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第7讲　带电粒子在复合场中的运动
题型1带电粒子在复合场运动的应用实例
1．质谱仪(如图)
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
2．回旋加速器(如图)
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
速度选择器是质谱仪的重要组成部分，用于剔除速度不同的粒子，从而提高检测精度。如图所示，两极板间有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两板的长度和间距均足够大，虚线是电磁场的中心轴线。现有一束带负电的离子（不计重力）以的速度沿着虚线从左侧进入电磁场区域，其轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】离子受到的电场力
洛伦兹力
代入数据得，
得
带负电的离子，电场向下，负电荷受力向上，电场力方向向上，洛伦兹力方向用左手定则判断，四指指向离子运动的反方向，磁感线穿手心，大拇指指向向下，即洛伦兹力方向向下。由于
离子会向下偏转，且在偏转过程中，速度方向改变，洛伦兹力方向也会改变，最终轨迹会呈现向下弯曲且有周期性的曲线。
故选A。
物理学家霍尔在实验中发现，当电流垂直于磁场通过导体或半导体材料左右两个端面时，在材料的上下两个端面之间产生电势差。这一现象被称为霍尔效应，产生这种效应的元件叫霍尔元件。如图为霍尔元件的原理示意图，其霍尔电压与电流和磁感应强度的关系可用公式表示，其中叫该元件的霍尔系数。若该材料单位体积内自由电荷的个数为，每个自由电荷所带的电荷量为，根据你所学过的物理知识，判断下列说法正确的是（　　）
A．霍尔元件上表面电势一定高于下表面电势
B．式中霍尔系数可表示为
C．霍尔系数的单位是
D．公式中的指元件上下表面间的距离
【答案】B
【详解】A．霍尔电压的产生是由于运动电荷在磁场中受洛伦兹力发生偏转，导致上下表面积累电荷。若自由电荷为正，根据左手定则，正电荷向某一表面偏转；若为负电荷，如金属中的电子，偏转方向相反，因此上表面电势不一定高于下表面，A错误；
B．当自由电荷受力平衡时，为上下表面间距，
为前后表面间距，
结合电流微观表达式
联立推导可得霍尔系数，B正确；
C．由
单位为，单位为，故单位为，并非，C错误；
D．公式中是垂直于电流和磁场方向的横截面积边长，而非上下表面距离，D错误；
故选B。
某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ上。已知粒子重力可忽略不计，则（　　）
A．从P点进入磁场的粒子动量一定相等
B．从P点进入磁场的粒子速度一定相等
C．粒子的比荷越大，打到胶片上距离P点越远
D．打到胶片上距P越远的粒子运动总时间越长
【答案】D
【详解】A．粒子经加速电场加速过程中，有
粒子在静电分析器中满足
在磁分析器中满足
则从点进入磁场的粒子动量
由于质量不同，所以动量不同，A错误；
B．速度
质量越大，速度越小，B错误；
C．打到胶片上的位置
比荷越小，距离越远，C错误；
D．打到胶片上距越远的粒子比荷越小，越小，在加速电场和静电分析器中运动的时间越长，在磁分析器中运动的时间也越长，即打到胶片上距越远的粒子运动的总时间越长，D正确。
故选D。
上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反大小相等并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。
(3)在（2）条件下，电子以速度沿方向进入磁场，经过第个区域磁场用时多少。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。以洛伦兹力为向心力做圆周运动
根据
解得
根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切
解得
（3）电子在I磁场中运动时，由于 而
电子在I磁场中偏转弧度，则
电子在I磁场中运动用时
同理在II磁场中用时
则每个磁场中用时
经过个磁场区域用时
如图所示，在平面内，以为圆心，为半径的圆弧与轴交于和，圆是以为直径的圆。在圆的半圆弧与圆的优弧之间存在磁感应强度为，方向垂直纸面向里的匀强磁场；半圆内部是无场区域；轴下方存在磁感应强度为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。在区域内，大量质量为，电荷量为且不计重力的粒子从第二象限沿轴正方向以初速度为射入磁场，经过磁场偏转后都能聚焦于轴上的某点（即为焦点）。
(1)请判断这些粒子的电性，并写出焦点的坐标；
(2)若某粒子打到焦点时，速度方向恰沿轴负方向，求该粒子射入磁场时到轴的距离；
(3)求粒子从出发到聚焦的过程中，速度方向偏转角度的最大值；
(4)接第（2）问，该粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力（比例系数已知），且发现该粒子再次到达轴时其轨迹与轴相切于点（图中未画出）。①求点到原点的位移大小；
②求粒子在点时的速度大小。
【答案】(1)带负电，聚焦于原点
(2)
(3)
(4)①，②
【详解】（1）由题意，带电粒子经过磁场偏转后都能聚焦于轴上的某点，带电粒子向下偏转，即带电粒子受到的洛伦兹力向下，根据左手定则可以判断，带电粒子带负电。
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
又有
联立解得
取特殊点的带电粒子，当的带电粒子进入匀强磁场时，带电粒子从点进入匀强磁场，因为带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径，所以其圆心坐标为，又由于圆圆心坐标为，半径为，根据几何关系
可知带电粒子射出匀强磁场区域的点应该在点与圆在第一象限的切点位置，速度方向与切线方向垂直，即指向圆圆心坐标为；
设带电粒子沿与轴相切进入半圆内部，如下图所示，带电粒子从点射入匀强磁场，则有，由题意可知，，，由余弦定理有，代入数据解得，符合题意，所以该带电粒子能从点射入匀强磁场并从点射入半圆内部，该带电粒子与从点进入匀强磁场的带电粒子都经过原点。根据题意可得，经过磁场偏转后都能聚焦于轴上的点为原点，坐标为。
（2）由（1）可知，带电粒子从点射入匀强磁场并从点射入半圆内部，满足粒子打到焦点时，速度方向恰沿轴负方向，求该粒子射入磁场时到轴的距离。
