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第17讲　动力学、动量和能量观点的应用
一、力的三个作用效果与五个规律
分类 对应规律 公式表达
力的瞬时作用效果 牛顿第二定律 F合＝ma
力对空间积累效果 动能定理 W合＝ΔEk W合＝mv22－mv12
机械能守恒定律 E1＝E2 mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22
力对时间积累效果 动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
二、碰撞中常见的力学模型及其结论
1．碰撞
(1)概念：碰撞是指物体间的相互作用持续时间极短，而物体间相互作用力很大的现象．
(2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力 外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．
(3)分类
动量是否守恒 机械能是否守恒
弹性碰撞 守恒 守恒
非完全弹性碰撞 守恒 有损失
完全非弹性碰撞 守恒 损失最大
2.碰撞后运动状态可能性判定
(1)动量制约：即碰撞过程中必须受到动量守恒定律的制约，总动量的方向恒定不变，即p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能制约：即在碰撞过程中，碰撞双方的总动能不会增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′
(3)运动制约：即碰撞要受到运动的合理性要求的制约，如果碰前两物体同向运动，则后面物体速度必须大于前面物体的速度，碰撞后原来在前面的物体速度必增大，且大于或等于原来在后面的物体的速度，否则碰撞没有结束；如果碰前两物体是相向运动，而碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非碰后两物体速度均为零．
模型名称 模型描述 模型特征 模型结论
“速度交换”模型 相同质量的两球发生弹性正碰 m1＝m2，动量、动能均守恒 v1′＝0，v2′＝v0(v2＝0，v1＝v0)
（2025·浙江·一模）某游戏装置的竖直截面如图所示，装置由足够长的光滑水平轨道BC，圆心角均为、半径的圆弧轨道CD、EF，长为（可调节）以的速率逆时针方向转动的传送带DE，以及长为的水平平台FG组成，平台右侧为竖直挡板，物块与竖直挡板的碰撞为弹性碰撞，圆弧轨道CD、EF与传送带DE分别相切于D、E两点，圆弧轨道EF与平台FG可随长度的变化而调整相应位置。一质量的物块a与轻质弹簧接触但不连接，静止于水平面上。现一质量与物块a相同的物块b用一长度为的轻绳悬挂于P点，从与竖直方向成的A位置以垂直轻绳方向的初速度开始运动，当其运动至P点正下方B处时（物块b恰好不与地面接触），轻绳与P点正下方处的一钉子作用而断裂，物块b继续向右运动压缩弹簧。当物块a与弹簧分离后立即撤去弹簧，物块a滑上圆弧轨道CD。已知物块a与传送带DE及平台FG间的动摩擦因数均为，其他摩擦和阻力均不计，各物块均可视为质点，弹簧处于弹性范围内，，，重力加速度大小g取。求：
(1)轻绳即将断裂时的张力大小；
(2)弹簧被压缩过程中的最大弹性势能；
(3)若物块a在运动过程中不脱离轨道，且不再与物块b碰撞，求传送带的长度的取值范围。
【答案】(1)
(2)2.7J
(3)
【详解】（1）设物块b摆至最低点的速度为，根据动能定理有
解得
对b受力分析有
得
（2）a、b共速时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒
则解得
由能量守恒
（3）当弹簧原长时物块a、b分离，速度分别为v2、v3，根据动量守恒，机械能守恒
解得物块a、b速度交换，则
分两种情况讨论①物块a恰好能不脱离EF，则在E点
则
从C到E由动能定理
则
此时物块a恰好能不脱离EF时能滑上FG平台，且停在平台上，则在平台上滑行的路程为x，由动能定理
则
恰好与竖直挡板碰撞后停在F点，因此能滑上平台FG不会从EF返回
②物块a恰好能首次运动至F点停在平台上，物块a从C运动至F点由动能定理
则
综述得物块a在运动过程中不脱离轨道，传送带的长度的取值范围为
