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第18讲　动力学、动量和能量观点在电磁感应中的应用
一、电磁感应中的动力学问题
1．题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
3.动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件．具体思路如下：
二、电磁感应中的动量和能量的应用
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等).解决这类问题的方法：
(1)选择研究对象.即是哪一根导体棒或几根导体棒组成的系统.
(2)分析其受力情况.安培力既跟电流方向垂直又跟磁场方向垂直.
(3)分析研究对象所受的各力做功情况和合外力情况，选定所要应用的物理规律.
(4)分析研究对象(或系统)是否符合动量守恒的条件.
(5)运用物理规律列方程求解.注意：加速度a＝0时，速度v达到最大值.
（2025·浙江·一模）如图所示，在水平面上固定两间距为、长度足够的平行导轨，导轨间存在方向垂直水平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质定滑轮与质量为的重物相连。在导轨左侧，通过开关可分别与电容、电阻和电感的支路连接。在各种情况下导体棒均从静止开始运动，且在运动过程中始终垂直于导轨，不计其他电阻、空气阻力、摩擦阻力和电磁辐射。（当电感中通有电流时，电感线圈存储的磁场能为）
(1)若开关掷向1，串接一不带电的电容器，电容为，求导体棒的加速度；
(2)若开关掷向2，串接电阻，已知电阻阻值为，且在静止释放导体棒的时间内，导体棒位移大小为，求导体棒在这段过程中的末速度大小；
(3)若开关掷向3，串接一阻值为的电阻和电感为电感线圈相串联的电路，当重物下降时，重物运动速度可视为匀速。
①求匀速运动速度大小；
②重物从静止开始下降的过程中，回路产生的焦耳热。
（2025·浙江·一模）如图所示，两个金属轮、，可绕各自中心固定的光滑金属细轴和转动。金属轮由3根金属辐条和金属环组成，每根辐条长均为、电阻均为。金属轮由1根金属辐条和金属环组成，辐条长为、电阻为。半径为的绝缘圆盘与同轴且固定在一起。用轻绳一端固定在边缘上，在上绕足够匝数后（忽略的半径变化），悬挂一质量为的重物。当下落时，通过细绳带动和绕轴转动。转动过程中，、保持接触且无相对滑动，辐条与各自细轴之间导电良好。整个装置处在磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直金属轮平面向里。轮的轴及轮的轴分别引出导线与两平行足够长的光滑水平金属导轨连接，导轨、处断开，金属导轨的间距为。两导轨之间的左侧串联了开关与电阻，电容器与单刀双掷开关串联，可以通过或与导轨相连，虚线右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为，导轨上有质量为，长度也为、电阻为的金属棒，除题中所给电阻外不计其他电阻。
(1)当、都断开，重物下落时，比较与哪个点的电势高；
(2)闭合、断开，重物下落速度为时，求与两点之间电势差；
(3)闭合、断开，重物下落过程中，通过电阻的电量；
(4)闭合、先打向，充电稳定后再打向，待金属棒运动稳定时，求金属棒的速度。
（2025·浙江金华·一模）如图所示，水平面内固定有相互平行的和两条光滑导轨，两导轨相距，段与段长度相同且分别与段和段绝缘，绝缘位置左右两段导轨均足够长，导轨左端与直流电源相连，电源电动势，两根长度均为的导体棒、分别放置在段和段上，与导轨垂直且接触良好。两导体棒质量均为2kg，电阻均为，两导轨所在区域存在与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。现闭合开关S，导体棒向右运动，到达端前已经匀速。不计、与、段电阻，设运动过程中两棒不会相撞。
(1)求导体棒进入段时的速率；
(2)求导体棒的最大速率及到达最大速度时产生的焦耳热；
(3)计算导体棒进入段后到最终稳定的过程中，流过导体棒的电荷量及两导体棒相互靠近的距离。
（2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，AB、CD是固定在水平桌面上，相距的光滑平行金属导轨（足够长），导轨间存在着竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场。AC间串接一阻值的定值电阻，质量分别为，的两导体棒a、b垂直导轨放置，其长度比导轨间距略大，其中a棒阻值，b棒为超导材料。以a棒初始所在位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立x轴（x轴平行于两金属导轨），b棒初始所在位置坐标。在两导轨间x轴坐标处存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞会瞬间等速率回弹。现锁定b棒，闭合电键S，a棒在水平向右的恒力F作用下，以的速度向右匀速运动，当a棒即将与b棒碰撞前瞬间，b棒的锁定被解除，且同时撤去外力F。已知a、b两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻、接触电阻不计。求：
(1)恒力F的大小；
(2)若a、b两棒相碰后即粘合在一起，两棒最终静止时的x轴坐标？
(3)由于环境温度上升，导体棒b的超导属性消失，电阻变为，将恒力F变为，使a棒仍以的速度向右匀速运动。在碰撞前一瞬间，将开关S断开并给b棒一个向左的初速度2m/s，a棒与b棒发生弹性碰撞，则最终a、b两棒的速度大小各为多少？从a、b两棒发生弹性碰撞至最终稳定的过程中，导体棒b上产生的焦耳热？
（2025·浙江湖州·一模）相距为l的平行导轨PQ、MN处于水平面上，磁感应强度大小为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两导轨通过单刀双掷开关K连接有电源和电容器。如图所示，一质量为m的导体棒垂直导轨静止放置，已知电容器的电容为，开始时电容器的上极板带正电，电荷量为，电源的电动势为E，内阻为r，忽略一切阻力，导体棒和导轨的电阻均不计，导轨足够长。
(1)K掷向1，求导体棒的最大加速度；
(2)K掷向1，求导体棒的最大速度；
