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第10节　函数模型及其应用
基础练
1.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
【答案】 D
【解析】 散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似.故选D.
2.一般地,声音大小用声强级LI(单位:dB)表示,其计算公式为LI=10lg (),其中I为声强,单位为W/m2,若某种物体发出的声强为5-10W/m2,则其声强级约为(lg 2≈0.30)(　　 )
A.50 dB B.55 dB
C.60 dB D.70 dB
【答案】 A
【解析】 由已知得LI=10lg ()=10×(12-10lg 5)=10×(12-10lg )=10×(2+10lg 2)≈
10×(2+10×0.30)=50(dB).故选A.
3.(2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　)
A.3N2=2N1 B. 2N2=3N1
C.= D.=
【答案】 D
【解析】 由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D.
4.(2025·广东韶关模拟)某工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:m2)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是
10 000 m2,每平方米工程量收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是(　　)
A.10 000元 B.10 480元
C.10 816元 D.10 818元
【答案】 C
【解析】 设矩形场地的长为x m,则宽为m,W=(x+4)(+4)=4x++10 016≥
2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元).故选C.
5.(2025·浙江杭州模拟)某外来入侵植物生长迅速,繁殖能力强,大量繁殖会排挤本地植物,容易形成单一优势种群,导致原有植物种群的衰退甚至消失,使当地生态系统的物种多样性下降,从而破坏生态平衡.假如不加控制,它的总数量每经过一年就增长一倍,则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要(参考数据:lg 2≈0.301)(　　)
A.40年 B.30年 C.20年 D.10年
【答案】 C
【解析】 设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要x年,由题意知,1×2x=
1 000 000,即2x=106,所以x=log2106=6log210=≈≈20,即由入侵的1株变成100万株大约需要20年.故选C.
6.薯条作为一种油炸食品,风味是决定其接受程度的基础.某餐厅大厨对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图(1)),将油炸过程划分为五个阶段:初始、新鲜、最佳、降解和废弃阶段,以解释食物品质与油炸时间之间的
关系.
在特定条件下,薯条品质得分p与煎炸时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),图(2)记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳煎炸时间为(　　)
A.2.25 min B.2.75 min
C.3.25 min D.3.75 min
【答案】 C
【解析】 由题图(2)知解得a=-20,b=130,c=-130,
所以p=-20t2+130t-130,
所以当t=-=3.25时,p取得最大值.故选C.
7.如图所示,学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃,如果可供建造围墙的材料总长是60 m,要所建造的每个花圃的面积最大,则宽x应为　　　　m.
【答案】 10
【解析】 设每个花圃的面积为y,则y=x·=-x2+30x=-(x-10)2+150(08.某商场节日期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为　　　　元.
【答案】 1 120
【解析】 由题可知折扣金额y(单位:元)与购物总金额x(单位:元)之间的解析式为
y=
因为y=30>25,所以x>1 100,
所以0.1(x-1 100)+25=30,解得x=1 150,1 150-30=1 120,
故此人购物实际所付金额为1 120 元.
9.药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需的时间.在特定剂量范围内,时长t(单位:h)内药物在血液中浓度由p1(单位:μg/mL)降低到p2(单位:μg/mL),则药物的半衰期T=.已知某时刻测得药物甲、乙在血液中的浓度分别为36 μg/mL和54 μg/mL,经过一段时间后再次测得两种药物在血液中的浓度都为 24 μg/mL,设药物甲、乙的半衰期分别为T1,T2,则=　　　 　.
【答案】 2
【解析】 由题意得,====2.
10.(2025·河北唐山模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修,排气扇恢复正常.排气4 min后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4 min后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:min)之间存在函数关系y=c()mt(c,m为常数).
(1)求c,m的值;
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
【解】 (1)由题意可得
解得
(2)由题意可得128()≤0.5,所以()≤()8,即t≥8,解得t≥32.
故至少排气32 min,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
强化练
11.(多选题)小A在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线,为了解自己记忆一组单词的情况,小A记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位:天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.随着时间的增加,小A的单词记忆保持量降低
B.第一天小A的单词记忆保持量下降最多
C.9天后,小A的单词记忆保持量低于40%
D.26天后,小A的单词记忆保持量不足20%
【答案】 ABC
【解析】 函数y=-x+1及y=+在定义域内都为减函数,且-+1=+×=,故f(x)随着x的增加而减少,故A正确;结合图象及指数函数的性质可得第一天小A的单词记忆保持量下降最多,故B正确;当1,故D错误.故选ABC.