（2025·浙江·二模）如图所示，倾角α=37°的斜面AB通过平滑的小圆弧与水平直轨道BC连接，BC右端与顺时针转动的传送带相连，DE为水平长直轨道，左端与该传送带相连，右端与半径为R=0.4m的竖着的光滑半圆弧轨道EF相切，轨道最高点左侧有一小车放置在足够长的水平直轨道GH，小车右侧与F点相齐平，小车左侧安装了一个轻弹簧装置（质量不计）。DE轨道以及传送带长度均为L=1m，DE段铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1=0.2x+0.2（x表示DE上一点到D点的距离）。物块与AB、传送带和小车上表面之间（除弹簧原长部分外）的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。现在一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从斜面上某点静止下滑。已知小车质量M=3kg， d=1.2m， sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)物块恰好到达F点，求物块进入圆弧E点时对轨道的压力；
(2)若物块释放的高度为3m，为让物块能到达F点，求传送带的转动速度至少多大；
(3)物块滑上小车后，与弹簧碰撞时机械能无损失，若小车撞上弹簧弹性势能超过18J时会触发机关把物块锁定，反之，物块被弹回，为使物块最终停留在小车上，求物块到达F点时的速度应满足的条件。
【答案】(1)60N；方向竖直向下
(2)
(3)
【详解】（1）恰好过F点，则满足
解得vF=2m/s
E到F 由动能定理
解得
在E点，由牛顿第二定律
解得FN = 60N
根据牛顿第三定律得，对轨道压力 60N，方向竖直向下。
（2）D到E 摩擦力做功
由 （1）知，物块能到达F点，E点速度至少，由动能定理
解得
物体斜面上下滑到C点，则
解得
假如一直加速，到D点速度为
所以物块在传送带先加速再匀速，传送带的速度至少。
（3）过F点且挤压弹簧锁定
由动量守恒和能量关系可得，
可得
过F点挤压弹簧弹回共速在小车右侧
，
可得
则
（2025·浙江宁波·三模）某游戏装置如图所示，水平传送带左端点和右端点分别与两个光滑水平台面平滑对接，A、两点间的距离。左侧水平台面上有一被压缩的弹簧，弹簧的左端固定，右端与一质量的滑块接触（与弹簧不栓接，且滑上传送带前已经脱离弹簧），与传送带间的动摩擦因数。右侧水平台面上有一倾角为，高的固定光滑斜面（水平台面与斜面底端用平滑小圆弧连接），在斜面左侧水平台面上放置一质量也为的相同滑块，右侧固定一上表面光滑且很大的水平桌面。桌面上放置一质量，长的薄木板（厚度不计），木板左端点与桌面左端相齐、并与斜面顶端点等高，且间距。游戏开始，将从压缩弹簧的右端由静止释放，与静止在水平台面上的发生碰撞后粘在一起组成滑块，离开斜面后将在木板的上表面与木板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），每次碰撞前后瞬间，沿竖直方向的分速度大小不变、方向反向。P、Q、W均可视为质点，不计空气阻力。在某次游戏中，恰好击中木板的中点。
(1)求离开点时的速度大小；
(2)若传送带不动，求弹簧最初储存的弹性势能；若传送带转动，则弹簧最初储存的弹性势能的大小范围；
(3)W击中木板中点后瞬间，和木板的速度分别为多大；
(4)若落在桌面上时不反弹，则在桌面上的落点与桌面左端间的距离为多少。
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，
(4)
【详解】（1）滑块在离开D点后做斜抛运动，水平位移为，且光滑斜面倾角为，滑块离开D点后水平和竖直方向的速度分别为、，则
根据斜抛运动特点，有，
得
则离开点时的速度大小为
（2）设、碰前的速度，碰后的速度为。根据机械能和动量守恒，有，
代入数据得
①传送带不动
由动能定理得
代入数据得
②传送带转动
若是逆时针转动，由于的运动与①情况相同，则弹簧最初储存的弹性势能也为。
若是顺时针转动，被加速，当在传送带上全程被加速时，对应的弹簧最初储存的弹性势能最小。由动能定理得
代入数据得
所以，传送带转动时，弹簧最初储存的弹性势能至少为1.6J。
（3）击中木板中点后瞬间，和木板的速度分别为和，的水平、竖直分速度为，。由斜抛运动规律、水平方向动量守恒及碰撞前后动能不变，可知，
