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第十五章轴对称考点训练
考点1 轴对称图形和轴对称的性质
1.[2024 黑龙江哈尔滨道外区期末]下列图形中对称轴最多的是( )
2.[2025 山东青岛城阳区月考]如图,在△ABC中,点D 在边AB上,点A 关于直线 CD 的对称点E在 BC 上.若AB=7,AC=9,BC=12,则△DBE的周长为 .
3.[2025 湖南衡阳月考]下列图形是轴对称图形吗 若是，对称轴有几条 并画出它们的所有对称轴.
4.[2025 黑龙江大庆月考]如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点M,N分别是∠AOB 两边上的点，点 P 关于OA 的对称点 Q 落在线段MN上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在MN的延长线上.若MN=a,QR=b,其中a考点2 线段的垂直平分线
5.[2025贵州毕节月考]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,O是AD上一点,且OB=OC.若BC=4,则BD的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.[2024山东青岛期末]如图,在△ABC 中,∠A=52°,∠ACB 的平分线 CF 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 O,连接 OB.若∠ABO=20°,则∠ACB= .
7.[2025福建厦门思明区月考]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)作线段 BC 的垂直平分线,交斜边 AB 于点 M,交 BC 于点N(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)[中]在(1)的条件下,若CM=2,求AB的长.
考点3 命题
8.[2025河北石家庄裕华区月考]下列命题:①若a>b+1,则a>b;②若 ab=0,则a=0或b=0;③若a=b,则|a|=|b|;④若a>b,则 其逆命题是真命题的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.[2025 湖北孝感月考]命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是 .
考点4 画轴对称图形
10.[2025 山东临沂月考]作已知点关于某直线的对称点的第一步是 ( )
A.过已知点作一条直线与已知直线相交
B.过已知点作一条直线与已知直线垂直
C.过已知点作一条直线与已知直线平行
D.不确定
11.[2025 广东梅州月考]如图所示，在平面直角坐标系中，点P(0,2)关于M(1,0)的对称点 Q 的坐标为 ( )
A.(0,-2) B.(1,-2) C.(2,-2) D.(2,2)
12.[2025 江苏盐城月考]如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.(画出四种)
13.[2025 吉林长春月考]如图,已知 的三个顶点分别为A(-2,4),B(-3,2),C(-1,1).
(1)作出 关于y轴对称的 再将 先向右平移1 个单位长度，再向下平移4 个单位长度作出 ，并写出 的坐标.
(2)写出任意一点 P(x，y)按照(1)中的方式先对称再平移后对应点的坐标.
考点5 等腰三角形的性质与判定
14.[2025河南驻马店月考]如图，在 中， 6,AB=8,过点A作DE∥BC,与 的平分线分别交于点 E,D,则DE的长为 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
15.[2025 山东烟台期中]如图，图中等腰三角形的个数为
16.[2024广西贵港覃塘区期中]如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,BC上,且BD=DE=EA=AC.若 ,则∠DEA的度数为 .
17.[2025 湖南邵阳月考]如图,在 中，AC=BC,,点 F 为AB的中点,边AC的垂直平分线分别交AC,CF,CB 于点 D,O,E,连接OB.
(1)求证: 为等腰三角形；
(2)若 求 的度数.
18.[2025 山东菏泽月考]如图, 中， 点D在边AB上， 于F,交BC于点 E.
(1)求证:
(2)[中]求证:AE=DC.
考点6 等边三角形的性质与判定
19.[2025 贵州六盘水二模]已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D 作BC边的平行线交AC 于E点，则DE的长是 ( )
B.1 C.2 D.4
20.[2025河北保定月考]如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC 沿 BC 所在直线向右平移得到 连接A'C.若BB'=2,则线段A'C的长为 .
21.如图，等边 中，点P 在 内，点Q在 外，且 ，则△APQ 是什么形状的三角形 证明你的结论.
考点7 含 30°角的直角三角形的性质
22.[2024 北京西城区期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点 D,DE∥BC交AC 于点E.如果BD=2,那么DE= .
23.[2025辽宁盘锦月考,中]如图,在△ABC中,∠C=60°,AD 是BC边上的高，点 E 为AD的中点，连接BE 并延长交AC 于点F.若∠AFB=90°,EF=2,求BF 的长.
1. B【解析】A选项的图形一共有4条对称轴，B选项的图形有无数条对称轴，C选项的图形有3条对称轴，D选项的图形有2条对称轴，故选B.
2.10 【解析】∵点A 与点E关于直线CD对称,∴AD=DE,AC=CE.∵AB=7,AC=9,BC=12,∴△DBE的周长为BD+DE+BE=BD+AD+BC-EC=AB+BC-AC=7+12-9=10.故答案为10.
3.【解】所给图形都是轴对称图形.对称轴如图所示：
图(1)有1条对称轴，图(2)有4条对称轴，图(3)有2条对称轴，图(4)有1条对称轴.
4.【解】∵ 点 P 关于 OA 的对称点 Q 落在线段 MN上,点 P 关于OB 的对称点R 落在 MN 的延长线上,∴ RN=PN,MQ =MP,∴ PN-PM=RN-MQ=(RN+NQ)-(MQ+NQ)=QR-MN=b-a.
5. B 【解析】∵AB=AC,OB=OC,∴AO 所在直线,即直线AD 是线段 BC的垂直平分线，. 故选 B.
6.72°【解析】∵ OE 垂直平分BC,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵ CF平分∠ACB,∴ ∠ACF =∠OCB.∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴ ∠A+∠ABO+3∠ACF= 180°. ∵ ∠A = 52°,∠ABO = 20°, ∴ ∠ACF = 36°, .故答案为
7.【解】(1)如图，MN即为所求作的垂直平分线.
