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第8节　函数的图象
基础练
1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点(　　)
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】 C
【解析】 因为y=lg =lg (x+3)-1,所以函数y=lg x的图象只需向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,即可以得到函数y=lg 的图象.故选C.
2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)可能是(　　)
A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)
B.y=-()x,x∈(0,+∞)
C.y=ln x
D.y=x-1,x∈(0,+∞)
【答案】 C
【解析】 根据指数函数、对数函数、幂函数和一次函数的图象特征.故选C.
3.已知函数f(x)=(a∈R)在R上没有零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪{0} B.(-∞,-1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
【答案】 A
【解析】 设 g(x)=g(x)的图象如图所示,
问题转化为函数g(x)与y=-a 的图象没有交点,所以-a=0或-a>1,解得a=0或a<-1.
故选A.
4.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　 )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【答案】 A
【解析】 设f(x)=,则f(1)=0,故排除B;
设h(x)=,当x∈(0,)时,0所以h(x)=<≤1,故排除C;
设g(x)=,则g(3)=>0,故排除D.故选A.
5.(2025·广西玉林模拟)已知图(1)对应的函数为y=f(x),则图(2)对应的函数是(　　)
A.y=f(-|x|) B.y=f(-x)
C.y=f(|x|) D.y=-f(-x)
【答案】 A
【解析】 根据函数图象知,当x≤0时,所求函数图象与已知函数相同,
当x>0时,所求函数图象与x<0时函数图象关于y轴对称,
即所求函数为偶函数且x≤0时与y=f(x)相同,故B,D不符合要求;
当x≤0时,y=f(-|x|)=f(x),y=f(|x|)=f(-x),故A符合要求,C不符合要求.故选A.
6.已知函数f(x)=sin x,g(x)=,若函数h(x)在[-π,π]上的大致图象如图所示,则h(x)的解析式可能是(　　)
A.h(x)=f(x)-g(x)
B.h(x)=f(x)+g(x)
C.h(x)=f(x)g(x)
D.h(x)=
【答案】 C
【解析】 易知f(x)=sin x为奇函数,由g(-x)==-=-g(x),得g(x)为奇函数,由图象可知,所求函数是偶函数,而f(x)±g(x)是奇函数,所以A,B不符合题意;因为当x=0时,y=无意义,所以D不符合题意.故选C.
7.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
【答案】 [-1,+∞)
【解析】如图,作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图象,观察图象可知,
当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此实数a的取值范围是[-1,+∞).
8.(2025·贵州贵阳模拟)设函数f(x)=则满足条件“方程f(x)=a有三个实数解”的实数a的一个值为　　　　.
【答案】 3(答案不唯一,只要满足a>2即可)
【解析】 当x>0时,f(x)=x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,函数y=x-在(-∞,0)上单调递增,且当x=-1时,y=0,
作出函数f(x)的大致图象如图所示,
由图象可知,要使方程f(x)=a有三个实数解,则需a>2,则符合题意的a的一个值为3.
9.已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1·x2·x3的取值范围是　　　　.
【答案】 (2,3)
【解析】 作出函数f(x)的图象.不妨设x1所以log2x1=-log2x2,即x1x2=1,x3∈(2,3),
所以x1·x2·x3的取值范围是(2,3).
10.已知函数f(x)=
(1)当a=-2时,在给定的坐标系中作出函数f(x)的图象,并写出它的单调递减区间;
(2)若a≥0,且f(x0)=2,求实数x0的值.
【解】 (1)当a=-2时,f(x)=的图象如图所示,
由图可知f(x)的单调递减区间为(-∞,0]和(0,1].
(2)依题意,当x0>0时,|log2x0|=2,即log2x0=±2,解得x0=4或x0=;
当x0≤0时,ax0+1=2,即ax0=1,由a≥0得方程无解.
综上所述,当a≥0时,x0=4或x0=.
强化练
11.(2025·湖北黄冈模拟)函数f(x)=ex--ln x2的图象大致为(　　)
A B
C D
【答案】 A
【解析】 f(x)=ex--ln x2=因为当x<0时,y=ex,y=-,y=-2ln (-x)都为增函数,所以y=ex--2ln(-x)在(-∞,0)上单调递增,故B,C错误;又因为f(-x)=e-x--ln x2≠
-f(x),所以f(x)不是奇函数,即其图象不关于原点对称,故D错误.故选A.