（3）由（1）可知，带电粒子从点进入匀强磁场，射出匀强磁场区域的点在点与圆在第一象限的切点位置，速度方向与切线方向垂直，即指向圆圆心坐标为，由几何关系可得此时速度方向与轴正方向的夹角为，此时速度方向偏转角度最大，最大偏转角度。
（4）

[1]带电粒子进入轴下方匀强磁场，受到洛伦兹力和阻力作用，对于带电粒子在该匀强磁场中的运动，将整个运动分解为若干小段运动，并将每段运动得速度分解到水平方向和竖直方向，则对轴方向根据动量定理并对分解的各小段运动求和，得
解得；
[2]对方向根据动量定理并对分解的各小段运动求和，得
解得。
题型2带电粒子在组合场中的运动
1．两大偏转对比
匀强电场中的“电偏转” 匀强磁场中的“磁偏转”
力学特征 F电为恒力 v⊥B时，F＝qvB
运动规律 类平抛运动(合成与分解) 匀速圆周运动(v⊥B)　r＝ T＝
偏转情况 tan θ＝ θ＝·2π
动能是否变化 动能发生变化 动能不变
2.思维流程
如图所示，在平面内的第三象限存在沿轴正方向的匀强电场，场强为；在的区域存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向外。一质量为、带电量为的电荷从点以沿轴正方向的速度进入电场，恰能从点进入磁场。已知点到轴的距离为到轴距离的一半，不计电荷所受重力，求：
(1)电荷进入磁场后第一次穿过轴的位置到点的距离；
(2)电荷从运动到所经历的时间。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设位移方向角为α，据题意有
设θ为速度方向角，则有tanθ=2tanα=1
可知
故电荷进入磁场时的速度
电荷在磁场中的轨迹如图
由
解得
则电荷第一次穿过y轴的位置P到O点的距离
（2）电荷在电场中作类平抛运动，有qE=ma
在电场中的运动时间
电荷在磁场中的运动时间
所求时间
利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区组成。发射区由正负离子源和半径均为r的两个圆形边界的磁场组成；建立以为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则两圆心分别位于和处，位于处；离子源单位时间内分别向圆形磁场发射质量均为m、速度均为、数量均为N、带电量分别为和的离子，且沿各方向均匀分布，其中沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相反、平行y轴的匀强电场组成，电场上下边界的距离为L，大小为。发电区由两足够长的平行金属板构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R，两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁场区域的大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。
(1)求磁感应强度大小B；
(2)从发出的离子沿着与x轴夹角为的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位置坐标；
(3)断开开关S，求两板间的最大电压；
(4)闭合开关S，调节负载R阻值，待电路稳定后，两板间电压，求此时负载消耗的电功率P。
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力可得
解得磁感应强度大小
（2）如图所示
沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出，可知离子回旋半径等于磁场区域半径，故离子经过圆形磁场后均沿y轴方向射出，根据几何关系有粒子射出圆形磁场边界的横坐标
纵坐标
（3）由动能定理，有
离子进入极板时的速度
S断开时，离子在两板间匀速运动
电压的最大值为
（4）当极板间电压为U时，用以补偿电场力的洛伦兹力所需的速度满足
即
离子做圆周运动的速度分量
其半径
即位置坐标的离子能打到极板形成电流
由式②知，其对应的角度即以及向x轴上方发射的离子均打不到极板
负载R的电流
负载消耗的电功率
如图所示，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R，bc=2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+q）以速度v0，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　）
A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为
B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R
C．矩形区域内粒子所经过的面积为
D．打到cd屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为
【答案】ACD
【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有，，解得，
沿着半径射入的粒子一定沿半径射出，根据几何关系可知，粒子在圆形磁场中的轨迹为四分之一圆弧，则运动时间为
解得，A正确，B错误；
C．结合上述可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，速度方向为任意方向，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，根据几何关系可知，沿平行于Oa方向射入的粒子打在b点，此时为最远路径，如图1所示，则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得，C正确；
D．打在cd边的轨迹如图2所示，打到c点的粒子速度方向与ad边垂直，是由f点射入的粒子。假设从e点射入的粒子正好打在d点，由于粒子半径与Od的长度相等，该方向的粒子的圆心角为。由图可知ef为打到cd边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。则打在cd边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为，D正确。
故选ACD。
【点睛】
