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2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级第一学月考试试题
数学试题
（考试时间：120分钟 满分120分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
4．（本题3分）已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（ ）
A．-5 B．-3 C．-7 D．7
5．（本题3分）已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（ ）
A．20 B．18 C．15 D．18或20
6．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（本题3分）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
9．（本题3分）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( )
A． B．
C． D．
10．（本题3分）函数与的图象在同一坐标系下可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程无实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（共12分）
13．（本题3分）二次函数图象的开口方向是 （填写“向上”或“向下”）．
14．（本题3分）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
15．（本题3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 ．
16．（本题3分）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题6分）计算：．
18．（本题6分）解方程：．
19．（本题6分）计算：．
20．（本题7分）如图，已知．求证：．
21．（本题7分）已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围．
22．（本题8分）祁阳市唐家山油茶文化园景区在2021年十一黄金周期间，接待游客2万人次，2023年十一黄金周期间，接待游客达万人次．
(1)请求出2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率；
(2)按此年平均增长率，请你预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客的人次．
23．（本题8分）已知关于的方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值．
24．（本题12分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价为200元/台，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，月销售量就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
(1)求出月销售量y（单位：台）与售价x（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润W（单位：元）最大？最大利润是多少？
25．（本题12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
(4)在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B A B A C C B
题号 11 12
答案 A D
13．向上
14．
15．100（1+x）2=169
16．1或4
17．解：
．
18．解：∵，
∴，
∴或，
解得．
或解：，，，
，．
19．解；原式=．
20．证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
21．（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1，
将点（-1，-8）代入上式得：-8=a（-1-2）2+1，
解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3；
（2）令y=-x2+4x-3=0，解得：x=1或3，令x=0，则y=-3
故抛物线与坐标轴的交点坐标为：（1，0）、（3，0）、（0，-3）；
（3）当时，y=-x2+4x-3解得－3＜y，
当时，y=-x2+4x-3解得y≤1．
故自变量x的取值范围是时，－3＜y≤1．
22．（1）解：设2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率为；
（2）根据题意得：（万人次）．
答：按此年平均增长率，预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客约万人次．
23．（1），
∵方程有两个不相等的实数根，
；
（2）由题意得：
，
,
解得：或
，
．
24．（1）解：根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：．
∴售价x的范围为：，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：，
．
∵在内，
∴当时，最大值为121000，
即售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元
25．（1）∵抛物线经过点A，点C，且,
∴,
∴将其分别代入抛物线解析式，得，
解得．
故此抛物线的函数表达式为：；
（2）设直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设N的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，为，
把代入抛物线得，N的坐标为，
当N的坐标为，MN有最大值；
（3）①当以为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，
∴必过，
∴L必在抛物线上的顶点D处，
∵，
∴
②当以为边时，，
∵K在对称轴上，
∴L的横坐标为3或，
代入抛物线得或，此时K都为，
综上，或或；
（4）存在，
由，得抛物线顶点坐标为
∵，
∴，
设，则，，
①为斜边，由得：，
解得：，
②为斜边，由得：，
解得：，
③为斜边，由得：，
解得：或，
∴点E的坐标为或或或．
答案第1页，共2页

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