12.(多选题)土壤是自然界中较大的生态系统,具有十分重要的作用,利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作,若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中,重金属含量m(单位:mg/L)与时间t(单位:h)满足关系式m(t)=,已知处理1 h后,重金属含量减少20%,则(lg 2≈0.301)(　　)
A.a表示未经处理时土壤中的重金属含量
B.b的值为ln 0.8
C.使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2 h
D.函数m(t)为减函数
【答案】 AD
【解析】 当t=0时,m(t)=a,故a表示未经处理时土壤中的重金属含量,A正确;
当t=1时,(1-20%)a=ae-b,所以e-b=0.8,①
故-b=ln 0.8 b=-ln 0.8,B错误;
由(1-50%)a=ae-bt,得0.5=(e-b)t,②
联立①②得,0.5=0.8t,则t=log0.80.5====≈≈3.103,故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约3 h,C错误;由于b=-ln 0.8>0,所以y=ebt单调递增,又a>0,因此m(t)=单调递减,即m(t)为减函数,D正确.故选AD.
13.某人自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在节日期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多,则广告费用x应投　　　　万元,获得总利润为　　　　万元.
【答案】 3　17
【解析】 设此人获得的利润为f(x)万元,则x≥0,
则f(x)=8m-x=8(3-)-x=24--x=25-[+(x+1)]≤25-2=25-8=17,
当且仅当x+1=,且x≥0,即x=3时,等号成立.
所以广告费用x应投3万元,获得总利润为 17万元.
14.某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润率(利润/成本)低于10%,则该企业就考虑转型.下表显示的是某企业过去几年来年利润y(单位:百万元)与年投资成本x(单位:百万元)变化的一组数据:
年份 2019 2020 2021 2022 …
年投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下三个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系;
(2)试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型.
【解】 (1)将(3,1),(5,2)代入y=kx+b(k≠0),得解得得y=x-,
当x=9时,y=×9-=4,不符合题意;将(3,1),(5,2)代入y=abx,得解得
得y=·()x=,当x=9时,y==8,不符合题意;将(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b),
得解得得y=log2(x-1),
当x=9时,y=log28=3,
当x=17时,y=log216=4,故可用③来描述x,y之间的关系.
(2)由log2(x-1)=6,则x=65.因为此时年利润率为<10%,所以该企业要考虑转型.
15.(2025·浙江杭州模拟)企业经营一款节能环保产品,其成本由研发成本与生产成本两部分构成,生产成本固定为每台130元.根据市场调研,若该产品产量为x万台时,每万台产品的销售收入为I(x)万元.两者满足关系:I(x)=220-x(0(1)若甲企业独家经营,其研发成本为60万元,求甲企业能获得利润的最大值;
(2)若乙企业见有利可图,也经营该产品,其研发成本为40万元.问:乙企业产量多少万台时获得的利润最大 (假定甲企业按照原先最大利润生产,并未因乙的加入而改变)
(3)由于乙企业参与,甲企业将不能得到预期的最大收益,因此会做相应调整,之后乙企业也会随之做出调整,最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下,双方达到利润最大).求动态平衡时,两企业各自的产量和利润分别是多少.
【解】 (1)设甲企业产量为x万台,利润为P(x),
则P(x)=x·I(x)-(60+130x)=-x2+90x-60=-(x-45)2+1 965,
当x=45时,P(x)max=1 965,所以产量为45万台时,甲企业能获得利润的最大值为1 965万元.
(2)设乙企业产量为t万台,利润为p(t),此时甲依旧按照45万台产量生产.对于乙企业,每万台产品的销售收入为I(t+45)=220-(t+45)=175-t,
P(t)=t·I(t+45)-(40+130t)=-t2+45t-40=-(t-)2+,
所以乙企业产量为22.5万台时,获得利润最大.
(3)假设达到动态平衡时,甲企业产量为a万台,乙企业产量为b万台.
甲企业:P(a)=a·I(a+b)-(60+130a)=-a2+(90-b)a-60,当a=时,利润最大;
乙企业:P(b)=b·I(a+b)-(40+130b)=-b2+(90-a)b-40,当b=时,利润最大.
联立解得a=b=30时达到动态平衡.