如图所示，竖直平面与平面垂直，在平面左侧存在方向沿轴负方向的匀强磁场，右侧存在沿轴正方向的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为且范围均足够大，现有一带正电的粒子从平面上的点沿轴负方向射入左侧的匀强磁场后在两磁场中来回运动，忽略磁场边界效应，不计粒子重力，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影为一水平方向的直径，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。
故选A。
如图所示，在直角坐标系中的一、二、四象限中存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，半径为R的半圆ACO内部没有磁场。第四象限存在水平向左的匀强电场，大小为E。比荷为p的带电粒子（不计重力）从直径AO上任意一点以同样的速率垂直于AO射向圆弧边界，带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过O点。求：
(1)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)磁场区域的最小面积；
(3)若从O点以某一角度射出的粒子进入第四象限，经电场偏转，速度方向改变90°，到达Q点，其中OQ=L，求粒子从O到Q所用时间。
【答案】(1)R
(2)2πR2
(3)
【详解】（1）任意带电粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系得四边形O′A1A2A3为菱形，所以带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R。
（2）根据带电粒子的运动轨迹，可以判断磁场范围，如图所示
可知磁场最小面积为以半径2R的半圆面积，即
（3）建立如图所示坐标系x′Oy′，设初速度与x轴的夹角为α，由牛顿第二定律得
可得
把加速度正交分解有，
设粒子从O运动到Q用时t，在x′方向，粒子做匀减速直线运动到速度减为零，看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则有
x′方向上
y′方向上
依题意有
解得
题型3带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，包括场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
芯片科技是支撑数字经济、保障产业链安全、推动人工智能等前沿领域发展的“工业粮食”，影响着国家科技实力和核心竞争力。科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-离子注入器”构建了如下图所示的复合场质量为m的带电粒子运动引导装置。该高为H且底面半径为R圆柱形装置的中心轴与水平面成角为θ，点P是装置底面圆周上的一点，点Q是粒子目标汇聚点。借助一定的条件，在装置内部激发出平行于轴线且方向相同的电场和磁场，其中电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。现在以点P为初始位置，射入一个电荷量为e的电子，其初速度与水平地面平行。在只激发磁场时，电子出射点为P'（图中未标出），且恰好在垂直磁场方向内部完成了n（n>1）次完整的匀速圆周运动。当同时激发电场时，电子出射点不变，在垂直磁场方向仅完成一次完整的匀速圆周运动，并在点P'处脱离装置，进入匀速漂移管，最终击中点Q完成电子注入的模拟操作，电子重力忽略不计。求该电子：
(1)初速度v ；
(2)脱离装置后，沿轴向最大位移y；
(3)在一次实验中，由于系统不稳定导致预设粒子汇聚点Q沿轴向下移动了一小段距离，为了矫正误差，科技小组只在圆柱装置外加上场强为E 的垂直轴向的电场使得电子恰能击中点Q，此时从射入到击中点Q全过程中，电场力对其做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，电子射入装置后，在轴线法向做匀速圆周运动，由牛顿第二定律对电子
且
撤去电场时，电子沿轴向做匀速运动有
加上电场时，由牛顿第二定律有
此时有
解得
（2）加上电场后，电子脱离装置沿轴向有最大位移，沿轴向由动量定理
脱离装置后，电子将沿直线运动，由几何关系
解得
（3）由于电子恰好能击中Q，在轴法向上，由牛顿第二定律
且
装置外电场力做功
装置内电场力做功
全过程电场力做功
解得
一质量为、电荷量为的带电微粒在光滑绝缘水平面上运动，其速度可用图示的直角坐标系内的一个点表示，、分别为粒子速度沿两坐标轴的分量，微粒出发时点位于坐标原点。微粒所在空间存在平行于绝缘平面的有界匀强电场，电场强度大小为。微粒在电场中加速一段距离，点沿直线由点移动到点，微粒进入一竖直方向、大小为的匀强磁场，点沿以为圆心的圆弧移动到点。之后微粒进入同时存在匀强电场和匀强磁场区域，磁场的磁感应强度保持不变，点在以为圆心的半圆上移动到点，此时将微粒动能瞬间增加，点由点变到点，继续在以为圆心的圆周上移动，此后每次经过平行于轴的虚线时动能均瞬间增加，且点始终沿以为圆心的圆周移动。求∶
(1)微粒沿直线运动的距离；
(2)点由到的过程中微粒的运动时间；
(3)点再次回到点时微粒到出发点的距离
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）微粒在匀强电场中直线加速过程，由动能定理
得
（2）由图可知，P点由a移动到b过程，微粒在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，
可得
圆心角为
解得，
（3）P点由a移动到b过程
沿轴方向微粒运动距离
沿轴方向微粒运动距离
进入磁场与电场叠加区域后，点以为圆心移动，可知
微粒沿轴方向以速度做匀速运动，同时，以做匀速圆周运动。
假设经次加速点能回到点，则第次加速后，速度的水平分量为，应为正整数
得
此时
可得
设在点时，微粒的空间位置为，则微粒第次加速后回到点时，微粒恰好在点沿轴正向距离为的某位置；由到
可得
则再次回到点时，离出发点的距离为
如图所示，在光滑绝缘水平面的虚线ab左侧存在沿水平方向的匀强电场（电场未画出），M为虚线上一点，P、Q分别在虚线ab左侧和右侧，PM连线与虚线夹角为，PM距离为L。在虚线ab右侧存在垂直PM的匀强电场和竖直向下的匀强磁场，虚线两侧的电场强度和磁场磁感应强度大小都相同。一个带正电的小球质量为m、电荷量为q，从P点由静止释放沿直线运动，从M点以大小为的速度进入右侧的复合场后一直做直线运动，经过Q点撤去电场，小球垂直虚线回到虚线左侧，已知，，求：
