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第19讲　带电粒子在各类场中的运动
一、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场的分类
(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化．
二、带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
（2025·浙江·三模）正负电子对撞机是研究粒子基本性质和相互作用的实验装置。正负电子经加速器加速到极高速度后，射入对撞测量区域，通过调整测量区的磁感应强度大小，使正负电子发生正碰。一实验探究小组设计的对撞机结构原理图如图所示，测量区ABCD中存在两个有界匀强磁场，水平虚线MN下方Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向外，MN上方Ⅱ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向里，直线EF为测量区的中线。在同一水平面上的直线加速器甲、乙同时以相同速率分别垂直AB、CD边界射入电子和正电子，并最终在EF上的某处实现正碰。已知正、负电子的比荷为k，边界AB、CD间的距离为4d，两加速器与MN的距离均为d，忽略电荷间的相互作用及正、负电子的重力。
(1)电子以速度大小射入Ⅰ区域，
①若电子能垂直MN进入Ⅱ区域，求；
②若，为使电子不从AB射出，求Ⅱ区域磁场的最小值；
(2)若，为使正负电子在EF上某处发生正碰，求射入磁场的速度大小v与B之间满足的关系。
（2025·浙江宁波·三模）如图所示，在平面内有一平行于轴宽为的线状电子源，每秒沿轴正方向均匀发射个速度相同的电子。电子源中心与半径为、磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域圆心等高。射入圆形磁场区域的电子汇聚到磁场的最低点后，进入轴正下方足够大的、磁感应强度大小也为、方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。在轴上有一左端置于原点点，长为的电子收集板（不计收集板的厚度）。打到收集板上的电子被收集板吸收后全部导入大地。已知电子质量为，电荷量为，忽略电子重力和电子间的相互作用。
(1)求从电子源发射出来的电子的速度大小；
(2)求电子从点射出时与负轴方向的夹角的范围；
(3)电子源发射一段时间后，求收集板接地导线中的电流大小；
(4)若收集板平行于轴放置，且足够长，其上端位于原点，则在收集板向右平移的过程中，试求收集板上能接收到电子的区域长度与收集板所处位置横坐标之间的关系。
（2024·浙江·模拟预测）如图所示，由光滑绝缘材料制成的边长为L的正方形框架DCEF位于竖直平面内，在此区域外足够大的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直于平面向里。正方形DC中点S处有一离子源，可以沿垂直DC边向下发射不同速度的离子，其质量为m，电量为q（q>0）。若该离子与正方形框架相互作用时均无能量损失和电荷量损失，速度方向与边界垂直，不计粒子的重力和边框厚度。
(1)求打到C点离子的最大速度；
(2)为使从S点发出的离子最终又回到S点，且运动时间最短，求最短时间及相应的速度；
(3)若磁场是半径为的圆柱形区域（图中虚线），圆柱的轴线通过正方形的中心O，要使从S点发出的粒子最终能回到S点，求带电粒子速度v的大小。
（2024·浙江绍兴·一模）如图甲所示，某粒子研究装置的通道长m，其横截面abcd、为边长m的正方形，通道四壁、、、能将打到壁上的粒子完全吸收并及时导走，以截面abcd中心点O为坐标原点建立空间直角坐标系，x轴平行于ab边，z轴平行于bc边，通道方向沿y轴。在通道内仅x方向和z方向分别加随时间余弦、正弦变化的磁场，规定沿各坐标轴正方向为磁场正方向，如图乙所示。已知粒子源位于坐标原点，能沿y轴正方向持续均匀发射初速度为m/s的带正电粒子，粒子比荷为C/kg，在磁场中的运动时间远小于磁场变化的周期，不计粒子的重力与粒子间的相互作用，不考虑磁场变化产生电场的影响。求：
(1)时刻发射的粒子在通道内的运动半径大小；
(2)时刻发射的粒子能否通过截面，若能，计算粒子到达截面时的坐标；若不能，计算粒子到达通道四壁时的坐标；
(3)通道壁吸收的粒子中，在通道内运动的最短时间与最长时间；
(4)若仅撤去x方向磁场，长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比。
（2025·浙江·一模）如图1所示，回旋加速器由两个D型盒组成。圆形匀强磁场区域以点为圆心，磁场垂直纸面，磁感应强度大小为，加速电压的大小为，质量为、电荷量为的粒子从点附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过点绕点做圆周运动，半径为。为将粒子引出磁场，在位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示。偏转器的两极板和厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为、圆心角为，当、间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计、间的距离，且忽略粒子在电场中的加速时间，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。求∶