(3)K掷向1，当导体棒刚达到稳定速度时，求回路中产生的焦耳热Q；
(4)若导体棒有一向右的初速度，当K掷向2的同时，导体棒受到平行导轨向左的恒力F，求导体棒向右运动的最大位移。
（2025·浙江杭州·一模）某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为E，内阻为r的电源给金属棒供电，棒MN受到阻力f方向与速度相反，大小与速度成正比，，k为已知常数。当MN运动的路程为s时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，给电容为C的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计。
(1)在开关接通1瞬间，求棒MN受安培力大小；
(2)开关接通1，求稳定后棒MN的最大速度；
(3)接第（2）问，若最大速度已知，记为，则
①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能；
②达到最大速度后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此时电容器C上的带电量Q。
（2025·浙江·三模）如图所示，平行光滑的金属导轨由水平和左右两倾斜导轨组成，水平导轨与两侧倾斜导轨均有光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。两侧倾斜导轨与水平面夹角均为30°。左侧倾斜导轨由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连接构成，其中EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成（斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。右侧足够长的倾斜导轨PK、QJ间距为2L，上端连接电容为C的电容器，有垂直右侧倾斜导轨平面向上的磁感应强度大小为5B的匀强磁场。导体棒甲的质量为0.5m、电阻为R，乙的质量为m、电阻不计，导体棒乙静止于MP、NQ段。现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空气阻力均忽略不计。已知B=0.2T， m=0.4kg，h=0.45m，L=0.2m，R=0.3Ω，，。求：
(1)甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度；
(2)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量；
(3)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，回路产生的焦耳热；
(4)稳定后，乙棒进入右侧倾斜轨道，随即撤去甲棒，求乙棒上滑的最大距离。
（2025·浙江·二模）倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为，无磁场。区域Ⅱ宽度为，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。区域Ⅲ宽度为，有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度。求：
(1)导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压；
(2)电动机的功率P；
(3)全过程所用时间t；
(4)全过程中电阻R产生的焦耳热。
（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨水平放置，左右两端各与表面涂有绝缘涂层的倾斜导轨、平滑连接，左侧导轨顶端接有的电容器和理想二极管，右侧顶端与无限长水平金属导轨平滑连接，导轨间距，水平部分均有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度；导轨上放置一根长为L、质量、电阻的导体棒b，b棒左侧有一个自动控制开关S，其通断由、处的两触发器控制，当导体棒经过两个触发器各一次时S才自动改变通断状态。不计一切摩擦阻力和连接处能量损耗。
(1)起初S“断开”，将与b完全相同的导体棒a从右侧斜轨上高处静止释放，求a棒
①第一次达到匀速时的速度大小；
②最多能产生的焦耳热（提示：电容器储存的能量）；
(2)起初S“闭合”，将a棒从左侧斜轨上高3.2m处静止释放，求a棒
①第三次达到匀速时的速度大小；
②稳定时的速度大小。
（2025·浙江绍兴·二模）如图所示，两个光滑刚性正方形金属线框A1B1C1D1和A2B2C2D2交叠固定在光滑水平面上，交叠点E和F恰好为两边中点，且彼此相互绝缘。在两线框交叠区域存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场（交叠的金属线框在磁场边缘以内）。已知两线框质量均为m，边长均为a，单位长度电阻均为r0。现将匀强磁场在极短的时间内减小为零，不计线框电感。
(1)判断线框A1B1C1D1中感应电流方向（“顺时针”或“逆时针”），并求流过截面的电量；
(2)求线框A2B2C2D2受到安培力冲量的大小和方向；
(3)若线框A1B1C1D1不固定，交叠点E和F不彼此绝缘（接触电阻不计），而且线框所在平面整个区域都存在着匀强磁场B0，求匀强磁场减小为零时线框A1B1C1D1速度的大小。（忽略磁场减小过程中线框的移动）
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第18讲　动力学、动量和能量观点在电磁感应中的应用
一、电磁感应中的动力学问题
1．题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
3.动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件．具体思路如下：
二、电磁感应中的动量和能量的应用
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等).解决这类问题的方法：
(1)选择研究对象.即是哪一根导体棒或几根导体棒组成的系统.
