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带电粒子在有界匀强磁场中的
运动
题型一 带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.基本思路：定圆心 画轨迹 找几何关系 算半径 代入规律.
2.具体方法
(1)两种方法定圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示).
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入
射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就
是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示).
(2)几何知识求半径
利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下
几个重要的几何特点：
①粒子速度的偏向角等于圆心角，并等于
弦与切线的夹角(弦切角 )
的2倍(如图丙所示)，即 .
②直角三角形的应用(勾股定理)找到的中点 ，
连接，则、 都是直角三角形.
(3)两个观点算时间
观点一：由运动弧长计算，( 为弧长).
观点二：由旋转角度计算，(或 )
考向一 直线边界问题
注意：进出直线边界磁场具有对称性.
例1 (多选)[2024·河北石家庄二中模拟] 如图所示，竖
直线 右边的空间存在范围无限大且垂直纸面向里的有
界匀强磁场，带有同种电荷的粒子和 粒子同时从匀
强磁场的边界上的点分别以与边界的夹角为 和
射入磁场，两粒子又恰好同时到达 点.不计粒子重
力和粒子间的相互作用，则( )
A.、两粒子的运动轨迹半径之比为
B.、两粒子的运动轨迹半径之比为
C.、两粒子的初速度大小之比为
D.、两粒子的比荷之比为
√
√
[解析] 设，由题图可知， 粒子在磁场中运动轨
迹半径，运动轨迹所对应的圆心角为 ，运动
轨迹弧长， 粒子在磁场中运动轨迹的半径
，所对应的圆心角为 ，运动轨迹弧长
，所以、两粒子运动半径之比为, 正
确，B错误；因运动时间，而，则、 粒
子的初速度大小之比为，C错误；根据，得 ，故
、粒子的比荷之比为 ，D正确.
考向二 平行边界问题
注意：平行边界存在临界条件.
例2 [2024·广东惠州模拟] 如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比
荷相同的带电粒子和依次从 点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转
后从右边界射出，带电粒子和 射出磁场时速度方向与磁场右边界的夹角
分别为 和 .不计粒子的重力，下列判断正确的是( )
A.粒子带负电，粒子 带正电
B.粒子和在磁场中运动的半径之比为
C.粒子和在磁场中运动的速率之比为
D.粒子和在磁场中运动的时间之比为
√
[解析] 粒子向上偏转，由左手定则可判断，粒子 带正电，而粒子向下偏转，则粒子 带负电，故A错误；如图所示，由几何关系可知，磁场宽度 ，解得 ，故B正确；由，可得 ，比荷相同，磁场相同，则 ，故C错误；粒子运动的周期，则， 运动的时间， 运动的时间，故 ，故D错误.
考向三 圆形边界问题
1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性
(如图甲所示).
粒子做圆周运动的半径 .
粒子在磁场中运动的时间，
其中 .
2.不沿径向射入圆形磁场的粒子进磁场的速度方向与半径的夹角为 ，根
据对称性，出磁场时速度方向与半径的夹角也为 ，如图乙所示.
例3 [2024·湖北卷] 如图所示，在以点为圆心、半径为
的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为 .圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大
A.粒子的运动轨迹可能经过 点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由点沿方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从点射入到从 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大
小为
的匀强磁场.一质量为、电荷量为的带电粒子沿直
径方向从 点射入圆形区域.不计重力，下列说法正确的是( )
√
[解析] 根据磁场圆和轨迹圆相交形成的圆形具有对称性可知，在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子总是沿径向射出，所以粒子的运动轨
迹不可能经过点，故A、B错误；粒子连续两次由点沿 方向射入圆形区域的时间间隔最短对应的轨迹如图甲所示，则最小时间间隔为
，故C错误；
粒子从点射入到从 点射出圆形区域用时最短对应的轨迹如图乙所示，设粒子在磁场中运动的半径为 ，根据几何关系可知，根据洛伦兹力提供向心力有，解得 ，故D正确.
