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故Sn=2n-n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-n-2n-1+(n-1)=2n-1-1,而a1=1不满足2n-1-1,故{an}不是等比数列,故A项错误,B项正确;因为a1+1=2,an+1=2n-1(n≥2),而a1+1≠21-1,故数列{an+1}不为等比数列,故C项错误;因为2Sn=2n+1-2n,故{2Sn}的前n项和为-2·=2n+2-n2-n-4,故D项正确.故选BD.
13.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
【解】 (1)由题意,得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,故a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,
得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=()n-1.
(2)由(1)得Sn=1-()n.
由S5=得1-()5=,即()5=.
解得λ=-1.
拓展练
14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=m-25-n,则a1a2·…·an的最大值为　　　　.
【答案】 1 024
【解析】 由题知,Sn+1=m-24-n,a1=S1=m-24=m-16,则an+1=Sn+1-Sn=m-24-n-(m-25-n)=24-n,所以an=25-n,n≥2,当n=1时,a1=24=m-16,解得m=32,满足{an}为等比数列.a1a2·…·an=24·23·…·
25-n=24+3+…+5-n==,由一元二次函数y=易知,数列在n=4或n=5时,取得最大值,则a1a2·…·an的最大值为=1 024.
15.(2025·安徽合肥模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,
+mSn+1=,其中m为常数.
(1)证明:Sn+1=2Sn+m.
(2)是否存在实数m,使得数列{an}为等比数列 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】因为+mSn+1=,所以=-mSn+1,因为an+1=Sn+1-Sn,所以=-
mSn+1,即Sn+1(Sn+1-2Sn-m)=0.又因为an>0,可得Sn+1>0,所以Sn+1-2Sn-m=0,故Sn+1=2Sn+m.
(2)【解】由(1)知Sn+1=2Sn+m,当n≥2时,Sn=2Sn-1+m,两式相减得an+1=2an,即=2(n≥2,
n∈N*).所以数列{an}从第二项起成等比数列,且公比q=2.又由S2=2S1+m,即a2+a1=2a1+m,所以a2=a1+m=1+m>0,可得m>-1,所以an=若数列{an}是等比数列,则a2=1+m=2a1=2,可得m=1,经验证得当m=1时,数列{an}满足=2(n∈N*),所以当m=1时,数列{an}是等比数列.

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