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第9节　函数与方程
基础练
1.对于函数y=ax2-x-2a,下列说法正确的是(　　)
A.当a=1时,函数的零点为(-1,0),(2,0)
B.函数一定有两个零点
C.函数可能无零点
D.函数的零点个数是1或2
2.函数f(x)=ln(2x)-的一个零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
3.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
5.若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
6.(2025·广东广州模拟)若x0是方程f(g(x))=g(f(x))的实数解,则称x0是函数y=f(x)与y=g(x)的“复合稳定点”.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不相同的“复合稳定点”,则a的取值范围为(　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(1,) D.(,+∞)
7.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=-(k>0)的零点个数为　　 　　.
9.(2025·江西鹰潭模拟)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2=　 .
10.已知函数f(x)=ax2+2ax+1,g(x)=4x+4.
(1)若f(1)=4,求函数f(x)-g(x)的零点;
(2)若f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,求a的取值范围.
强化练
11.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围为　　　　　　.
13.已知a,c∈R,函数f(x)=.
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)若函数f(x)的图象过点(1,2),且与x轴负半轴有两个不同的交点,求c的取值范围.
拓展练
14.已知函数f(x)=恰有两个零点,则实数λ的取值范围为　　　　　　.
15.已知函数f(x)=2x+,g(x)=mf(x)-f(2x)-3.
(1)解方程f(x)=4;
(2)若方程g(x)=4在[-1,1]上有4个实数解,求实数m的取值范围.第9节　函数与方程
基础练
1.对于函数y=ax2-x-2a,下列说法正确的是(　　)
A.当a=1时,函数的零点为(-1,0),(2,0)
B.函数一定有两个零点
C.函数可能无零点
D.函数的零点个数是1或2
【答案】 D
【解析】 函数的零点是y=0时对应的x值,而不是坐标,A错误;若a=0,则y=-x,显然只有一个零点,若a≠0,因为Δ=1+8a2>0,所以函数有两个零点,所以B,C错误,D正确.故选D.
2.函数f(x)=ln(2x)-的一个零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【答案】 B
【解析】 因为f(x)的定义域为(0,+∞),且y=ln(2x),y=-在(0,+∞)上均单调递增,可知f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4->0,所以函数f(x)的唯一一个零点所在的区间是(1,2).故选B.
3.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】当x≤0时,令f(x)=x2-2x-3=0,
得x=-1(x=3舍去);
当x>0时,令f(x)=0,得log2x=3x-4,
作出y=log2x与y=3x-4(x>0)的图象,如图所示,
由图可知,y=log2x与y=3x-4的图象有两个交点,
所以当x>0时,f(x)=0有两个零点.
综上,f(x)有3个零点.故选C.
4.函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意得,当x<1时,函数有一个零点x=;
当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=,要使函数有两个不同的零点,
则只需≥1,解得a≥2.故选C.
5.若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【答案】 A
【解析】 函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a则a-b<0,a-c<0,b-c<0,
因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,
即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.故选A.
6.(2025·广东广州模拟)若x0是方程f(g(x))=g(f(x))的实数解,则称x0是函数y=f(x)与y=g(x)的“复合稳定点”.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不相同的“复合稳定点”,则a的取值范围为(　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(1,) D.(,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”,所以a2x-2=2ax-2,即(ax)2-2a2ax+2a2=0有两个不相同的实数根,令t=ax(t>0),则t2-2a2t+2a2=0在(0,+∞)上有两个不相同的实数根,所以 a2>2 a>,则a的取值范围为(,+∞).故选D.
7.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (0,3)
【解析】 函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增,若一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)<0,
即(21--a)×(22--a)<0,解得08.(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=-(k>0)的零点个数为　　 　　.
【答案】 1
【解析】 由题意知f(x)=-(k>0)在(0,+∞)上单调递减,
当k=1时,f(1)=1-1=0,此时函数有1个零点;
当00,f(1)f(k)<0,此时函数在(k,1)上有唯一零点;
当k>1时,f(1)=k-1>0,f(k)=1-<0,f(1)f(k)<0,此时函数在(1,k)上有唯一零点.