例4 (多选)[2023·全国甲卷] 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强
磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以 为圆心的圆，如图所示.
一带电粒子从点沿 射入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞
前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向
的分量大小不变、方向相反,电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是
( )
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心
B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与
圆心 的连线
√
√
[解析] 粒子入射方向为 方向,则与筒壁发生碰撞时的速
度方向一定沿圆筒横截面的半径方向向外,根据题意可知,
每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心
的连线,故D正确;假设粒子运动过程过点,则过 点的速度
方向的垂线和 连线的中垂线是平行的，因而不能确定粒
子运动轨迹的圆心,由对称性可知,撞击筒壁后瞬间的速度方向的垂线和碰
撞点与圆心 连线的中垂线依旧平行，因而不能确定粒子运动轨迹的圆心,
所以假设不成立，说明粒子的运动轨迹不可能过 点,A错误;
由题可知粒子在磁场中全部运动轨迹的圆心连接成的多边形是以筒壁为内接圆的多边形,最少应为三角形，如图所示,即最少碰撞两次,B正确; 速度越大，则粒子做圆周运动的半径越大,碰撞次数可能会增多,粒子在圆内运动时间不一定变短,C错误.
例5 [2024·山东济南模拟] 如图所示，圆形区域内有一垂
直于纸面的匀强磁场， 为磁场边界上的一点.现有无数个
相同的带电粒子在纸面内沿各个不同方向以相同的速率通
过 点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于磁场边界
的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的 .若将磁感应
强度的大小从原来的变为 ，相应的弧长将变为原来的一半，则这些带电粒子在前后两种磁场中运动的周期之比 等于( )
A.2 B. C.3 D.
√
[解析] 设磁场圆的半径为，磁感应强度为时，从 点
射入的粒子与磁场边界的最远交点为 ，最远的点是直径
与磁场边界圆的交点， ，如图所示，设粒
子做圆周运动的半径为，则，解得 ，
磁感应强度为时，从点射入的粒子与磁场边界的最远交点为 ，最远
的点是直径与磁场边界圆的交点， ，设粒子做圆周运动的半
径为，则，解得 ，带电粒子在磁场中做匀速圆周
运动，由圆周运动公式得，则 ，选项D正确.
考向四 多边形或角形边界问题
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解
答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入.
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出.
①当 时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距
离为 ，如图甲所示.
②当 时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个
边界相切，如图乙所示.
例6 (多选)[2024·河南郑州模拟] 如图所示， 为直角三角形，
， ，，为的中点. 中存在垂直于纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在 点放置一粒子源，可以向
各个方向发射质量为、电荷量为、速度大小均为 的粒子.不计
粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正
确的是( )
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.与成 角入射的粒子将从 边射出
C.在边界上有粒子射出的区域长度为
D.所有从 边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
√
√
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
，解得粒子在磁场中运动的半径为 ，故A正确；
如图甲所示，当粒子恰好从点射出时，根据几何关系可得粒子与成
角入射，所以与成 角入射的粒子将从 边射出，故B正确；
如图乙所示，根据几何关系可知沿方向入射的粒子将恰好从 点射出，
结合上面B项分析可知为边界上有粒子射出的区域，其长度为 ，故C正确；所有粒子在磁场中运动的周期均相同，设为 ，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为 ，则粒子运动时间为 ，由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆弧，从射出的粒子，其轨迹所截 的长度不同，对应转过的圆心角不同，所
以所有从 边界射出的粒子在磁
场中运动的时间不等，故D错误.
例7 [2024·湖南长沙模拟] 如图所示，正六边形区
域内存在垂直纸面向里的匀强磁场.一带正电粒子以
速度从点沿方向射入磁场，从 点离开磁场；
若该粒子以速度从点沿方向射入磁场，则从
点离开磁场.不计粒子重力，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 带正电粒子以速度从点沿 方向射入磁
场，从点离开磁场，设六边形的边长为 ，则由几
何关系得，若该粒子以速度从点沿
方向射入磁场，则从 点离开磁场，则由几何关系
得 ，由洛伦兹力提供向心力得，
则 ，故速度之比即半径之比， ，故C正确.