(1)磁场的磁感应强度和匀强电场的电场强度；
(2)小球从M到Q的运动时间。
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）带电小球在虚线左侧做直线运动，受到的电场力qE0为恒力，竖直方向重力与地面弹力平衡，小球做初速度为0的匀加速直线运动，设经过M点的速度为v0，根据牛顿第二定律有
根据速度与位移的关系有
之后进入虚线右侧，在电场力和洛伦兹力作用下做直线运动，小球一定做匀速直线运动，则有qv0B=qE0
联立解得，
（2）小球从M到Q做匀速运动，时间设为t，则有x=v0t
撤去电场后小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，小球垂直虚线ab，如图所示
根据几何关系可知，圆周运动半径为R=xtanθ
小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
如图所示，空间某区域存在的竖直向下的匀强电场，电场强度E=0.1V/m，在电场中还存在4个匀强磁场区域，磁感应强度B=0.1T，方向垂直于纸面向里。一带负电的小球（可视作质点）从离磁场1上边界h=0.45m的A处自由下落，带电小球在这个有电场和磁场的区域运动。已知每个磁场宽度均为d=0.1m，两个磁场相距也为d=0.1m，带电小球质量为，小球带有的电荷量为，g取，不计空气阻力。求：
(1)小球刚进入磁场1时的速度大小及小球第一次离开磁场1时的速度大小；
(2)小球第一次穿出磁场1时速度与竖直方向夹角的正弦值；
(3)带电小球能回到与A同一高度处吗？如不能回到同一高度，请你通过计算加以说明；如能够回到同一高度，请求出从A处出发到第一次回到同一高度所通过的总路程（假设磁场和电场区域足够长，计算结果可以用带根号的式子表示）。
【答案】(1)，
(2)
(3)能，
【详解】（1）小球进入电场和磁场前做自由落体运动，根据动能定理有
解得
方向竖直向下。小球进入磁场1区域，由于mg=Eq
重力和电场力平衡，故小球做匀速圆周运动，速度大小不变，仍然为3m/s。
（2）结合上述，小球在磁场中做匀速圆周运动，则有
解得
设小球在磁场1中做圆周运动的圆心角为，其等于第一次穿出磁场1时速度与竖直方向夹角，则有
（3）小球在磁场之间做匀速直线运动，则磁场1、磁场2和磁场3中做圆周运动的半径相等，令前两段圆弧对接后所对的圆心角为，则有
三段圆弧对接后所对的圆心角为，则有
解得
故小球可以回到与A等高的位置。在三个磁场中运动的总路程为半个圆周长
小球在磁场1上边界的上方区域运动的总路程为
小球在磁场1和磁场2间的电场中做匀速直线运动，运动路程
同理得小球在磁场2和磁场3间的电场中的运动路程
则小球从A处出发到第一次回到同一高度所通过的总路程
下图为三个不同区域的电磁复合场情形。现让质量为、电荷量为的带正电颗粒从点以初速度与轴正向成射入宽度为的区域，重力加速度为。
(1)如图，区域I存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场，磁场和电场大小均未知。已知带电颗粒在区域做直线运动。求磁场和电场的大小；
(2)区域II存在一竖直平面内（方向向外）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场，其中，带电颗粒从区域II进入区域III时，恰好经点垂直于轴向轴负方向射入区域III。求区域II的宽度和磁场的大小；
(3)区域III存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场。其中，，求带电颗粒离轴的最远距离，及运动过程中能达到的最大速度。
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【详解】（1）经分析可知，颗粒做匀变速直线运动，根据共点力平衡，对颗粒，
解得，
（2）当粒子进入区域Ⅱ时，设颗粒与x轴的距离为y，由几何关系可知颗粒在区域Ⅱ中，竖直方向上有
设颗粒做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力
区域Ⅱ的宽度为L，由几何关系得，
解得，
（3）在区域Ⅲ中，竖直方向
将v0分解为水平向右的速度v1和斜向左下方的v2，使
解得，
设颗粒在区域Ⅲ中的运动可分解为水平方向以v1向右的匀速直线运动和线速度为v2的匀速圆周运动，设v2与水平方向的夹角为α，由几何关系有
设颗粒做匀速圆周运动的半径为R＇，由洛伦兹力提供向心力
设带电粒子离x轴的最远距离为Y，由几何关系有
可得
设最大速度为vm，即分析可知vm=v1+v2
解得
如图甲，磁透镜是利用磁聚焦现象制成的，在电子显微镜中具有非常重要的作用。现将其原理简化：质量为m、电荷量为的粒子从O点以与x轴正方向成θ角斜向上射入磁感应强度大小为B、方向沿x轴正方向的匀强磁场中，在洛伦兹力的作用下，粒子的轨迹为一条螺旋线，如图乙所示，不计粒子的重力，π已知。
(1)若已知该粒子在O点入射的速度大小为v且，再次回到x轴时，粒子与x轴交于P点，求经过多长时间粒子到达P点及P点与O点间的距离；
(2)若撤去磁场，并施加一与x轴正方向成60°且斜向下的匀强电场，当该粒子在O点入射的速度大小仍为v且，仍然与x轴交于P点，求该电场强度E的大小。
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）把v沿平行B和垂直B的两个方向分解为、
如图所示
粒子在垂直于B方向上以v2做匀速圆周运动，在平行B的方向上以v1做匀速直线运动。因此，当粒子恰好在垂直于B的方向上完成一次完整的圆周运动时，将第一次回到x轴。
根据牛顿第二定律有
解得
即
则O点到P点的距离为
可得
（2）在电场力的作用下，粒子沿初速度方向做类平抛运动，设运动到P点时间为t，有
沿初速度方向
沿电场方向
又
联立解得
现代科技中常用电场和磁场控制粒子的运动。如图，在平面直角坐标系xOy的第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第一、三、四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从x负半轴上坐标为的P点沿与x轴正向成角向第二象限内射出，初速度大小为，粒子以垂直y轴的方向首次进入磁场，粒子再次进电场时速度方向与初速度方向相同，不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)粒子从P点射出（记为第0次经过x轴）后，第6次经过x轴时的位置离坐标原点O的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设电场强度大小为，粒子第一次在电场中运动的时间为，将粒子在电场中的速度沿两坐标轴分解，则