综上可得函数f(x)=-(k>0)的零点个数为1.
9.(2025·江西鹰潭模拟)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2=　 .
【答案】 1
【解析】 由题意可得x1>0,x2>0,且x1,x2分别是函数y=ex,函数y=ln x与函数y=的图象的交点A,B的横坐标,所以A(x1,),B(x2,)两点关于y=x对称,则x1=,因此x1x2=1.
10.已知函数f(x)=ax2+2ax+1,g(x)=4x+4.
(1)若f(1)=4,求函数f(x)-g(x)的零点;
(2)若f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,求a的取值范围.
【解】 (1)若f(1)=4,则a+2a+1=4,解得a=1,所以f(x)=x2+2x+1,又g(x)=4x+4,
令f(x)-g(x)=0,得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,
即函数f(x)-g(x)的零点为3,-1.
(2)当a=0时,f(x)=1在区间(1,2)上没有零点,不符合题意;
当a≠0时,f(x)=ax2+2ax+1图象的对称轴为直线x=-1,所以f(x)在区间(1,2)上单调,所以要使f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,只需f(1)f(2)<0,即(a+2a+1)(4a+4a+1)<0,解得-所以a的取值范围为(-,-).
强化练
11.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】 C
【解析】 由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)=0,再由f(x+1)=f(x)可得函数周期为1,
则f(-1)=f(0)=f(1)=0,又f(x+1)=f(x),令x=-可得f()=f(-)=-f(),
所以f()=0,f(-)=0,f()=0,f(-)=0,所以f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为7.故选C.
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围为　　　　　　.
【答案】 (-3,0)
【解析】 函数f(x)=的图象如图所示.
由图可得x1=-k,x2·x3=k,故x1·x2·x3=-k2,k∈(0,3),所以x1·x2·x3∈(-3,0).
13.已知a,c∈R,函数f(x)=.
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)若函数f(x)的图象过点(1,2),且与x轴负半轴有两个不同的交点,求c的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)的定义域为(-∞,-a)∪(-a,+∞),且f(x)为奇函数,
所以-a=0,即a=0.
此时f(x)=,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)==-f(x),f(x)为奇函数,所以a=0.
(2)因为f(x)的图象过点(1,2),则=2,解得c=1+a.
令f(x)=0,得x2+ax+a+1=0.
因为函数f(x)与x轴负半轴有两个不同交点,
所以方程x2+ax+a+1=0有两个不相等的负根,
所以解得a>2+2.
所以c=1+a>3+2,
所以c的取值范围为(3+2,+∞).
拓展练
14.已知函数f(x)=恰有两个零点,则实数λ的取值范围为　　　　　　.
【答案】 [-1,2)∪[3,+∞)
【解析】 当x≤λ时,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3;
当x>λ时,令ln(x-1)=0,得x=2,
若f(x)的两个零点是-1和3,则
解得λ≥3,
若f(x)的两个零点是-1和2,则
解得-1≤λ<2,
若f(x)的两个零点是2和3,则
此不等式组无解.
综上所述,λ的取值范围为[-1,2)∪[3,+∞).
15.已知函数f(x)=2x+,g(x)=mf(x)-f(2x)-3.
(1)解方程f(x)=4;
(2)若方程g(x)=4在[-1,1]上有4个实数解,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由2x+=4,得22x-4·2x+1=0,解得2x=2+或2x=2-,
故x=log2(2+)或x=log2(2-).
(2)对任意的x∈R,f(-x)=2-x+=+2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,
由复合函数的单调性可知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增.
令t=2x+,x∈[-1,1],则t∈[2,],又t2=22x++2,22x+=t2-2,
于是g(x)=m(2x+)-(22x+)-3=4,即mt-(t2-2)-3=4,即t2-mt+5=0,
令φ(t)=t2-mt+5,由于t=2x+=2仅在x=0时取到,
所以方程g(x)=4在[-1,1]上有4个实数解,
即函数φ(t)在(2,]上有两个不相等的零点,所以
解得2因此,实数m的取值范围是(2,).

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