(2)分析其受力情况.安培力既跟电流方向垂直又跟磁场方向垂直.
(3)分析研究对象所受的各力做功情况和合外力情况，选定所要应用的物理规律.
(4)分析研究对象(或系统)是否符合动量守恒的条件.
(5)运用物理规律列方程求解.注意：加速度a＝0时，速度v达到最大值.
（2025·浙江·一模）如图所示，在水平面上固定两间距为、长度足够的平行导轨，导轨间存在方向垂直水平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质定滑轮与质量为的重物相连。在导轨左侧，通过开关可分别与电容、电阻和电感的支路连接。在各种情况下导体棒均从静止开始运动，且在运动过程中始终垂直于导轨，不计其他电阻、空气阻力、摩擦阻力和电磁辐射。（当电感中通有电流时，电感线圈存储的磁场能为）
(1)若开关掷向1，串接一不带电的电容器，电容为，求导体棒的加速度；
(2)若开关掷向2，串接电阻，已知电阻阻值为，且在静止释放导体棒的时间内，导体棒位移大小为，求导体棒在这段过程中的末速度大小；
(3)若开关掷向3，串接一阻值为的电阻和电感为电感线圈相串联的电路，当重物下降时，重物运动速度可视为匀速。
①求匀速运动速度大小；
②重物从静止开始下降的过程中，回路产生的焦耳热。
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
【详解】（1）对M有
对m有


联立解得
导体棒的加速度
（2）对M有
对m有

联立得
对时间微元求和

导体棒在这段过程中的末速度大小
（3）①重物匀速运动
匀速运动速度大小
②由能量守恒
对重物
回路产生的焦耳热
（2025·浙江·一模）如图所示，两个金属轮、，可绕各自中心固定的光滑金属细轴和转动。金属轮由3根金属辐条和金属环组成，每根辐条长均为、电阻均为。金属轮由1根金属辐条和金属环组成，辐条长为、电阻为。半径为的绝缘圆盘与同轴且固定在一起。用轻绳一端固定在边缘上，在上绕足够匝数后（忽略的半径变化），悬挂一质量为的重物。当下落时，通过细绳带动和绕轴转动。转动过程中，、保持接触且无相对滑动，辐条与各自细轴之间导电良好。整个装置处在磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直金属轮平面向里。轮的轴及轮的轴分别引出导线与两平行足够长的光滑水平金属导轨连接，导轨、处断开，金属导轨的间距为。两导轨之间的左侧串联了开关与电阻，电容器与单刀双掷开关串联，可以通过或与导轨相连，虚线右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为，导轨上有质量为，长度也为、电阻为的金属棒，除题中所给电阻外不计其他电阻。
(1)当、都断开，重物下落时，比较与哪个点的电势高；
(2)闭合、断开，重物下落速度为时，求与两点之间电势差；
(3)闭合、断开，重物下落过程中，通过电阻的电量；
(4)闭合、先打向，充电稳定后再打向，待金属棒运动稳定时，求金属棒的速度。
【答案】(1)点电势高
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）根据右手定则可知，点电势高于A1边缘的电势，而A2边缘的电势高于O2点的电势，可知点电势高于O2点的电势；
（2）由图可知绝缘轮与轮具有相同的角速度，重物P与绝缘轮具有相同的线速度，有
电路的总电阻为
金属轮与金属轮具有相同的线速度，则金属轮的线速度为
则金属轮辐条切割磁感应线产生的电动势为
根据右手定则，可知两个金属轮上每根辐条产生的电流相互增强，故两个金属轮产生的总电动势为
根据闭合电路欧姆定律可得
（3）重物下落L时，金属轮及轮边缘某点转过的弧长均为4L，通过R的电量
（4）充电稳定：重力的功率与产生的热功率相等，设重物的速度为v，则
解得
导线切割磁感线产生的电动势为
稳定时电容器两端的电压
打向F，待金属棒GH运动稳定时，金属棒GH的电动势与电容器电压相等，金属棒GH的速度稳定，则有
解得
（2025·浙江金华·一模）如图所示，水平面内固定有相互平行的和两条光滑导轨，两导轨相距，段与段长度相同且分别与段和段绝缘，绝缘位置左右两段导轨均足够长，导轨左端与直流电源相连，电源电动势，两根长度均为的导体棒、分别放置在段和段上，与导轨垂直且接触良好。两导体棒质量均为2kg，电阻均为，两导轨所在区域存在与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。现闭合开关S，导体棒向右运动，到达端前已经匀速。不计、与、段电阻，设运动过程中两棒不会相撞。
