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第2节　用样本估计总体
基础练
1.(2025·山东菏泽模拟)有一组数据,按从小到大排列为1,2,x,8,9,10,这组数据的40%分位数等于他们的平均数,则x为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】 D
【解析】 因为该组数据共6个,且6×40%=2.4,
所以这组数据的40%分位数为第3个数,即为x,
则x=,解得x=6.故选D.
2.(2025·湖北黄冈模拟)为了解高中生每天的体育活动时间,某市教育部门随机抽取1 000名高中生进行调查,把每天进行体育活动的时间按照时长(单位:min)分成6组:[30,40),
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90].然后整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这1 000名高中生每天体育活动时间的第25百分位数为(　　)
A.47.5 B.45.5
C.43.5 D.42.5
【答案】 A
【解析】 设第25百分位数为x,而0.1<0.25<0.1+0.2,则所求百分位数在第二组,
则可列方程0.1+0.02(x-40)=0.25,解得x=47.5.故选A.
3.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本,个体m被抽到的概率是0.2
B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是
C.当总体由有明显差异的几部分构成时,可以采用分层随机抽样
D.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为9,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为81
【答案】 BC
【解析】 对于A,用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本,个体m被抽到的概率是=,故A错误;
对于B,=4,所以m=4,
则这组数据的方差是×[(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)2]=,故B正确;
对于C,当总体由有明显差异的几部分构成时,可以采用分层随机抽样,故C正确;
对于D,若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为9,则数据的方差为81,
所以2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22×81=324,
则2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为18,故D错误.故选BC.
4.(2025·广东肇庆模拟)某同学掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据5次的统计结果,可以判断一定没有出现点数6的是(　　)
A.中位数是3,众数是2
B.平均数是3,中位数是2
C.方差是2.4,平均数是2
D.平均数是3,众数是2
【答案】 C
【解析】 选项A,有可能出现点数6,例如2,2,3,4,6;
选项B,有可能出现点数6,例如2,2,2,3,6;
选项C,设这5次的点数分别为x1,x2,…,x5 ,则方差为s2=[(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x5-2)2] ,
如果出现点数6,而×(6-2)2=3.2,则方差大于或等于3.2,故不可能出现点数6;
选项D,有可能出现点数6,例如2,2,2,3,6.故选C.
5.(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
【答案】 CD
【解析】 设样本数据x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为,m,σ,t,依题意得,新样本数据y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为+c,m+c,σ,t,因为c≠0,所以A,B不正确,C,D正确.故选CD.
6.(多选题)(2025·江西鹰潭模拟)下图为某地2015年至2024年的粮食年产量折线图,则下列说法正确的是(　　)
A.这10年粮食年产量的极差为16
B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C.这10年粮食年产量的平均数为33.7
D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
【答案】 ACD
【解析】 A选项,将样本数据从小到大排列为26,28,30,32,32,35,35,38,39,42,这10年的粮食年产量极差为42-26=16,故A正确;
B选项,10×70%=7,结合A选项的分析可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数,即=36.5,故B不正确;
C选项,这10年粮食年产量的平均数为×(32+32+30+28+35+38+42+39+26+35)=33.7,故C正确;
D选项,结合题图可知,前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食年产量波动,所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差,故D正确.故选ACD.
7.某次考试某题的得分情况如下:
得分 0 1 2 3 4
百分率/% 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中众数是　　　　.
【答案】 0
【解析】 众数是指一组数据中出现次数最多的数据,根据所给表格可知,百分率最高的
是“0”.
8.某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成一组数据,这组数据的中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为　　　　.
【答案】 7.8
【解析】 依题意,这组数据一共有5个数,中位数为8,则从小到大排列,8的前面有2个数,后面也有2个数,又唯一的众数为9,则有2个9,其余数字均只出现一次,则最大数字为9,又极差为3,所以最小数字为6,所以这组数据为6,7,8,9,9,所以平均数为=7.8.
9.(2025·安徽淮南模拟)某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s至18 s之间,将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的第70百分位数约为　　　　 s.
【答案】 16.5
【解析】 设成绩的第70百分位数约为x s,因为=0.55,=0.85,
所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5.
10.(2025·浙江杭州模拟)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位:kg),并绘制频率分布直方图如图.