(1)粒子加速到点所需要的时间；
(2)粒子在圆弧形狭缝中运动的轨迹半径；
(3)“静电偏转器”板的最大厚度；
(4)磁场区域的最大半径。
（2025·浙江·二模）如图所示，在平面内的区域有竖直向下、大小为的匀强电场，在区域有以轴为中心轴、半径为、高为的圆筒，筒内分布着方向竖直向上、大小的匀强磁场，顶部平面与平面重合，圆心处开有小孔，圆筒底面涂有荧光粉，带电粒子到达处会发出荧光。在平面内有一粒子发射带，其两端坐标：、，之间各点均可在平面内向轴发射不同速率带正电的粒子。已知粒子质量为，电荷量为，圆筒接地，碰到圆筒的粒子即被导走，不计重力，不考虑场的边界效应及粒子间相互作用。
(1)若从点偏离水平方向向右下方发射的粒子恰能通过点进入磁场，求该粒子发射的速度；
(2)在某次发射中，从两点水平发射的粒子穿过点到达了圆筒底部，求它们发光点点的坐标；
(3)若发射带各点持续水平发射粒子，部分粒子穿过进入磁场，请通过分析，在乙图中画出荧光屏上的图案。
（2025·浙江湖州·三模）如图为探测磁场区域离子位置的装置。两足够长且间距极小的平行栅极板MN水平放置，左端与电压为U的电源相连，MN之间无磁场，M板上方存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场I，N板下方存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边界为倾斜虚线OC的匀强磁场Ⅱ。正极板N上的O点有一离子源，能垂直极板向上发射速度大小连续均匀分布在之间的离子，并从D点进入磁场I。已知，离子质量为m，电荷量为q（），虚线OC与N板夹角，忽略栅极的电场边缘效应、离子在电场中的运动时间、离子间的相互作用及离子的重力，则
(1)离子进入磁场Ⅰ的速度大小v的范围；
(2)从磁场Ⅱ的边界OC射出离子数比例；
(3)若负极板M上水平放置探测板，从上方和下方射入的粒子均能被其接收。在时离子从O点射出，要求能在时间内探测到未从边界OC射出的所有离子，求探测板的最小长度L。
（2025·浙江杭州·二模）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小；
(2)离子的电荷量；
(3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。
(4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
（2025·浙江·模拟预测）在科学实验中，我们可以通过调节电场强度的大小来控制带电粒子的运动轨迹，达到相应的实验目的。如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有沿方向的匀强电场，电场强度大小为且可以调整。在第三象限内有一垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。粒子源在平面内可以向各个方向发射速度大小不同的带负电粒子。已知粒子质量为，电荷量的值为。轴上的点与S的连线垂直于轴，S与点的距离为，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。
(1)求从S出发的粒子能到达点的最小速度；
(2)若通过点的粒子在电场与磁场中沿闭合轨迹做周期性运动，求此时电场强度的大小；
(3)某粒子射出方向与成角并经过点，调整电场强度的大小，使粒子最终能垂直经过轴，试写出点到点的距离与电场强度大小的关系式。
（2025·浙江宁波·一模）某离子实验装置的基本原理如图甲所示，离子源能源源不断从坐标原点沿轴正向发射同种离子，离子质量为，电量为，初速度大小范围在之间。以过垂直于纸面的界面为边界，左侧为区，存在沿轴正向的匀强电场，大小未知，右侧为II区，存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小也未知。其中初速为的离子从点出射后立刻进入区，在电场中偏转后进入匀强磁场，已知此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等。忽略边界效应，忽略离子间的相互作用力，不计离子重力。
(1)求和的比值；
(2)求初速度为的离子在磁场中圆周运动的半径和周期；
(3)求从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程；