(1)求导体棒进入段时的速率；
(2)求导体棒的最大速率及到达最大速度时产生的焦耳热；
(3)计算导体棒进入段后到最终稳定的过程中，流过导体棒的电荷量及两导体棒相互靠近的距离。
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【详解】（1）当导体棒的感应电动势与电源电动势相等后，速率将不再变化，即
解得
（2）导体棒进入段后，两棒组成的系统动量守恒，当两者速度相同时，棒速度最大，对两棒组成的系统，设向右为正方向，由动量守恒
解得
最终以相同速率匀速运动
设导体棒和导体棒系统产生的焦耳热为，根据能量守恒有
解得
（3）设向右为正方向，对导体棒进入段后到最终稳定的过程中,流过导体棒的电荷量为，两导体棒相互靠近的距离为,对棒，由动量定理可知
整理得
代入数据得
研究两个导体棒构成的回路，由感应电动势公式
闭合回路欧姆定律
电荷与电流公式
联立代入数据得
（2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，AB、CD是固定在水平桌面上，相距的光滑平行金属导轨（足够长），导轨间存在着竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场。AC间串接一阻值的定值电阻，质量分别为，的两导体棒a、b垂直导轨放置，其长度比导轨间距略大，其中a棒阻值，b棒为超导材料。以a棒初始所在位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立x轴（x轴平行于两金属导轨），b棒初始所在位置坐标。在两导轨间x轴坐标处存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞会瞬间等速率回弹。现锁定b棒，闭合电键S，a棒在水平向右的恒力F作用下，以的速度向右匀速运动，当a棒即将与b棒碰撞前瞬间，b棒的锁定被解除，且同时撤去外力F。已知a、b两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻、接触电阻不计。求：
(1)恒力F的大小；
(2)若a、b两棒相碰后即粘合在一起，两棒最终静止时的x轴坐标？
(3)由于环境温度上升，导体棒b的超导属性消失，电阻变为，将恒力F变为，使a棒仍以的速度向右匀速运动。在碰撞前一瞬间，将开关S断开并给b棒一个向左的初速度2m/s，a棒与b棒发生弹性碰撞，则最终a、b两棒的速度大小各为多少？从a、b两棒发生弹性碰撞至最终稳定的过程中，导体棒b上产生的焦耳热？
【答案】(1)1N
(2)0.6m
(3)2m/s，方向向左，2m/s，方向向左，
【详解】（1）a棒受力平衡，所以
根据电磁感应定律，a棒切割磁场产生的电流大小为
超导材料将R短路，则
联立解得
（2）根据动量守恒，碰撞瞬间有
碰撞后，两者粘合在一起运动直至停止（包括等速率反弹后），根据动量定理有
其中，又因为
解得
说明后续两棒反弹了
故最终停在处。
（3）以向右为正方向，发生弹性碰撞则有，
其中，
解得，
又由于两棒系统仅受等大反向的安培力作用，故系统总动量始终为0，b棒在运动至弹性装置前，两棒的速度大小始终为，通过的位移大小也始终为，即b棒撞上弹性装置前，a棒滑行了0.4m，此过程中，仍取水平向右为正方向，根据电磁感应定律，安培力大小为
根据动量定理，对a棒有
对b棒有
其中，
解得，
反弹后，导体棒b速度反向，大小不变，向左运动过程中，系统动量守恒有
解得
即两棒稳定后，最终的速度均为向左的2m/s，该过程中，根据能量守恒有
而
（2025·浙江湖州·一模）相距为l的平行导轨PQ、MN处于水平面上，磁感应强度大小为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两导轨通过单刀双掷开关K连接有电源和电容器。如图所示，一质量为m的导体棒垂直导轨静止放置，已知电容器的电容为，开始时电容器的上极板带正电，电荷量为，电源的电动势为E，内阻为r，忽略一切阻力，导体棒和导轨的电阻均不计，导轨足够长。
(1)K掷向1，求导体棒的最大加速度；
(2)K掷向1，求导体棒的最大速度；
(3)K掷向1，当导体棒刚达到稳定速度时，求回路中产生的焦耳热Q；
(4)若导体棒有一向右的初速度，当K掷向2的同时，导体棒受到平行导轨向左的恒力F，求导体棒向右运动的最大位移。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）导体棒开始运动时，加速度最大，根据牛顿第二定律可得
结合欧姆定律可得
联立解得