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多,水果会变得不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能满足90%顾客的需求(在10天中,大约有9天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果
【解】 (1)由题图可知,区间[80,90)的频率最大,所以众数为85,
中位数设为x,则0.025+0.1+(x-80)×0.04=0.5,可得x=89.375.
平均数为=(65×0.002 5+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.002 5) ×10=89.75.
(2)日销售量[60,100)的频率为0.875<0.9,日销售量[60,110)的频率为0.975>0.9,故所求的量位于[100,110)内.
由0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025,得100+=102.5,
故每天应该进102.5 kg苹果.
强化练
11.(多选题)在管理学研究中,有一种衡量个体领导力的模型,称为“五力模型”,即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图,其中每项能力分为三个等级,“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分,把分值称为能力指标,则下列判断正确的是(　　)
A.甲、乙的五项能力指标的均值相同
B.甲、乙的五项能力指标的方差相同
C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑,乙的领导力高于甲的领导力
D.如果从影响力、控制力、感召力考虑,甲的领导力高于乙的领导力
【答案】 AB
【解析】 甲的五项能力指标为6,5,4,5,4.平均值为=4.8,
乙的五项能力指标为6,4,5,4,5,平均值为=4.8,则A正确;
由于均值相同,各项指标数也相同(只是顺序不同),所以方差也相同,则B正确;
从控制力、决断力、前瞻力考虑,甲的均值为,乙的均值为,所以甲的领导力高于乙的领导力,则C不正确;
从影响力、控制力、感召力考虑,甲、乙的指标均值相同,方差也相同,所以甲、乙水平相当,则D不正确.故选AB.
12.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)一组数据x1,x2,x3,…,x10满足xi-xi-1=2(2≤i≤10),若去掉x1,x10后组成一组新数据,则新数据与原数据相比(　　)
A.极差变小 B.平均数变大
C.方差变小 D.第25百分位数变小
【答案】 AC
【解析】 由于xi-xi-1=2(2≤i≤10),
故x2=x1+2,x3=x1+4,…,x9=x1+16,x10=x1+18.
A选项,原来的极差为x10-x1=18,去掉x1,x10后,极差为x9-x2=14,极差变小,A正确;
B选项,原来的平均数为==x1+9,去掉x1,x10后的平均数为=
=x1+9,平均数不变,B错误;
C选项,原来的方差为[(x1-x1-9)2+(x2-x1-9)2+…+(x10-x1-9)2]=33,去掉x1,x10后的方差为[(x2-x1-9)2+(x3-x1-9)2+…+(x9-x1-9)2]=21,方差变小,C正确;
D选项,10×25%=2.5,从小到大排列,选第3个数作为第25百分位数,即x3,去掉x1,x10后,
8×25%=2,故从小到大排列,选择第2个数和第3个数的平均数作为第25百分位数,即,由于x3<,第25百分位数变大,D错误.故选AC.
13.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”,现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数),
①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区的序号为　　　　.
【答案】 ①③
【解析】 由统计知识,①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,可知①符合题意;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24,当5个数据为19,20,27,27,27时可知其不满足“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”,所以不符合题意;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.若某一天的气温低于22℃,此时可取21℃,总体方差就大于10.8,所以满足题意.
14.(2025·江苏无锡模拟)某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次航空航天知识竞赛,满分100分(90分及以上为航空航天知识的认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组,第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.
(1)求x;
(2)从该市不同职业的群体中用分层随机抽样的方法依次抽取6人、42人、36人、24人、12人,分别记为1~5组,从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组的航空航天知识的认知程度.
【解】 (1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01×5=0.05,所以=0.05,所以x=120.
(2)①5个年龄组的平均数为=×(93+96+97+94+90)=94,
方差为=×[(93-94)2+(96-94)2+(97-94)2+(94-94)2+(90-94)2]=6,
5个职业组的平均数为=×(93+98+94+95+90)=94,
方差为=×[(93-94)2+(98-94)2+(94-94)2+(95-94)2+(90-94)2]=6.8,
②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更高.