根据牛顿第二定律，水平位移
联立解得
（2）设粒子第一次出电场的位置离坐标原点的距离为，则
由于粒子第二次进电场时速度方向与初速度同向，根据对称性可知，粒子在磁场中第一次经过轴时，速度与轴正向夹角为60°，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
解得
粒子第一次在磁场中运动的速度
根据洛伦兹力提供向心力
解得
（3）粒子第1次经过轴时位置离坐标原点的距离
根据对称性，粒子第2次经过轴时位置离坐标原点的距离为
假设粒子第二次经电场偏转后，从轴出电场，粒子在电场中运动的时间
则粒子沿轴正向运动的距离，假设成立
粒子第3次经过轴时位置离坐标原点的距离为
粒子第4次经过轴时位置离坐标原点的距离为
粒子第5次经过轴时位置离坐标原点的距离为
粒子第6次经过轴时位置离坐标原点的距离为
扇形聚焦回旋加速器的结构和其“回旋”的原理如图甲所示，将圆心为，半径为R的圆形区域等分成个扇形区域，相互间隔的个区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B，称为峰区域；另外个没有磁场的扇形区域称为谷区域，峰区域和谷区域相间分布。质量为、电荷量为的正离子正在以恒定速率v在某闭合轨道上做周期性运动，不计重力，不考虑相对论效应。
(1)当n=3时，如图甲所示，在一个峰区内粒子运动圆弧的圆心角为多少？
(2)当n=4时，粒子转一圈运动的总时间为多少？
(3)粒子运动速度的最大值与的关系？
【答案】(1)
(2)
(3)最大速度与无关
【详解】（1）圆形区域被等分成个扇形区域，时，峰区和谷区各3个相间分布，故在一个峰区粒子运动圆弧的圆心角为
（2）做辅助线如图，圆心角
粒子在四个磁场区域内的运动轨迹刚好组成一个完整的圆，洛伦兹力提供向心力，则有，
解得
粒子在磁场内的运动总时间
谷区每段直线长度
粒子做直线运动的时间
解得
粒子绕行一周的总时间
解得
（3）粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有
考虑对称性，画出临界轨迹，如下图所示
由几何关系可得
最大半径
解得，故最大速度与无关
如图所示，在坐标系中，在区域存在一匀强电场，电场强度大小为，方向沿轴负方向；在区域存在一匀强磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴正方向。一质量为、电荷量为的粒子从平面内的点沿轴正方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场。粒子在磁场中运动过程中，经过了轴正半轴上的点（图中未画出）。不计带电粒子的重力，求：
(1)粒子从点射出时的初速度大小；
(2)粒子运动过程中距离平面的最大距离；
(3)点到坐标原点的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有，，
联立解得
（2）粒子进入磁场，在平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
粒子运动过程中距离平面的最大距离为
又
联立解得
（3）粒子在平面内做匀速圆周运动的周期为
点到坐标原点的距离为
联立解得
如图所示，在Oxy坐标系的第一象限0≤x≤L=0.1m的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=103V/m，一挡板下端固定在x=0.2m处，其上有一小孔，挡板与x轴负方向夹角θ=53°，挡板右侧有一与挡板相切于小孔的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小，方向垂直纸面向里，一比荷为的带正电粒子从坐标原点处沿x轴正方向飞入电场区域，其恰好垂直挡板从小孔飞出，不计粒子重力。已知圆形磁场区域的半径，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)粒子飞入电场时的速度大小v0；
(2)粒子在磁场中运动的时间t；
【答案】(1)v0=10m/s
(2)
【详解】（1）根据题意画出粒子运动轨迹，如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，则出电场时有
沿电场方向有
垂直电场方向有
根据牛顿第二定律有
解得
（2）粒子飞出电场时的速度为
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
设粒子在磁场中转过的圆心角为α，且
解得
故粒子在磁场中运动的时间为
解得
如图所示，在直角坐标系Oxyz整个空间中有沿+z方向的匀强电场，在z=+d处有一边长为d的正方形荧光屏ABCD，AB边在xOz面内。坐标原点O处有一粒子源，能向xOy平面第一象限内各个方向均匀射出粒子，粒子的质量为m、电荷量为+q，初速度大小为v0，其中沿+y方向射出的粒子恰好打在荧光屏上D处。不计粒子的重力及粒子间相互作用力。
(1)求电场强度的大小E；
(2)若整个空间同时存在沿+z方向的匀强磁场，磁感应强度，求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度L；
(3)在（2）问的条件下，将荧光屏沿z轴方向平移至某位置，粒子初速度大小范围为0~v0，射出的粒子刚好有一半能打到荧光屏上，求荧光屏的坐标z。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子运动的加速度为a，运动到D点的时间为t1，则y方向
z方向，
解得
（2）设粒子在磁场中运动的半径为r，周期为T，粒子在磁场中的偏转角为θ，粒子的运动可以分解为xOy平面内的匀速圆周运动与沿+z方向的匀加速直线运动，则由牛顿第二定律得
解得
入射的粒子在xOy平面内偏转的轨迹如答图甲
则，
由几何关系得
解得
（3）入射速度v0与x轴成45°的粒子恰好击中荧光屏时，有一半被荧光屏吸收，设粒子从射出到击中荧光屏的最短时间为t2，粒子在xOy平面内偏转的轨迹如答图乙
则
射入的粒子击中荧光屏的运动时间可能是
荧光屏在z轴方向的坐标
解得