此时利润分别为甲企业840万元,乙企业860万元.第10节　函数模型及其应用
基础练
1.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
2.一般地,声音大小用声强级LI(单位:dB)表示,其计算公式为LI=10lg (),其中I为声强,单位为W/m2,若某种物体发出的声强为5-10W/m2,则其声强级约为(lg 2≈0.30)(　　 )
A.50 dB B.55 dB
C.60 dB D.70 dB
3.(2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　)
A.3N2=2N1 B. 2N2=3N1
C.= D.=
4.(2025·广东韶关模拟)某工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:m2)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是
10 000 m2,每平方米工程量收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是(　　)
A.10 000元 B.10 480元
C.10 816元 D.10 818元
5.(2025·浙江杭州模拟)某外来入侵植物生长迅速,繁殖能力强,大量繁殖会排挤本地植物,容易形成单一优势种群,导致原有植物种群的衰退甚至消失,使当地生态系统的物种多样性下降,从而破坏生态平衡.假如不加控制,它的总数量每经过一年就增长一倍,则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要(参考数据:lg 2≈0.301)(　　)
A.40年 B.30年 C.20年 D.10年
6.薯条作为一种油炸食品,风味是决定其接受程度的基础.某餐厅大厨对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图(1)),将油炸过程划分为五个阶段:初始、新鲜、最佳、降解和废弃阶段,以解释食物品质与油炸时间之间的
关系.
在特定条件下,薯条品质得分p与煎炸时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),图(2)记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳煎炸时间为(　　)
A.2.25 min B.2.75 min
C.3.25 min D.3.75 min
7.如图所示,学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃,如果可供建造围墙的材料总长是60 m,要所建造的每个花圃的面积最大,则宽x应为　　　　m.
8.某商场节日期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为　　　　元.
9.药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需的时间.在特定剂量范围内,时长t(单位:h)内药物在血液中浓度由p1(单位:μg/mL)降低到p2(单位:μg/mL),则药物的半衰期T=.已知某时刻测得药物甲、乙在血液中的浓度分别为36 μg/mL和54 μg/mL,经过一段时间后再次测得两种药物在血液中的浓度都为 24 μg/mL,设药物甲、乙的半衰期分别为T1,T2,则=　　　 　.
10.(2025·河北唐山模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修,排气扇恢复正常.排气4 min后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4 min后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:min)之间存在函数关系y=c()mt(c,m为常数).
(1)求c,m的值;
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
强化练
11.(多选题)小A在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线,为了解自己记忆一组单词的情况,小A记录了随后一个月的有关数据,绘制图象,拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位:天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.随着时间的增加,小A的单词记忆保持量降低
B.第一天小A的单词记忆保持量下降最多
C.9天后,小A的单词记忆保持量低于40%
D.26天后,小A的单词记忆保持量不足20%
12.(多选题)土壤是自然界中较大的生态系统,具有十分重要的作用,利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作,若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中,重金属含量m(单位:mg/L)与时间t(单位:h)满足关系式m(t)=,已知处理1 h后,重金属含量减少20%,则(lg 2≈0.301)(　　)
A.a表示未经处理时土壤中的重金属含量
B.b的值为ln 0.8
C.使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2 h
D.函数m(t)为减函数
13.某人自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在节日期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多,则广告费用x应投　　　　万元,获得总利润为　　　　万元.
14.某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润率(利润/成本)低于10%,则该企业就考虑转型.下表显示的是某企业过去几年来年利润y(单位:百万元)与年投资成本x(单位:百万元)变化的一组数据:
年份 2019 2020 2021 2022 …
年投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下三个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系;
(2)试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型.
15.(2025·浙江杭州模拟)企业经营一款节能环保产品,其成本由研发成本与生产成本两部分构成,生产成本固定为每台130元.根据市场调研,若该产品产量为x万台时,每万台产品的销售收入为I(x)万元.两者满足关系:I(x)=220-x(0(1)若甲企业独家经营,其研发成本为60万元,求甲企业能获得利润的最大值;
(2)若乙企业见有利可图,也经营该产品,其研发成本为40万元.问:乙企业产量多少万台时获得的利润最大 (假定甲企业按照原先最大利润生产,并未因乙的加入而改变)
(3)由于乙企业参与,甲企业将不能得到预期的最大收益,因此会做相应调整,之后乙企业也会随之做出调整,最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下,双方达到利润最大).求动态平衡时,两企业各自的产量和利润分别是多少.

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