(4)如图乙所示，保持离子源情况和I区电场不变，把II区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，两磁场界面也垂直于轴，且整个II区均存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。在II区某处放置一块与纸面垂直的足够大的测试板，离子抵达板的左侧面时会发光。沿轴左右调节两磁场区的分界面，使得测试板在分界面右侧磁场沿轴在一定范围内移动时均能探测到发光直线。当分界面在某一特定位置时，此时测试板离轴最远时能探测到的发光直线恰好在平面内。此时把处分界面到测试板之间的两个磁场区间宽度记为和。求这种特定情况下
①与的比值；
②发光直线的长度。
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第19讲　带电粒子在各类场中的运动
一、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场的分类
(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化．
二、带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
（2025·浙江·三模）正负电子对撞机是研究粒子基本性质和相互作用的实验装置。正负电子经加速器加速到极高速度后，射入对撞测量区域，通过调整测量区的磁感应强度大小，使正负电子发生正碰。一实验探究小组设计的对撞机结构原理图如图所示，测量区ABCD中存在两个有界匀强磁场，水平虚线MN下方Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向外，MN上方Ⅱ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向里，直线EF为测量区的中线。在同一水平面上的直线加速器甲、乙同时以相同速率分别垂直AB、CD边界射入电子和正电子，并最终在EF上的某处实现正碰。已知正、负电子的比荷为k，边界AB、CD间的距离为4d，两加速器与MN的距离均为d，忽略电荷间的相互作用及正、负电子的重力。
(1)电子以速度大小射入Ⅰ区域，
①若电子能垂直MN进入Ⅱ区域，求；
②若，为使电子不从AB射出，求Ⅱ区域磁场的最小值；
(2)若，为使正负电子在EF上某处发生正碰，求射入磁场的速度大小v与B之间满足的关系。
【答案】(1)①；②
(2)
【详解】（1）①加速器甲射出电子，在Ⅰ区域中的半径，由
得
②如图所示
轨迹与AB恰好相切于G点时，对应磁感应强度最小。在中，，
在中，得
Ⅱ区域磁场的最小值
（2）若正负电子在MN上方正碰，正负电子奇数次穿过MN，以第1次经过MN的点到边界的弦长作为一段，分别把2d均分为2、6、10…段，每段
由
得
正负电子偶数次穿过MN，以第1次经过MN的点到边界的弦长作为一段，分别把2d均分为4、8、12……段，每段
同理，得
因此，速度大小v与B之间满足的关系为：
分析粒子在Ⅱ区域磁场AB相切时，
得
要求即
得n＝1、2、3
综上，
（2025·浙江宁波·三模）如图所示，在平面内有一平行于轴宽为的线状电子源，每秒沿轴正方向均匀发射个速度相同的电子。电子源中心与半径为、磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域圆心等高。射入圆形磁场区域的电子汇聚到磁场的最低点后，进入轴正下方足够大的、磁感应强度大小也为、方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。在轴上有一左端置于原点点，长为的电子收集板（不计收集板的厚度）。打到收集板上的电子被收集板吸收后全部导入大地。已知电子质量为，电荷量为，忽略电子重力和电子间的相互作用。
(1)求从电子源发射出来的电子的速度大小；
(2)求电子从点射出时与负轴方向的夹角的范围；
(3)电子源发射一段时间后，求收集板接地导线中的电流大小；
(4)若收集板平行于轴放置，且足够长，其上端位于原点，则在收集板向右平移的过程中，试求收集板上能接收到电子的区域长度与收集板所处位置横坐标之间的关系。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【详解】（1）电子只受到洛伦兹力，根据
可知匀强磁场中圆周运动的半径
本题中的磁聚焦要求电子运动半径等于圆形磁场的半径，则
（2）粒子轨迹如图1
由对称性，可设离电子源中心线上、下距离的电子经过磁场偏转后与负轴夹角为，由三角函数，得
所以，的范围为
（3）粒子轨迹如图2
计算能打到收集板上的电子在运动到点时与负轴夹的角，设为。在下方区域内做匀速圆周运动也为。由三角函数得
由对称性，设离电子源中心线上、下距离的电子经过磁场偏转后与负轴夹角恰为。由三角函数得
解得
所以，能到达收集板的电子离电子源中心线的距离为
则接地导线中的电流大小为
（4）电子在下方区域内做匀速圆周运动的半径为。作出电子在下方区域圆周运动轨的三位关键位置①（直径在轴上）、②和③，如图3。
由几何关系可知，可知
①当时，由于②和③两个圆轨迹关于轴对称，圆心距离为，②向下平移与③重合，则，
②当时，电子圆轨迹与收集板交点的最高点在轴上，最低点是某个圆的直径与收集板的交点，可以作以为圆心，为半径的圆弧，得到
③时，电子轨道不会碰到收集板，则