利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xoy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xoy平面内同时沿虚线夹角范围内各个方向发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与轴正方向夹角的最大值为，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值。且的离子恰好通过坐标为（，）的点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)求关系式中的值；
(2)为回收离子，在界面处放一竖直挡板，求离子打在挡板上时坐标的范围；
(3)在第二问条件下，求最先打在挡板上与最后打在挡板上的时间差。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由于的离子恰好通过坐标为（，）的点，此时离子的速度为，运动半径为
由牛顿第二定律得
解得
（2）对于任意的速度方向与轴成角的离子，设其在磁场中的运动半径为，如图所示
由牛顿第二定律得
且有
解得
故所有离子做圆周运动的轨道圆心均在界面上，且速度方向垂直于界面，如图
当时
故离子通过界面时坐标的最小值为
坐标的最大值为
则离子通过界面时坐标的范围为
（3）当在y轴右边时：打在挡板上匀速圆周运动轨迹圆心角为30°，这是打在挡板上粒子的最短时间tmin ，根据
解得
则周期
故有
当在y轴左边时：打在挡板上匀速圆周运动轨迹圆心角为150°，这是打在挡板上粒子的最短时间tmax ，故有
则粒子同时从O点出发最后打在挡板上和最先打在挡板的时间差为
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第7讲　带电粒子在复合场中的运动
题型1带电粒子在复合场运动的应用实例
1．质谱仪(如图)
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
2．回旋加速器(如图)
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置 原理图 规律
速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
速度选择器是质谱仪的重要组成部分，用于剔除速度不同的粒子，从而提高检测精度。如图所示，两极板间有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两板的长度和间距均足够大，虚线是电磁场的中心轴线。现有一束带负电的离子（不计重力）以的速度沿着虚线从左侧进入电磁场区域，其轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
物理学家霍尔在实验中发现，当电流垂直于磁场通过导体或半导体材料左右两个端面时，在材料的上下两个端面之间产生电势差。这一现象被称为霍尔效应，产生这种效应的元件叫霍尔元件。如图为霍尔元件的原理示意图，其霍尔电压与电流和磁感应强度的关系可用公式表示，其中叫该元件的霍尔系数。若该材料单位体积内自由电荷的个数为，每个自由电荷所带的电荷量为，根据你所学过的物理知识，判断下列说法正确的是（　　）
A．霍尔元件上表面电势一定高于下表面电势
B．式中霍尔系数可表示为
C．霍尔系数的单位是
D．公式中的指元件上下表面间的距离
某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ上。已知粒子重力可忽略不计，则（　　）
A．从P点进入磁场的粒子动量一定相等
B．从P点进入磁场的粒子速度一定相等
C．粒子的比荷越大，打到胶片上距离P点越远
D．打到胶片上距P越远的粒子运动总时间越长
上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反大小相等并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。
(3)在（2）条件下，电子以速度沿方向进入磁场，经过第个区域磁场用时多少。
如图所示，在平面内，以为圆心，为半径的圆弧与轴交于和，圆是以为直径的圆。在圆的半圆弧与圆的优弧之间存在磁感应强度为，方向垂直纸面向里的匀强磁场；半圆内部是无场区域；轴下方存在磁感应强度为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。在区域内，大量质量为，电荷量为且不计重力的粒子从第二象限沿轴正方向以初速度为射入磁场，经过磁场偏转后都能聚焦于轴上的某点（即为焦点）。
(1)请判断这些粒子的电性，并写出焦点的坐标；
(2)若某粒子打到焦点时，速度方向恰沿轴负方向，求该粒子射入磁场时到轴的距离；
(3)求粒子从出发到聚焦的过程中，速度方向偏转角度的最大值；
(4)接第（2）问，该粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力（比例系数已知），且发现该粒子再次到达轴时其轨迹与轴相切于点（图中未画出）。①求点到原点的位移大小；
②求粒子在点时的速度大小。
题型2带电粒子在组合场中的运动
1．两大偏转对比
匀强电场中的“电偏转” 匀强磁场中的“磁偏转”
力学特征 F电为恒力 v⊥B时，F＝qvB
运动规律 类平抛运动(合成与分解) 匀速圆周运动(v⊥B)　r＝ T＝
偏转情况 tan θ＝ θ＝·2π
动能是否变化 动能发生变化 动能不变
2.思维流程
如图所示，在平面内的第三象限存在沿轴正方向的匀强电场，场强为；在的区域存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向外。一质量为、带电量为的电荷从点以沿轴正方向的速度进入电场，恰能从点进入磁场。已知点到轴的距离为到轴距离的一半，不计电荷所受重力，求：
(1)电荷进入磁场后第一次穿过轴的位置到点的距离；
(2)电荷从运动到所经历的时间。
利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区组成。发射区由正负离子源和半径均为r的两个圆形边界的磁场组成；建立以为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则两圆心分别位于和处，位于处；离子源单位时间内分别向圆形磁场发射质量均为m、速度均为、数量均为N、带电量分别为和的离子，且沿各方向均匀分布，其中沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相反、平行y轴的匀强电场组成，电场上下边界的距离为L，大小为。发电区由两足够长的平行金属板构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R，两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁场区域的大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。