题型二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
两种思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规
律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特
殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过
临界条件求出临界值
两种方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件
求极值；(3)利用矢量图求极值
数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次函数的判
别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；
(4)用图像法求极值
从关键词找 突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞” “不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓 住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件 续表
例8 [2024·四川成都模拟] 如图所示，竖直平行边界 、
之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，
两边界间距为，边界上 点有一粒子源，可沿纸面内
任意方向射出完全相同的质量为、电荷量为 的带正电
的粒子，粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子
的重力及粒子间的相互作用，求：
(1) 从 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间；
[答案]
[解析] 由于粒子的速率相同，故粒子在磁场中做圆周运动的半径相同有
代入数据，解得
要使粒子在磁场中运动的时间最短，则弦应最短，即从
点( 垂直边界)射出的粒子运动时间最短，如图甲所示.
设圆心在位置，则粒子在磁场中运动的圆心角为
粒子做圆周运动的周期为
故最短时间为
例8 [2024·四川成都模拟] 如图所示，竖直平行边界 、
之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，
两边界间距为，边界上 点有一粒子源，可沿纸面内
任意方向射出完全相同的质量为、电荷量为 的带正电
的粒子，粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子
的重力及粒子间的相互作用，求：
(2) 粒子能从 边界射出的区域长度.
[答案]
[解析] 当粒子的速度方向沿 方向时，设粒子的轨迹与边
界交于点；当粒子的速度方向垂直于 时，设粒子的轨
迹与边界相切于点.则、间距为粒子从 边界射出的
区域长度，如图乙所示
轨迹过点时，圆心在点，则有
轨迹与相切于点时，圆心在点，有
故粒子从边界射出的区域长度为
变式 [2024·湖北襄阳模拟] 如图所示，在直角三角形 区域内存在垂
直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为， 点处的粒子源可
向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子.已知带电粒子的质量为 ，电荷
量为，速率均为，长为且 ，忽略粒子的重力
及相互间的作用力.下列说法正确的是( )
A.自边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.自边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C.边上有粒子到达区域的长度为
D.边上有粒子到达区域的长度为
√
[解析] 根据解得，自 边射出的粒子在磁
场中运动的时间最短的轨迹交于 点，圆弧所对应的圆心
角为 ，自 边射出的粒子在磁场中运动的时间最长的轨
迹交于点，交于点，因为自 边射出的粒子在磁
场中运动的时间最长时，粒子会从 点射出，所以圆弧所对应
的圆心角为 ，如图所示，根据解得 ，联立
可得， ，故A、B错误；
边上有粒子到达区域的长度为、 之间的距离，由几何
关系可得 ，故C
正确；边上有粒子到达区域的长度为、 之间的距离，由
几何关系可得 ，故D错误.
技法点拨
临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当速度 一定时，弧长(或劣弧的弦长)越长，则轨迹对应的圆心角越大，
带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速率 变化时，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，且入射
点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大
(所有的弦长中直径最长).