（2）稳定后回路中的电流为零，导体棒速度稳定时达到最大值，则有
解得
（3）导体棒达到稳定速度过程中，根据动量定理可得
可得
解得
根据能量守恒可得
解得
（4）经判断，开始时电容器两端的初始电压与导体棒动生电动势相等，以向左为正，对导体棒
其中
联立解得
导体棒以为初速，加速度a做匀减速运动，最大位移时速度为零。则有
（2025·浙江杭州·一模）某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为E，内阻为r的电源给金属棒供电，棒MN受到阻力f方向与速度相反，大小与速度成正比，，k为已知常数。当MN运动的路程为s时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，给电容为C的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计。
(1)在开关接通1瞬间，求棒MN受安培力大小；
(2)开关接通1，求稳定后棒MN的最大速度；
(3)接第（2）问，若最大速度已知，记为，则
①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能；
②达到最大速度后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此时电容器C上的带电量Q。
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【详解】（1）由闭合电路的欧姆定律
安培力
可得
（2）匀速转动时回路中电流，则
匀速转动，动力与阻力平衡
解得
（3）①由动量定理
解得
其他形形式能转化为电能
②令再次匀速v，电容器电量Q，由
解得
（2025·浙江·三模）如图所示，平行光滑的金属导轨由水平和左右两倾斜导轨组成，水平导轨与两侧倾斜导轨均有光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。两侧倾斜导轨与水平面夹角均为30°。左侧倾斜导轨由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连接构成，其中EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成（斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。右侧足够长的倾斜导轨PK、QJ间距为2L，上端连接电容为C的电容器，有垂直右侧倾斜导轨平面向上的磁感应强度大小为5B的匀强磁场。导体棒甲的质量为0.5m、电阻为R，乙的质量为m、电阻不计，导体棒乙静止于MP、NQ段。现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空气阻力均忽略不计。已知B=0.2T， m=0.4kg，h=0.45m，L=0.2m，R=0.3Ω，，。求：
(1)甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度；
(2)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量；
(3)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，回路产生的焦耳热；
(4)稳定后，乙棒进入右侧倾斜轨道，随即撤去甲棒，求乙棒上滑的最大距离。
【答案】(1)0.04m/s2
(2)10C
(3)0.6J
(4)
【详解】（1）甲棒刚进入磁场时，根据机械能守恒有
解得
甲棒感应电动势E =2BLv0cos60°Lv0
电流
对乙棒有 2LBIcos60°= ma
解得a=0.04m/s2
（2）当甲进入磁场，甲、乙所受安培力相等，有2BILcos60° =2BLIcos60°
甲、乙系统动量守恒，最终共速， 则
解得共速时
对乙根据动量定理有∑2LBcos60°IΔt = mv1
又q=∑I△t
解得q=10C
（3）由能量守恒得
解得Q总=0.6J
（4）乙棒沿右侧倾斜导轨做匀减速直线运动，则mgsin30°+5B·i·2L= ma
又
由以上式解得a=6m/s2
乙棒上滑的最大距离为x，
解得
（2025·浙江·二模）倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为，无磁场。区域Ⅱ宽度为，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。区域Ⅲ宽度为，有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度。求：