（2024·浙江·模拟预测）如图所示，由光滑绝缘材料制成的边长为L的正方形框架DCEF位于竖直平面内，在此区域外足够大的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直于平面向里。正方形DC中点S处有一离子源，可以沿垂直DC边向下发射不同速度的离子，其质量为m，电量为q（q>0）。若该离子与正方形框架相互作用时均无能量损失和电荷量损失，速度方向与边界垂直，不计粒子的重力和边框厚度。
(1)求打到C点离子的最大速度；
(2)为使从S点发出的离子最终又回到S点，且运动时间最短，求最短时间及相应的速度；
(3)若磁场是半径为的圆柱形区域（图中虚线），圆柱的轴线通过正方形的中心O，要使从S点发出的粒子最终能回到S点，求带电粒子速度v的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系可知
解得
（2）时间最短时满足
则
解得
（3）根据题意作图，如图
根据上述分析可知，若（n=）时，有
粒子回到S，可知
当，代入解得
当，代入解得
当，代入解得
同理，若（n=）时，有
粒子回到S，有
当，代入解得
由于，则粒子不能回到S点；
当，代入解得
综上所述
，
（2024·浙江绍兴·一模）如图甲所示，某粒子研究装置的通道长m，其横截面abcd、为边长m的正方形，通道四壁、、、能将打到壁上的粒子完全吸收并及时导走，以截面abcd中心点O为坐标原点建立空间直角坐标系，x轴平行于ab边，z轴平行于bc边，通道方向沿y轴。在通道内仅x方向和z方向分别加随时间余弦、正弦变化的磁场，规定沿各坐标轴正方向为磁场正方向，如图乙所示。已知粒子源位于坐标原点，能沿y轴正方向持续均匀发射初速度为m/s的带正电粒子，粒子比荷为C/kg，在磁场中的运动时间远小于磁场变化的周期，不计粒子的重力与粒子间的相互作用，不考虑磁场变化产生电场的影响。求：
(1)时刻发射的粒子在通道内的运动半径大小；
(2)时刻发射的粒子能否通过截面，若能，计算粒子到达截面时的坐标；若不能，计算粒子到达通道四壁时的坐标；
(3)通道壁吸收的粒子中，在通道内运动的最短时间与最长时间；
(4)若仅撤去x方向磁场，长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比。
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)33.33％
【详解】（1）由乙图可知，时发射的粒子在运动过程中磁感应强度，方向沿x轴正向，粒子在平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得
即
（2）粒子发射后在平面匀速圆周运动，轨迹如图1
图1 平面视图
最远沿y轴运动距离为，因此粒子不能通过通道，打到壁上。到达壁时
，，
因此，粒子到达壁上时坐标为。
（3）粒子在磁场中运动时磁感应强度大小不变，运动周期
如图2所示当粒子运动轨迹在平面内时到达壁上的运动时间最短（半径一定，弦长最短）
图2 空间视图 图2 平面视图 图3 空间视图
圆弧所对圆心角为127°， 所以
如图3所示运动轨迹与接收屏相切时运动时间最长，粒子运动刚好为半圆，圆弧所对圆心角为180°，所以
（4）所有粒子运动轨迹圆在平面内，半径周期性变化最短半径为
粒子要能通过通道，运动半径需要足够大，刚好能过通道时，轨迹如图4所示
图4 平面视图
由几何关系
得
即粒子要能通过通道，磁感应强度需满足
结合随时间的变化规律，由数学三角函数知识可知，时间占磁场变化一个周期的，所以长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比为33.33％。
（2025·浙江·一模）如图1所示，回旋加速器由两个D型盒组成。圆形匀强磁场区域以点为圆心，磁场垂直纸面，磁感应强度大小为，加速电压的大小为，质量为、电荷量为的粒子从点附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过点绕点做圆周运动，半径为。为将粒子引出磁场，在位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示。偏转器的两极板和厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为、圆心角为，当、间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计、间的距离，且忽略粒子在电场中的加速时间，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。求∶
(1)粒子加速到点所需要的时间；
(2)粒子在圆弧形狭缝中运动的轨迹半径；
(3)“静电偏转器”板的最大厚度；
(4)磁场区域的最大半径。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）设粒子在P的速度大小为，洛伦兹力提供向心力则有
解得
对粒子在静电场中的加速过程，根据动能定理则有
粒子在磁场中运动的周期为
粒子运动的总时间为
解得
（2）设粒子在偏转器中的运动半径为，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，共同提供向心力
解得
（3）由粒子的运动半径
结合动能表达式
