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2025-2026学年广东省深圳市建文外国语学校
九年级（上）诊断数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.方程的两根为、，则等于( )
A. B. 6 C. D. 3
3.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为( )
A. 且 B. 且 C. D.
4.如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为，则根据题意可列出方程( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，若，则BD等于( )
A. 6
B. 8
C. 16
D. 4
6.如图，在中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且，下列四个判断中，不正确的是( )
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分，那么四边形AEDF是菱形
D. 如果且，那么四边形AEDF是正方形
7.如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，，则线段AB的长是( )
A. 8 B. C. D. 10
8.如图，在菱形ABCD中，，，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则的最小值是( )
A. 2
B. 4
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.方程的解为： .
10.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是______.
11.若方程是关于x的一元二次方程，则_____.
12.若，则 .
13.如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边刚好经过点B，连接，若，，则 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题8分
用适当的方法解方程：
15.本小题7分
下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：二次项系数化为1，得……第一步
配方，得，……第二步
，……第三步
……第四步
由此可得……第五步
解得……第六步
任务一：填空：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______；
②第______步开始出现错误，错误的原因是______.
任务二：请你写出该方程的正确求解过程.
16.本小题8分
如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：
若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
能围成面积为200平方米的鸡场吗？
17.本小题8分
甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
18.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、
求证：四边形BPEQ是菱形；
若，F为AB的中点，，求PQ的长．
19.本小题10分
阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值.
例：求多项式的最小值.
解：因为，所以当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
【理解探究】已知代数式，求A的最小值；
【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由；
【拓展升华】如图，中，，，，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？
20.本小题12分
如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且，点P在射线BC上点P不与点F重合将线段EP绕点E顺时针旋转得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点
如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为______.
如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
正方形ABCD的边长为6，，，请直接写出线段BP的长．
答案
1.A
2.C
3.A
4.D
5.B
6.D
7.A
8.C
9.或
10.
11.2
12.5
13.
14.解：，
，
或，
解得，；
，
，
，即，
或，
解得，
15.解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：配方法；完全平方公式；
②第二步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上；
故答案为：二，等式的右边没有加上；
任务二：移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
，
由此可得，
所以，，
16.解：设与墙垂直的一边长为x米，则平行的一边为则米，
根据题意，得：，
解得：，不合题意舍去，
长为15米，宽为10米；
设与墙平行的一边长为x米，
则垂直的一边为米，
根据题意，得：，
整理得：
此方程无实数根，
不能围城面积为鸡场．
17.解：设这种商品平均降价率是x，依题意得：，
解得：，舍去；
答：这个降价率为；
设降价y元，则多销售件，
根据题意得，
解得：舍去或，
所以元
答：该商品在应定价为32元．
18.证明：垂直平分BE，，
四边形ABCD是矩形，，，
在与中，
≌，
，四边形BPEQ是平行四边形，
，四边形BPEQ是菱形.
，F分别为PQ，AB的中点，
，
设，则，
在中，，
解得，，
设，则，，
在中，，解得，
由四边形PBQE是菱形，可得，
在中，，
19.解：由题意得，，
又，
，
即A的最小值为
由题意得，，
又，
，
，
由题意得：，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为
20.解：，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，
由旋转的性质得，，
，
，
，，
，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即；
故答案为；
见答案；
分两种情况：
①当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，如下图所示：
由可知：，
，
，，
，
；
②当点P在线段BC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示：
同可得≌，
，
，
，
；
综上所述，线段BP的长为3或

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