(1)导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压；
(2)电动机的功率P；
(3)全过程所用时间t；
(4)全过程中电阻R产生的焦耳热。
【答案】(1)-1.6V
(2)20W
(3)1.59s
(4)4J
【详解】（1）感应电动势
（2）导体棒在区域Ⅱ以速度v做匀速运动，则
（3）区域Ⅰ，电动机功率不变，导体棒做变加速运动，由动能定理得
解得
区域Ⅱ，导体棒做匀速运动，
区域Ⅲ，导体棒做减速运动，由动量定理得
其中
解得
所以，全程所用时间为
（4）对全程用能量守恒可得
解得Q＝5J
电阻R上产生的焦耳热为
（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨水平放置，左右两端各与表面涂有绝缘涂层的倾斜导轨、平滑连接，左侧导轨顶端接有的电容器和理想二极管，右侧顶端与无限长水平金属导轨平滑连接，导轨间距，水平部分均有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度；导轨上放置一根长为L、质量、电阻的导体棒b，b棒左侧有一个自动控制开关S，其通断由、处的两触发器控制，当导体棒经过两个触发器各一次时S才自动改变通断状态。不计一切摩擦阻力和连接处能量损耗。
(1)起初S“断开”，将与b完全相同的导体棒a从右侧斜轨上高处静止释放，求a棒
①第一次达到匀速时的速度大小；
②最多能产生的焦耳热（提示：电容器储存的能量）；
(2)起初S“闭合”，将a棒从左侧斜轨上高3.2m处静止释放，求a棒
①第三次达到匀速时的速度大小；
②稳定时的速度大小。
【答案】(1)①4m/s；②1.8J
(2)①3m/s；②
【详解】（1）[1]a棒下滑过程机械能守恒，有
解得
设第一次匀速时的速度为，电容器带电量为，则有
对a棒减速过程，有
联立解得
[2]由题分析可知，a棒第一次越过点后S闭合，因二极管的单向导电性，电容器不能对b棒放电，待a棒以返回后，无法对电容器充电，a、b两棒构成冲击块模型，设共同速度为，据动量守恒
解得
此过程中a、b两棒产生的热量
则a棒产热
之前a棒在水平导轨减速过程中产热
故
（2）[1]a棒从左斜面释放，（S闭合）由冲击块模型，第一次匀速（向右）时有，（S断开后）从右斜面往返，参考第一问解法，第二次匀速（向左）时有，（S闭合后）从左斜面往返，设冲击块共速为，有
解得
[2]S断开后从右斜面往返，对电容器充电，设第四次匀速时的速度为，有
，，
推理可得，
将的表达式全部相加，可得
又当时有，可得，
（2025·浙江绍兴·二模）如图所示，两个光滑刚性正方形金属线框A1B1C1D1和A2B2C2D2交叠固定在光滑水平面上，交叠点E和F恰好为两边中点，且彼此相互绝缘。在两线框交叠区域存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场（交叠的金属线框在磁场边缘以内）。已知两线框质量均为m，边长均为a，单位长度电阻均为r0。现将匀强磁场在极短的时间内减小为零，不计线框电感。
(1)判断线框A1B1C1D1中感应电流方向（“顺时针”或“逆时针”），并求流过截面的电量；
(2)求线框A2B2C2D2受到安培力冲量的大小和方向；
(3)若线框A1B1C1D1不固定，交叠点E和F不彼此绝缘（接触电阻不计），而且线框所在平面整个区域都存在着匀强磁场B0，求匀强磁场减小为零时线框A1B1C1D1速度的大小。（忽略磁场减小过程中线框的移动）
【答案】(1)顺时针；
(2)；向左
(3)
【详解】（1）根据楞次定律可知，线框A1B1C1D1中感应电流的方向：顺时针；
由法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律，
流过截面的电量
（2）线框A2B2C2D2受到安培力冲量的方向：向左；
设某时刻线框的电流为i，则
线框受到安培力的冲量
则
得
（3）根据两环对称性，设某时刻两线框电流i1和i2如图所示。
设回路A1EA2D2C2FC1B1中的电动势为E1，则
得
设回路ED1FB2中的电动势为E2，则
得
【或：对于A1B1C1D1：】
由于，线框A1B1C1D1所受安培力的合力方向向左，速度方向向左；
设线框A1B1C1D1获得速度大小为v，利用动量定理，
可得
解得
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