整理可得
则粒子加速到前最后两个半周的运动半径为，
由几何关系有
结合
解得
（4）设粒子离开偏转器的点为，圆周运动的圆心为。由题意知，在上，且粒子飞离磁场的点与在一条直线上，如图所示。
粒子在偏转器中运动的圆心在点，从偏转器飞出，即从点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为，然后轨迹发生偏离，从偏转器的点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为
将等腰三角形放大如图所示
虚线为从点向所引垂线，虚线平分角，则有
解得最大半径为
（2025·浙江·二模）如图所示，在平面内的区域有竖直向下、大小为的匀强电场，在区域有以轴为中心轴、半径为、高为的圆筒，筒内分布着方向竖直向上、大小的匀强磁场，顶部平面与平面重合，圆心处开有小孔，圆筒底面涂有荧光粉，带电粒子到达处会发出荧光。在平面内有一粒子发射带，其两端坐标：、，之间各点均可在平面内向轴发射不同速率带正电的粒子。已知粒子质量为，电荷量为，圆筒接地，碰到圆筒的粒子即被导走，不计重力，不考虑场的边界效应及粒子间相互作用。
(1)若从点偏离水平方向向右下方发射的粒子恰能通过点进入磁场，求该粒子发射的速度；
(2)在某次发射中，从两点水平发射的粒子穿过点到达了圆筒底部，求它们发光点点的坐标；
(3)若发射带各点持续水平发射粒子，部分粒子穿过进入磁场，请通过分析，在乙图中画出荧光屏上的图案。
【答案】(1)
(2),
(3)见解析
【详解】（1）水平方向
竖直方向
得
（2）水平方向
竖直方向
得
粒子在磁场中做等距螺旋运动，在垂直轴平面内有
得
周期
竖直方向
运动时间
回旋次数
落点位置在与轴夹角为处，故坐标为，即
由对称性，易得
（3）粒子进入磁场后，不同，相同，相同，回旋半径不同、螺距相同。落点位置和底面中心连线相对轴的夹角相同，得出与轴夹角为的倾斜直线，直线以、为端点（不触边界）
（2025·浙江湖州·三模）如图为探测磁场区域离子位置的装置。两足够长且间距极小的平行栅极板MN水平放置，左端与电压为U的电源相连，MN之间无磁场，M板上方存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场I，N板下方存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边界为倾斜虚线OC的匀强磁场Ⅱ。正极板N上的O点有一离子源，能垂直极板向上发射速度大小连续均匀分布在之间的离子，并从D点进入磁场I。已知，离子质量为m，电荷量为q（），虚线OC与N板夹角，忽略栅极的电场边缘效应、离子在电场中的运动时间、离子间的相互作用及离子的重力，则
(1)离子进入磁场Ⅰ的速度大小v的范围；
(2)从磁场Ⅱ的边界OC射出离子数比例；
(3)若负极板M上水平放置探测板，从上方和下方射入的粒子均能被其接收。在时离子从O点射出，要求能在时间内探测到未从边界OC射出的所有离子，求探测板的最小长度L。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）动能定理
解得
解得
所以
（2）临界如图所示
设此时速度大小v，上圆半径为，下圆半径为
则
解得
解得，
O点的速度大小
所以
（3）离子经过三个半圆弧，打到探测板上方
距O点最近水平距离对应离子初速度为零时，
离子经过二个半圆弧，打到探测板下方
距O点最远水平距离对应离子初速度为时，
当离子经过二个半圆弧恰好经过，其半径分别为、，随后进入磁场I
可得
比较离子打到的最远点，知
探测板的最短长度
（2025·浙江杭州·二模）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小；
(2)离子的电荷量；
(3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。
(4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)①；②
【详解】（1）离子沿水平中轴 OO1经过速度选择器，设离子电荷量为q满足
解得
（2）偏转区仅加电场时，水平方向
竖直方向
且有
联立解得
（3）离子在磁场中偏转时，设偏转角为，磁场半径
偏转角等于圆心角，由几何关系
可得
离子出射时偏离轴线的距离
（4）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向
其中
①水平方向在阻力下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0过程分析，由动量定理有
其中
得芯片距离O2的最小距离
②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为。沿圆周的半径方向
沿圆周的切线方向
可得
旋转电场对离子做功的功率
当
即时，电场对离子做功的瞬时功率最大。
