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第2节　等差数列
基础练
1.已知等差数列{an}满足a3+a6=16,且a5-a3=4,则首项a1=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.3
2.由公差为d的等差数列a1,a2,a3,…组成的新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…是(　　)
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列
D.非等差数列
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　)
A. B. C. D.
4.已知{an},{bn}均为等差数列,且a1=1,b1=2,a3+b3=5,则a2 025+b2 025=(　　)
A.2 026 B.2 025
C.2 027 D.2 028
5.若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,S5S8,则下列说法错误的是(　　)
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
6.已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为(　　)
A.28 B.29 C.30 D.31
7.(2025·江苏南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.若a2+a4=6,S9=63,则 d=　　　　.
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,-=-4,则Sn取最大值时的n为　　　　.
9.中国古代数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何 ”现将1到200共200个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则该数列最大项和最小项之和为　　　　.
10.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
强化练
11.在数列{an}中,a1=5,a2=9.若数列{an+n2}是等差数列,则{an}的最大项为(　　)
A.9 B.11 C. D.12
12.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是　　　　　　.
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
拓展练
14.[x](x∈R)表示不小于x的最小整数,例如[2]=2,[-]=-1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=-7,a4+a6=-3.记bn=[an],则数列{bn}的前10项和为　　　　.
15.已知正项数列{an}满足:a1=2,an+an-1=+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3;
(2)设数列{bn}满足bn=(an-1)2-n2,证明数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.第2节　等差数列
基础练
1.已知等差数列{an}满足a3+a6=16,且a5-a3=4,则首项a1=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.3
【答案】 C
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,因为a3+a6=16,且a5-a3=4,
所以所以故选C.
2.由公差为d的等差数列a1,a2,a3,…组成的新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…是(　　)
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列
D.非等差数列
【答案】 B
【解析】 设新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…的第n项是bn,则bn=an+=2a1+(n-1)d+(n+2)d=
2a1+(2n+1)d,所以bn+1-bn=2d,所以新数列是以2d为公差的等差数列.故选B.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 由等差数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,因为=,即S6=3S3,
(S6-S3)-S3=S3,所以S9-S6=3S3,S12-S9=4S3,所以S9=6S3,S12=10S3,所以==.故选A.
4.已知{an},{bn}均为等差数列,且a1=1,b1=2,a3+b3=5,则a2 025+b2 025=(　　)
A.2 026 B.2 025
C.2 027 D.2 028
【答案】 C
【解析】 由于{an},{bn}均为等差数列,则{an+bn}为等差数列,因此a1+b1=3,a3+b3=5,所以{an+bn}的公差为1,故a2 025+b2 025=a3+b3+2 022×1=2 027.故选C.
5.若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,S5S8,则下列说法错误的是(　　)
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
【答案】 C
【解析】 依题意,设等差数列{an}的公差为d,
由S5S8,得a6=S6-S5>0,a7=S7-S6=0,a8=S8-S7<0,
对于A,由d=a7-a6<0,可知A正确;
对于B,由a7=S7-S6=0,可知B正确;
对于C,由S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0,可知S9对于D,由d<0,可得数列{an}为递减数列,且a7=0,则S6=S7,
所以S6和S7均为Sn的最大值,D正确.故选C.
6.已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为(　　)
A.28 B.29 C.30 D.31
【答案】 B
【解析】 设等差数列{an}共有2n+1项,
则S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1,
S偶=a2+a4+a6+…+a2n,
该数列的中间项为an+1,
又S奇-S偶=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+…+(a2n+1-a2n)=a1+d+d+…+d=a1+nd=an+1,
所以an+1=S奇-S偶=319-290=29.故选B.
7.(2025·江苏南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.若a2+a4=6,S9=63,则 d=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意可得解得
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,-=-4,则Sn取最大值时的n为　　　　.
【答案】 5
【解析】 由{an}为等差数列,得-=a5-a3=2d=-4,
即d=-2,
由于a1=9,所以an=-2n+11,
令an=-2n+11<0,得n>,
所以Sn取最大值时的n为5.
9.中国古代数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何 ”现将1到200共200个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则该数列最大项和最小项之和为　　　　.
【答案】 196
【解析】 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,则an=8+15(n-1)=15n-7,令15n-7≤200,解得n≤13.8,则数列{an}的最大项为a13=15×13-7=188,最小项为a1=8,所以该数列最大项和最小项之和为188+8=196.
10.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)【证明】 因为
-==,
所以bn+1-bn=,
当n=1时,b1==1,
所以{bn}是首项为1,公差为的等差数列.
(2)【解】 由(1)知bn=n+,
所以an-1=,
所以an=.
强化练
11.在数列{an}中,a1=5,a2=9.若数列{an+n2}是等差数列,则{an}的最大项为(　　)
A.9 B.11 C. D.12
【答案】 B
【解析】 令bn=an+n2,又a1=5,a2=9,所以b1=a1+1=6,b2=a2+4=13,所以数列{an+n2}的公差为13-6=7,则an+n2=6+7(n-1)=7n-1,所以an=-n2+7n-1=-(n-) 2+,又n∈N*,所以当n=3或n=4时,an有最大值为-+=11.故选B.
12.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是　　　　　　.
【答案】 (-1,-)
【解析】 因为当且仅当n=8时,Sn有最大值,
所以即
解得-113.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解】 (1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4,得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,
解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
拓展练
14.[x](x∈R)表示不小于x的最小整数,例如[2]=2,[-]=-1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=-7,a4+a6=-3.记bn=[an],则数列{bn}的前10项和为　　　　.
【答案】 -15
【解析】 由S7=-7,可得7a4=-7,解得a4=-1,
又a4+a6=-3,得2a5=-3,解得a5=-,所以等差数列{an}的公差d=-,首项a1=,所以 an=1-n,又bn=[an],所以b1=[]=1,同理b2=b3=0,b4=b5=-1,b6=b7=-2,b8=b9=-3,b10=-4,所以数列{bn}的前10项和为1+0+0+(-1)+(-1)+(-2)+(-2)+(-3)+(-3)+(-4)=-15.
15.已知正项数列{an}满足:a1=2,an+an-1=+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3;
(2)设数列{bn}满足bn=(an-1)2-n2,证明数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)由已知可得a2+a1=+2,
因为a1=2,所以-22=3+2(a2-2),
即-2a2-3=0,
因为a2>0,所以a2=3.
又a3+a2=+2,a2=3,
所以-9=5+2(a3-3),
即-2a3-8=0,
因为a3>0,所以a3=4.
故a2=3,a3=4.
(2)由已知条件可知,
-=2(an-an-1)+2n-1,
所以(an-1)2-(an-1-1)2=n2-(n-1)2,
则(an-1)2-n2=(an-1-1)2-(n-1)2=…=(a2-1)2-22=(a1-1)2-12=0,而bn=(an-1)2-n2,
所以bn=0,数列{bn}为等差数列.
所以(an-1)2=n2,而an>0,故an=n+1.

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