15.(2025·宁夏银川模拟)滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一,对盐碱的治理方法,研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大,且能降低滨海盐碱地30~60 cm土壤层可溶性盐含量的技术,为了对比两种技术治理盐碱的效果,科研人员在同一区域采集了12个土壤样本,平均分成A,B两组,测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数=0.82,方差=0.029 3,B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数=0.83,方差=0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验,用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验,分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下:
A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为 和 ,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后,土壤可溶性盐含量是否有显著降低 (若 ->2,i=1,2,则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量,否则不认为有显著降低)
【解】 (1)=×(0.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74)=0.70,
=×[(0.66-0.70)2+(0.68-0.70)2+(0.69-0.70)2+(0.71-0.70)2+(0.72-0.70)2+(0.74-0.70)2]=
0.000 7,
=×(0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.54)=0.495,
=×[(0.46-0.495)2+(0.48-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.51-0.495)2+
(0.54-0.495)2]=0.000 625.
(2)当i=1时,|-|2=0.014 4,(2)2=0.02.因为0.014 4<0.02,所以|-|<2,所以应用技术1后,土壤可溶性盐含量没有显著降低;
当i=2时,|-|2≈0.112 2,(2)2≈0.113 6.因为0.112 2<0.113 6,所以|-|<2,所以应用技术2后,土壤可溶性盐含量没有显著降低.
故应用技术1和技术2后,土壤可溶性盐含量没有显著降低.第2节　用样本估计总体
基础练
1.(2025·山东菏泽模拟)有一组数据,按从小到大排列为1,2,x,8,9,10,这组数据的40%分位数等于他们的平均数,则x为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2025·湖北黄冈模拟)为了解高中生每天的体育活动时间,某市教育部门随机抽取1 000名高中生进行调查,把每天进行体育活动的时间按照时长(单位:min)分成6组:[30,40),
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90].然后整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这1 000名高中生每天体育活动时间的第25百分位数为(　　)
A.47.5 B.45.5
C.43.5 D.42.5
3.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本,个体m被抽到的概率是0.2
B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是
C.当总体由有明显差异的几部分构成时,可以采用分层随机抽样
D.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为9,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为81
4.(2025·广东肇庆模拟)某同学掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据5次的统计结果,可以判断一定没有出现点数6的是(　　)
A.中位数是3,众数是2
B.平均数是3,中位数是2
C.方差是2.4,平均数是2
D.平均数是3,众数是2
5.(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
6.(多选题)(2025·江西鹰潭模拟)下图为某地2015年至2024年的粮食年产量折线图,则下列说法正确的是(　　)
A.这10年粮食年产量的极差为16
B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C.这10年粮食年产量的平均数为33.7
D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
7.某次考试某题的得分情况如下:
得分 0 1 2 3 4
百分率/% 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中众数是　　　　.
8.某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成一组数据,这组数据的中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为　　　　.
9.(2025·安徽淮南模拟)某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s至18 s之间,将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的第70百分位数约为　　　　 s.
10.(2025·浙江杭州模拟)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位:kg),并绘制频率分布直方图如图.
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多,水果会变得不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能满足90%顾客的需求(在10天中,大约有9天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果
强化练
11.(多选题)在管理学研究中,有一种衡量个体领导力的模型,称为“五力模型”,即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图,其中每项能力分为三个等级,“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分,把分值称为能力指标,则下列判断正确的是(　　)
A.甲、乙的五项能力指标的均值相同
B.甲、乙的五项能力指标的方差相同
C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑,乙的领导力高于甲的领导力
D.如果从影响力、控制力、感召力考虑,甲的领导力高于乙的领导力
12.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)一组数据x1,x2,x3,…,x10满足xi-xi-1=2(2≤i≤10),若去掉x1,x10后组成一组新数据,则新数据与原数据相比(　　)
A.极差变小 B.平均数变大
C.方差变小 D.第25百分位数变小
13.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”,现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数),
①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区的序号为　　　　.
14.(2025·江苏无锡模拟)某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次航空航天知识竞赛,满分100分(90分及以上为航空航天知识的认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组,第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.
(1)求x;
(2)从该市不同职业的群体中用分层随机抽样的方法依次抽取6人、42人、36人、24人、12人,分别记为1~5组,从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组的航空航天知识的认知程度.
15.(2025·宁夏银川模拟)滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一,对盐碱的治理方法,研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大,且能降低滨海盐碱地30~60 cm土壤层可溶性盐含量的技术,为了对比两种技术治理盐碱的效果,科研人员在同一区域采集了12个土壤样本,平均分成A,B两组,测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数=0.82,方差=0.029 3,B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数=0.83,方差=0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验,用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验,分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下:
A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为 和 ,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后,土壤可溶性盐含量是否有显著降低 (若 ->2,i=1,2,则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量,否则不认为有显著降低)

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