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问
题形成多解.多解的形成原因一般包含4个方面：
多解成因 分析及图例
带电粒子 的电性不 确定 比荷相同的带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同
的初速度下，电性不同的粒子在有界磁场中运动轨迹不同，形
成多解
如图所示，带电粒子以速度 垂直进入
匀强磁场，若带正电，则其轨迹为；
若带负电，则其轨迹为
多解成因 分析及图例
磁场的方 向不确定 只知道磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，
此时由于磁感应强度方向不确定而形成多解
如图所示，带正电粒子以速度 垂直进入匀强磁场，若磁场方
向垂直于纸面向里，则其轨迹为 ；若磁场方向垂直于纸面向
外，则其轨迹为
_______________________________________________
续表
多解成因 分析及图例
临界状态 不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨
迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，
也可能转过 从入射界面反向飞出，
于是形成多解，如图所示
续表
多解成因 分析及图例
运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往
具有周期性，因而形成多解，如图所示
___________________________________________________
续表
例9 (多选)如图所示，在边长为的正方形 区域内存在垂直于纸面向
外、磁感应强度大小为的匀强磁场，在 边界放一刚性挡板，粒子碰到
挡板则能够以原速率弹回.一质量为、带电荷量为 的粒子以某一速度垂直
于磁场方向从点射入磁场，恰好从 点射出.下列说法正确的是 ( )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D.带电粒子在磁场中运动的时间可能为
√
√
[解析] 若粒子带正电，则粒子可以与挡板碰撞后恰好从 点射出，粒
子运动的轨迹如图甲所示，设轨迹半径为 ，由几何关系得
，解得，根据牛顿第二定律得 ，
解得，根据动量定理得
，故A错误，C正确；
若粒子带负电，则当粒子的运动轨迹如图乙所示时，轨迹半径最小，速度也最小，粒子做圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得 ，解得 ，故B错误；若粒子带负电，则当粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为时，粒子在磁场中运动
的时间为 ，故D正确.
例10 (多选)[2024·江西南昌模拟] 如图所示，在
等腰梯形 区域内(包含边界)存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，边长
A. B. C. D.
，.一质量为、电荷量为的带正电粒子，从 点
沿着方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从 边射出
磁场区域，粒子的速率可能为( )
√
√
[解析] 粒子不从边射出，其临界分别是从 点
和点射出，其临界轨迹如图所示，当粒子从 点
飞出时，由几何关系有 ，当粒子从
点飞出时，由几何关系有 ，粒子在磁
场中由洛伦兹力提供向心力，有 ，整理有，
所以综上所述，有或 ，解得或 ，故选A、C.
例11 (多选)[2022·湖北卷] 在如图所示的平面内,分界线
将宽度为 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于
纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小均为， 与磁场左右边界垂直.
A.， B.， C.， D.，
离子源从 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直
且与成 角.已知离子比荷为，不计重力. 若离子从 点射出，设出射
方向与入射方向的夹角为 ,则离子的入射速度和对应 角的可能组合为
( )
√
√
[解析] 离子穿过把分成等份，每一等份长 ，如图所示，离子做圆
周运动的半径,由半径公式,可得速度，当 为奇数
时，偏角 ，当为偶数时，偏角 ，选项B、C正确.
带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示，在竖直线 右侧足够大的区域内存
在着磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向里的匀强磁
场.质量相同、电荷量分别为和的带电粒子从 点沿
纸面以相同的初速度 先后射入磁场，已知初速度方向与
成 角，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作
用，则( )
A.两带电粒子回到竖直线时到 点的距离相等
B.两带电粒子回到 竖直线时的速度相同
C.两带电粒子在磁场中运动的时间相等
D.从射入到射出磁场的过程中，两带电粒子所受洛伦兹
力的冲量相同
√
√
√
[解析] 这两个带电粒子以与成 角射
入有界匀强磁场后，由左手定则可判断，带正电
的粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，带负电的
粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示
(磁场未画出)，因两个粒子所带电荷量的绝对值
和质量都相同，由和 知，两个粒
子的轨迹半径和周期相同，由几何关系知，带负
电的粒子在磁场中转过的角度为 ，带正电的粒子在磁场中转过的角度
，则两段圆弧所对应的弦长相等，即两带电粒子回到 竖
直线时到 点的距离相等，选项A正确；因洛伦
兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，
两粒子回到 竖直线时的速度大小和方向均相
同，选项B正确；因两个粒子的运动周期相同，
而在磁场中的偏转角度不同，所以两带电粒子在
磁场中运动的时间不相等，选项C错误；因两带
电粒子的初、末速度相同，根据动量定理可知两
粒子所受洛伦兹力的冲量相同，选项D正确.