12.(多选题)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是(　　)
A.f(x+2)是偶函数
B.f(x+2)是奇函数
C.f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增
D.f(x)没有最小值
【答案】 AC
【解析】 f(x+2)=lg(|x|+1)为偶函数,A正确,B错误;作出f(x)的图象如图所示,可知f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,由图象可知f(x)存在最小值0,C正确,D错误.
故选AC.
13.(2025·山东济南模拟)若平面直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)的图象上;(2)点A,B关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作同一个“和谐点对”.已知函数f(x)=则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 B
【解析】作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分),看它与函数y=(x≥0)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即f(x)的“和谐点对”有2个.故选B.
14.已知函数f(x)=x+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)画出函数f(x)与g(x)=x的大致图象,判断两个函数图象是否相交及二者的位置关系的变化趋势如何,并说明理由.
【解】 (1)函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}.因为 x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
且f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),所以函数f(x)=x+为奇函数.
(2)函数f(x)与g(x)的大致图象如图所示,
函数f(x)与g(x)的图象没有交点.
在第一象限函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象的上方,且自左向右无限接近;在第三象限f(x)的图象始终在函数g(x)=x的图象的下方,且自右向左无限接近.理由如下:
令h(x)=f(x)-g(x)(x≠0),则h(x)=,当x>0时,h(x)>0,又函数h(x)=在区间(0,+∞)上单调递减,因此在第一象限函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象的上方,且自左向右无限接近;又h(x)=f(x)-g(x)(x≠0)为奇函数,同理可得两个函数图象在第三象限具有类似的位置关系.
15.已知函数f(x)=(x+1)|x-1|.
(1)将f(x)化为分段函数形式;
(2)若方程f(x)=x+m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围.
【解】 (1)f(x)=(x+1)|x-1|=
(2)在同一平面直角坐标系内作出y=f(x),y=x+m的图象,如图.
当直线与曲线f(x)=1-x2(x<1)相切时,联立方程组得x2+x+m-1=0,
Δ=1-4(m-1)=5-4m=0,解得m=,
方程f(x)=x+m有三个不同的实数解就是直线y=x+m与曲线y=f(x)有三个交点,
由图可知-1即实数m的取值范围为(-1,).第8节　函数的图象
基础练
1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点(　　)
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)可能是(　　)
A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)
B.y=-()x,x∈(0,+∞)
C.y=ln x
D.y=x-1,x∈(0,+∞)
3.已知函数f(x)=(a∈R)在R上没有零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪{0} B.(-∞,-1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
4.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　 )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
5.(2025·广西玉林模拟)已知图(1)对应的函数为y=f(x),则图(2)对应的函数是(　　)
A.y=f(-|x|) B.y=f(-x)
C.y=f(|x|) D.y=-f(-x)
6.已知函数f(x)=sin x,g(x)=,若函数h(x)在[-π,π]上的大致图象如图所示,则h(x)的解析式可能是(　　)
A.h(x)=f(x)-g(x)
B.h(x)=f(x)+g(x)
C.h(x)=f(x)g(x)
D.h(x)=
7.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
8.(2025·贵州贵阳模拟)设函数f(x)=则满足条件“方程f(x)=a有三个实数解”的实数a的一个值为　　　　.
9.已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1·x2·x3的取值范围是　　　　.
10.已知函数f(x)=
(1)当a=-2时,在给定的坐标系中作出函数f(x)的图象,并写出它的单调递减区间;
(2)若a≥0,且f(x0)=2,求实数x0的值.
强化练
11.(2025·湖北黄冈模拟)函数f(x)=ex--ln x2的图象大致为(　　)
A B
C D
12.(多选题)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是(　　)
A.f(x+2)是偶函数
B.f(x+2)是奇函数
C.f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增
D.f(x)没有最小值
13.(2025·山东济南模拟)若平面直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)的图象上;(2)点A,B关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作同一个“和谐点对”.已知函数f(x)=则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.已知函数f(x)=x+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)画出函数f(x)与g(x)=x的大致图象,判断两个函数图象是否相交及二者的位置关系的变化趋势如何,并说明理由.
15.已知函数f(x)=(x+1)|x-1|.
(1)将f(x)化为分段函数形式;
(2)若方程f(x)=x+m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围.

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