(1)求磁感应强度大小B；
(2)从发出的离子沿着与x轴夹角为的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位置坐标；
(3)断开开关S，求两板间的最大电压；
(4)闭合开关S，调节负载R阻值，待电路稳定后，两板间电压，求此时负载消耗的电功率P。
如图所示，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R，bc=2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+q）以速度v0，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　）
A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为
B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R
C．矩形区域内粒子所经过的面积为
D．打到cd屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为
如图所示，竖直平面与平面垂直，在平面左侧存在方向沿轴负方向的匀强磁场，右侧存在沿轴正方向的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为且范围均足够大，现有一带正电的粒子从平面上的点沿轴负方向射入左侧的匀强磁场后在两磁场中来回运动，忽略磁场边界效应，不计粒子重力，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，在直角坐标系中的一、二、四象限中存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，半径为R的半圆ACO内部没有磁场。第四象限存在水平向左的匀强电场，大小为E。比荷为p的带电粒子（不计重力）从直径AO上任意一点以同样的速率垂直于AO射向圆弧边界，带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过O点。求：
(1)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)磁场区域的最小面积；
(3)若从O点以某一角度射出的粒子进入第四象限，经电场偏转，速度方向改变90°，到达Q点，其中OQ=L，求粒子从O到Q所用时间。
题型3带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，包括场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
芯片科技是支撑数字经济、保障产业链安全、推动人工智能等前沿领域发展的“工业粮食”，影响着国家科技实力和核心竞争力。科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-离子注入器”构建了如下图所示的复合场质量为m的带电粒子运动引导装置。该高为H且底面半径为R圆柱形装置的中心轴与水平面成角为θ，点P是装置底面圆周上的一点，点Q是粒子目标汇聚点。借助一定的条件，在装置内部激发出平行于轴线且方向相同的电场和磁场，其中电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。现在以点P为初始位置，射入一个电荷量为e的电子，其初速度与水平地面平行。在只激发磁场时，电子出射点为P'（图中未标出），且恰好在垂直磁场方向内部完成了n（n>1）次完整的匀速圆周运动。当同时激发电场时，电子出射点不变，在垂直磁场方向仅完成一次完整的匀速圆周运动，并在点P'处脱离装置，进入匀速漂移管，最终击中点Q完成电子注入的模拟操作，电子重力忽略不计。求该电子：
(1)初速度v ；
(2)脱离装置后，沿轴向最大位移y；
(3)在一次实验中，由于系统不稳定导致预设粒子汇聚点Q沿轴向下移动了一小段距离，为了矫正误差，科技小组只在圆柱装置外加上场强为E 的垂直轴向的电场使得电子恰能击中点Q，此时从射入到击中点Q全过程中，电场力对其做的功W。
一质量为、电荷量为的带电微粒在光滑绝缘水平面上运动，其速度可用图示的直角坐标系内的一个点表示，、分别为粒子速度沿两坐标轴的分量，微粒出发时点位于坐标原点。微粒所在空间存在平行于绝缘平面的有界匀强电场，电场强度大小为。微粒在电场中加速一段距离，点沿直线由点移动到点，微粒进入一竖直方向、大小为的匀强磁场，点沿以为圆心的圆弧移动到点。之后微粒进入同时存在匀强电场和匀强磁场区域，磁场的磁感应强度保持不变，点在以为圆心的半圆上移动到点，此时将微粒动能瞬间增加，点由点变到点，继续在以为圆心的圆周上移动，此后每次经过平行于轴的虚线时动能均瞬间增加，且点始终沿以为圆心的圆周移动。求∶
(1)微粒沿直线运动的距离；
(2)点由到的过程中微粒的运动时间；
(3)点再次回到点时微粒到出发点的距离
如图所示，在光滑绝缘水平面的虚线ab左侧存在沿水平方向的匀强电场（电场未画出），M为虚线上一点，P、Q分别在虚线ab左侧和右侧，PM连线与虚线夹角为，PM距离为L。在虚线ab右侧存在垂直PM的匀强电场和竖直向下的匀强磁场，虚线两侧的电场强度和磁场磁感应强度大小都相同。一个带正电的小球质量为m、电荷量为q，从P点由静止释放沿直线运动，从M点以大小为的速度进入右侧的复合场后一直做直线运动，经过Q点撤去电场，小球垂直虚线回到虚线左侧，已知，，求：
(1)磁场的磁感应强度和匀强电场的电场强度；
(2)小球从M到Q的运动时间。
如图所示，空间某区域存在的竖直向下的匀强电场，电场强度E=0.1V/m，在电场中还存在4个匀强磁场区域，磁感应强度B=0.1T，方向垂直于纸面向里。一带负电的小球（可视作质点）从离磁场1上边界h=0.45m的A处自由下落，带电小球在这个有电场和磁场的区域运动。已知每个磁场宽度均为d=0.1m，两个磁场相距也为d=0.1m，带电小球质量为，小球带有的电荷量为，g取，不计空气阻力。求：
(1)小球刚进入磁场1时的速度大小及小球第一次离开磁场1时的速度大小；