2.如图所示，圆形虚线框内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，、 、
、是以不同速率对准圆心入射的电子或正电子的运动径迹，、 、
三个出射点和圆心的连线分别与入射方向成 、 、 的夹角，
则这四种粒子中( )
A.沿径迹 运动的粒子在磁场中运动的时间最短
B.沿径迹、 运动的粒子均为正电子
C.沿径迹、运动的粒子的速率
D.沿径迹、 运动的粒子在磁场中运动的时间之
比为
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有， ，解得
，由于电子和正电子的电荷量和质量 均相等，可知这四种粒
子做圆周运动的周期相等，而沿径迹 运动的粒子偏转角最大，圆心角也
最大，设偏转角为 ，由可知沿径迹 运动
的粒子在磁场中运动的时间最长，A错误；
由左手定则可判断沿径迹 、 运动的粒子均带负电，为电子，B错误；
设圆形磁场的半径为 ，根据几何关系可得沿径迹、运动的粒子的
轨迹半径分别为 ， ，根据
可得,则 ，C正确；
粒子在磁场中运动的时间之比为偏转角之比，所以
，D错误.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
3.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形 ，一束带正电的相同粒子
以不同的速度从点沿 方向射入磁场，不计粒子的重力.关于粒子在磁
场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A.入射速度越大的粒子，其在磁场中运动的时间越长
B.入射速度越大的粒子，其在磁场中运动的轨迹越长
C.从 边出射的粒子在磁场中运动的时间都相等
D.从 边出射的粒子在磁场中运动的时间都相等
√
[解析] 带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹半
径 ，速度越大，则轨迹半径越大，从 边出
射的粒子，其速度越大，则运动轨迹越短，对应的圆心角 越小，根据
和 可知，其在磁场中运动的时间越短；从 边出射的粒子，
其速度越大，则运动轨迹越长，但速度的偏向角都相同，而粒子在磁场中
做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角，由 可知粒子
在磁场中运动的时间相等，选项C正确，选项A、B、D错误.
4.(多选)如图所示，纸面内半径为、圆心为 的圆
形区域外存在磁感应强度大小为 、方向垂直纸面
向里的匀强磁场，纸面内的线段 与圆形区域相切
于点，点处有一粒子源，可以沿
A. B. C. D.
方向以不同的速率射出质量为、电荷量为 的带正电粒子，忽略粒子间
的相互作用，不计重力,要使粒子射入圆形区域内，则粒子的速率可能为
( )
√
√
[解析] 粒子运动轨迹与边界圆相切时如图所示，设此时轨迹圆半径为 ，
由几何知识得，解得 ，粒子在磁场
中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有，解得 ，故当
粒子速率 时都可以进入圆形区域内，选项A、B错误，C、D正确.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
5.(多选)如图所示，点的离子源沿纸面垂直于 方向
向上射出一束负离子，离子所受的重力忽略不计.为把这
束负离子约束在 之下的区域，可加垂直于纸面的匀强
A.，垂直于纸面向里 B. ，垂直于纸面向里
C.，垂直于纸面向外 D. ，垂直于纸面向外
磁场.已知、两点间的距离为，负离子的比荷为，速率为，与
间的夹角为 ，则所加匀强磁场的磁感应强度 的取值范围和方向可能
是( )
√
√
[解析] 当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动的临界轨迹是恰好与
相切,如图甲所示，切点为 ，设轨迹半径为 ，由几何关系得
，解得，由可得 ，此种磁场方向要求 ；
当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动的临界轨迹是恰好与相切，
如图乙所示，切点为，设轨迹半经为 ,由几何关系得，
解得，由可得 ，此种磁场方向要求 ，
B、D正确，A、C错误.

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