（2025·浙江·模拟预测）在科学实验中，我们可以通过调节电场强度的大小来控制带电粒子的运动轨迹，达到相应的实验目的。如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有沿方向的匀强电场，电场强度大小为且可以调整。在第三象限内有一垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。粒子源在平面内可以向各个方向发射速度大小不同的带负电粒子。已知粒子质量为，电荷量的值为。轴上的点与S的连线垂直于轴，S与点的距离为，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。
(1)求从S出发的粒子能到达点的最小速度；
(2)若通过点的粒子在电场与磁场中沿闭合轨迹做周期性运动，求此时电场强度的大小；
(3)某粒子射出方向与成角并经过点，调整电场强度的大小，使粒子最终能垂直经过轴，试写出点到点的距离与电场强度大小的关系式。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）从点出发的粒子做匀速圆周运动，直接到达点的粒子中，轨迹圆半径越小，粒子速度越小，为直径时，轨迹圆半径最小，则该粒子速度最小；
由几何知识得
对粒子由牛顿第二定律得
解得
（2）在该条件下，粒子在磁场中运动时，S、始终在轨迹圆上，即轨迹圆圆心一定在垂直平分线上，且轨迹圆与轴的另一个交点即为粒子从电场进入磁场的点;
设粒子初速度为，初速度方向与夹角为（小于），从点由电场进入磁场，轨迹如图1所示，设该粒子在磁场中的轨迹半径为，则
由牛顿第二定律有
设粒子在电场中的运动时间为，由对称性可知：
沿轴方向
沿轴方向
解得
初速度方向与夹角大于时，轨迹与图1中轨迹关于对称，不变；
（3）由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
设粒子的速度为，粒子在电场中做一次类平抛运动的时间是，对粒子在磁场中由牛顿第二定律得
在电场中沿轴方向有
若粒子最终能垂直经过轴，轨迹如图2所示
由几何关系得（其中）
解得（其中）
当时，均可满足；
当时，粒子再次进入磁场，由几何关系可知
解得时，应满足的条件为
（2025·浙江宁波·一模）某离子实验装置的基本原理如图甲所示，离子源能源源不断从坐标原点沿轴正向发射同种离子，离子质量为，电量为，初速度大小范围在之间。以过垂直于纸面的界面为边界，左侧为区，存在沿轴正向的匀强电场，大小未知，右侧为II区，存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小也未知。其中初速为的离子从点出射后立刻进入区，在电场中偏转后进入匀强磁场，已知此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等。忽略边界效应，忽略离子间的相互作用力，不计离子重力。
(1)求和的比值；
(2)求初速度为的离子在磁场中圆周运动的半径和周期；
(3)求从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程；
(4)如图乙所示，保持离子源情况和I区电场不变，把II区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，两磁场界面也垂直于轴，且整个II区均存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。在II区某处放置一块与纸面垂直的足够大的测试板，离子抵达板的左侧面时会发光。沿轴左右调节两磁场区的分界面，使得测试板在分界面右侧磁场沿轴在一定范围内移动时均能探测到发光直线。当分界面在某一特定位置时，此时测试板离轴最远时能探测到的发光直线恰好在平面内。此时把处分界面到测试板之间的两个磁场区间宽度记为和。求这种特定情况下
①与的比值；
②发光直线的长度。
【答案】(1)
(2)，
(3)其中/，其中
(4)①或②
【详解】（1）经分析，离子在电场中的加速度为
初速为的离子从点出射后立刻进入区，做类平抛运动，在电场中偏转后进入匀强磁场，根据矢量关系知，离子出电场的速度即在磁场中匀速圆周运动的速度大小为，水平向右的分速度为，根据牛顿第二定律
解得在磁场中的加速度为
此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等，联立可得
（2）离子在电场中根据运动规律
解得加速度
在磁场中的速度大小为，故加速度为
联立可得
故周期
（3）如图1所示
离子在电场中水平方向做初速为0的匀加速直线运动，根据小问1的分析知，离子在点水平向右的分速度为，根据运动规律
解得
故水平方向，根据运动学规律
从边界点射出后进入磁场时
联立上方两式可得
离子在磁场中圆周运动的速度为，满足
可得
圆心的横坐标为
纵坐标为
且当磁场中速度为时
即
则
或
联立以上三式可得圆心的轨迹线为一条直线，方程为
其中
或，其中
（4）①经分析，沿轴负方向看，离子均以做匀速圆周运动，满足要求的轨迹如图2所示
由几何关系可得
则或
②沿轴方向离子做匀变速直线运动，加速度相同，抵达板上的运动时间也相同，则
，
初速为的离子落在板上位置最高，到达I区右边界时
所以到板上的位置最高为
初速为0的离子落在板上位置最低，到板上的位置最低为
所以到板上的发光直线长度为
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