(2)小球第一次穿出磁场1时速度与竖直方向夹角的正弦值；
(3)带电小球能回到与A同一高度处吗？如不能回到同一高度，请你通过计算加以说明；如能够回到同一高度，请求出从A处出发到第一次回到同一高度所通过的总路程（假设磁场和电场区域足够长，计算结果可以用带根号的式子表示）。
下图为三个不同区域的电磁复合场情形。现让质量为、电荷量为的带正电颗粒从点以初速度与轴正向成射入宽度为的区域，重力加速度为。
(1)如图，区域I存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场，磁场和电场大小均未知。已知带电颗粒在区域做直线运动。求磁场和电场的大小；
(2)区域II存在一竖直平面内（方向向外）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场，其中，带电颗粒从区域II进入区域III时，恰好经点垂直于轴向轴负方向射入区域III。求区域II的宽度和磁场的大小；
(3)区域III存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场。其中，，求带电颗粒离轴的最远距离，及运动过程中能达到的最大速度。
如图甲，磁透镜是利用磁聚焦现象制成的，在电子显微镜中具有非常重要的作用。现将其原理简化：质量为m、电荷量为的粒子从O点以与x轴正方向成θ角斜向上射入磁感应强度大小为B、方向沿x轴正方向的匀强磁场中，在洛伦兹力的作用下，粒子的轨迹为一条螺旋线，如图乙所示，不计粒子的重力，π已知。
(1)若已知该粒子在O点入射的速度大小为v且，再次回到x轴时，粒子与x轴交于P点，求经过多长时间粒子到达P点及P点与O点间的距离；
(2)若撤去磁场，并施加一与x轴正方向成60°且斜向下的匀强电场，当该粒子在O点入射的速度大小仍为v且，仍然与x轴交于P点，求该电场强度E的大小。
现代科技中常用电场和磁场控制粒子的运动。如图，在平面直角坐标系xOy的第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第一、三、四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从x负半轴上坐标为的P点沿与x轴正向成角向第二象限内射出，初速度大小为，粒子以垂直y轴的方向首次进入磁场，粒子再次进电场时速度方向与初速度方向相同，不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)粒子从P点射出（记为第0次经过x轴）后，第6次经过x轴时的位置离坐标原点O的距离。
扇形聚焦回旋加速器的结构和其“回旋”的原理如图甲所示，将圆心为，半径为R的圆形区域等分成个扇形区域，相互间隔的个区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B，称为峰区域；另外个没有磁场的扇形区域称为谷区域，峰区域和谷区域相间分布。质量为、电荷量为的正离子正在以恒定速率v在某闭合轨道上做周期性运动，不计重力，不考虑相对论效应。
(1)当n=3时，如图甲所示，在一个峰区内粒子运动圆弧的圆心角为多少？
(2)当n=4时，粒子转一圈运动的总时间为多少？
(3)粒子运动速度的最大值与的关系？
如图所示，在坐标系中，在区域存在一匀强电场，电场强度大小为，方向沿轴负方向；在区域存在一匀强磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴正方向。一质量为、电荷量为的粒子从平面内的点沿轴正方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场。粒子在磁场中运动过程中，经过了轴正半轴上的点（图中未画出）。不计带电粒子的重力，求：
(1)粒子从点射出时的初速度大小；
(2)粒子运动过程中距离平面的最大距离；
(3)点到坐标原点的距离。
如图所示，在Oxy坐标系的第一象限0≤x≤L=0.1m的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=103V/m，一挡板下端固定在x=0.2m处，其上有一小孔，挡板与x轴负方向夹角θ=53°，挡板右侧有一与挡板相切于小孔的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小，方向垂直纸面向里，一比荷为的带正电粒子从坐标原点处沿x轴正方向飞入电场区域，其恰好垂直挡板从小孔飞出，不计粒子重力。已知圆形磁场区域的半径，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)粒子飞入电场时的速度大小v0；
(2)粒子在磁场中运动的时间t；
如图所示，在直角坐标系Oxyz整个空间中有沿+z方向的匀强电场，在z=+d处有一边长为d的正方形荧光屏ABCD，AB边在xOz面内。坐标原点O处有一粒子源，能向xOy平面第一象限内各个方向均匀射出粒子，粒子的质量为m、电荷量为+q，初速度大小为v0，其中沿+y方向射出的粒子恰好打在荧光屏上D处。不计粒子的重力及粒子间相互作用力。
(1)求电场强度的大小E；
(2)若整个空间同时存在沿+z方向的匀强磁场，磁感应强度，求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度L；
(3)在（2）问的条件下，将荧光屏沿z轴方向平移至某位置，粒子初速度大小范围为0~v0，射出的粒子刚好有一半能打到荧光屏上，求荧光屏的坐标z。
利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xoy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xoy平面内同时沿虚线夹角范围内各个方向发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与轴正方向夹角的最大值为，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值。且的离子恰好通过坐标为（，）的点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)求关系式中的值；
(2)为回收离子，在界面处放一竖直挡板，求离子打在挡板上时坐标的范围；
(3)在第二问条件下，求最先打在挡板上与最后打在挡板上的时间差。
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