(2)如图.∵ M 在 BC 的垂直平分线上,. ∵在 中,∠ : .
8. A 【解析】“若a>b+1,则a>b"的逆命题是“若a>b,则a>b+1”,逆命题是假命题；“若ab=0,则a=0或b=0"'的逆命题是“若a=0或b=0,则ab=0",，逆命题是真命题；“若a=b,则 的逆命题是“若 |b|,则a=b",，逆命题是假命题；“若a>b,则 的逆命题是“若 b ，则a>b”，逆命题是假命题.∴逆命题是真命题的有1个，故选 A.
9.面积相等的两个图形是全等图形(或如果两个图形面积相等，那么它们是全等图形)
如果不明确题设和结论，可以先把题干中的命题写成“如果……那么……”的形式，再把结论改为题设，题设改为结论.
10. B
11. C 【解析】∵ 点 P 和点 Q 关于点 M 对称, 又∵点P 坐标为(0,2),点 M 坐标为(1,0),. 2=-2,∴点Q 的坐标是(2,-2).故选C.
12.【解】如图所示.
13.【解】(1)如图, 和 为所作，点 的坐标为(3,0),点 的坐标为(4,-2),点 的坐标为(2,-3).
(2)点P(x，y)按照(1)中的方式先对称再平移后对应点的坐标为(-x+1,y-4).
14. A 【解析】∵ DE∥BC,∴∠E=∠EBC.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠EBC,∴∠E=∠ABE,∴AB=AE.同理可得AD=AC,∴DE=AD+AE=AC+AB=14. 故选 A.
15.5 【解析】∵∠ACB=∠DBC=36°,∴∠AOB=∠DOC=∠ACB+∠DBC=72°. ∵ ∠A = ∠D =72°,∴ ∠ABC = ∠DCB = 180°-36°-72°= 72°,∴∠ABD=∠DCA=180°-72°-72°=36°,∴∠A=∠AOB,∠A=∠ABC,∠OBC=∠OCB,∠D=∠DOC,∠D=∠DCB,∴△ABO,△ABC,△OBC,△DCO,△DBC 都是等腰三角形,故答案为5.
16.80°【解析】设∠ ,∴∠B=∠BED=x.∵∠ADE 是△BDE 的一个外角,∴∠ADE=∠B+∠BED=2x.∵ ED=EA,∴ ∠ADE=∠DAE=2x.∵∠AEC 是△ABE 的一个外角,∴ ∠AEC=∠B+∠DAE=x+2x=3x,∴ 3x=75°,∴x=25°,
，故答案为
17.(1)【证明】连接 ,点 F为AB的中点,∴ ∴ CF 垂直平分 AB,∴ OA=OB.∵DE 垂直平分 AC, .△OBC为等腰三角形.
(2)【解】∵ ∴ CF平分 OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=23°.∵ ∠EDC=90°,∴∠DEC=90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°. ∵∠OEC=∠OBE+∠BOE,..∠BOE=44°-
18.【证明】(1) 过点 C 作 CM ⊥AD 于 M,如图.CM⊥AD,DC=AC,∴CM平分∠ACD,∴∠ACM= ∠BAE = 90°, ∠ADC +∠DCM = 90°,..∠BAE = 即∠ACD=2∠BAE.
(2)∵CM⊥AD,∠B=45°,∴∠BCM=45°,..∠ACB=∠ACM+∠BCM=45°+∠ACM.由(1)知∠DCM=∠ACM=∠BAE,∴∠ACB=45°+∠BAE.又∵. C.∵AC=DC,∴AE=DC.
19. C 【解析】如图,∵ △ABC 是等边三角形,△ABC 的周长为12,∴∠A=∠B=∠ACB=60°,AB=BC=CA=4.∵ DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=60°,∠ADE=∠B=60°,∴ △ADE 是等边三角形,∴AD=DE.∵D 是AB 的中点，. 故选 C.
20.4 【解析】由平移得A'B'=AB=4,∠A'B'C=∠B=60°.∵ BC=6,BB'= 是等边三角形，. 故答案为4.
21.【解】△APQ 为等边三角形.证明如下:∵ △ABC 为等边三角形,.∠BAC= 60°,AB = AC. 在 △ABP 与 △ACQ 中, .△ABP≌△ACQ(SAS),.. AP= AQ,∠BAP =∠CAQ. ∵ ∠BAC =∠BAP+∠PAC=60°,. ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,..△APQ 是等边三角形.
22.3 【解析】∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,AB=2BC.∵ CD⊥AB,∠A=∠DCB=30°,∴BC=2BD=4,∴AB=2BC=8,.. AD=AB-BD=8-2=6. ∵∠ACB=90°,DE∥BC,∴∠AED=∠ACB =90°.∵ ∠A=30°, 故答案为3.
23.【解】∵ 在△ABC 中,∠C=60°,AD 是 BC 边上的高,∴ ∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°.∵∠AFB=90°,EF=2,∴ AE=2EF=4.∵ 点 E 为AD 的中点,∵ DE =AE =4. ∵ ∠C=60°,∠BFC=180°-90°= 90°,.∠EBD=30°.又∵AD⊥BC,∴BE=2DE=8,∴BF=BE+EF=8+2=10.

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