得
板的速度
的速度为
（4）当滑块落在木板中点碰后上升到最大高度的时间为
则，滑块与木板碰撞后反弹再落到碰前高度时，与木板的水平位移差为
落点距E点距离为
（2025·浙江金华·三模）如图所示，一倾角为的斜面AB与水平面BCD在B点平滑相接，圆轨道最低点为C（稍有错开），E为最高点，半径，CD段长L=1.275m，D端与一足够长的光滑斜面平滑相接。质量的小物块1从斜面顶点A以的速度水平向右抛出，落在斜面上的P点，假设小物块1落到P点前后，平行斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度立即变为零。在CD段距离C点x处有一与物块1完全相同的小物块2，两物块相碰后立即粘连在一起。已知小物块1第一次过圆轨道最高点E时的速度为，两小物块与CD段的动摩擦因数均为，轨道其余部分均光滑，调整小物块2与C点间的距离x，使得小物块合体最终停在CD上的某点M且全程不脱离轨道（，，），求：
(1)小物块1第一次运动到C点时对轨道的压力；
(2)小物块1在斜面上的落点P距离水平面的高度h；
(3)M与C点间的距离s与x的关系。（结果用x表示）
【答案】(1)，方向竖直向下
(2)
(3)见解析
【详解】（1）小物块1从E→C过程，根据动能定理有
小物块1在C点，根据牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律，物块对轨道的压力，方向竖直向下。
（2）小物块1从A→P过程做平抛运动，则有
在P点，将速度沿斜面与垂直于斜面分解，则有
小物块1从P→C过程，根据动能定理有
结合上述解得
（3）两物块相碰后立即粘连在一起，根据动量守恒定律有
则有
即碰后两物块总动能变为碰前一半
若时，小物块第一次过D点前就停止，则有
解得（）
若时，小物块第二次过D点后返回C点前停止，则有
解得（）
（2024·浙江·二模）如图所示为半径的四分之一竖直圆弧轨道AB、传送带BC、水平轨道CDE平滑连接组成的玩具轨道模型，E端的竖直挡板上固定有劲度系数为 的轻质弹簧。现将质量 的小物块a从圆心O等高处A点静止释放，经过水平传送带BC后，与静止在轨道D处，质量也为m的物块b发生弹性碰撞。初始时b与弹簧接触但不粘连。已知传送带的长度 ，以 顺时针匀速转动，CD 之间的距离 ，滑块与传送带间的动摩擦因数 ，其余部分均光滑，物块可视为质点，弹簧振子做简谐运动的周期 ，（k为弹簧的劲度系数）。求：
(1)滑块a滑到圆轨道最低点 B 点时受到的支持力大小；
(2)a、b两物块第一次和第三次碰撞的时间间隔（可用π表示）；
(3)①物块a第一次滑过传送带系统摩擦产生的热量
②物块a从静止释放到两物块第 n次相碰时，系统摩擦产生的热量
【答案】(1)3N
(2)
(3)①；
②若碰撞次数为奇数：;
若碰撞次数为偶数:
【详解】（1）滑块a从A滑到B根据动能定理，有
解得
在B点，根据牛顿第二定律，有
代入数据解得
（2）物块滑到传送带上时，根据牛顿第二定律，有
解得加速度为
当物块速度减为4m/s时，根据位移-时间公式
解得运动的位移为
由此可知物块在传送带上运动时将会与传送带共速，即将以第一次碰物块，因为物块a与物块b发生弹性碰撞，满足动量守恒和能量守恒，有
解得
静止，作简谐运动，b再次回到D点所用的时间为
接下来物块b与a第二次碰撞，由上分析可知，、碰后交换速度，a以4m/s向左滑上传送带，速度减为零时，在传送带上向左运动的位移为
根据运动的对称性可知以向右离开传送带，再次与b发生碰撞，从a开始向左运动到第三次与b发生碰撞，所经历的时间为
所以a、b两物块第一次和第三次碰撞的时间间隔为
（3）①物块a第一次与传送带共速的时间为t，则有
解得
物块a运动的位移为
传送带运动的位移为
物块a相对传送带运动的位移为
联立解得物块a第一次滑过传送带系统摩擦产生的热量
②由上分析可知，b与a第二次碰撞，a、b碰后交换速度，a以4m/s向左滑上传送带，速度减为零时，所用的时间为
向左运动的位移为
传送带运动的位移为
此过程的相对位移为
物块反向加速时与传送带产生的相对位移为
这个过程产生的热量为
分类讨论：
若碰撞次数为奇数
若碰撞次数为偶数
（2024·浙江嘉兴·一模）如图所示是某种滑块运动装置，长度的传送带，以速度向左匀速传动，竖直平面内半径的圆型光滑管道固定在水平地面上，左侧凹槽内有总质量的滑板，滑板由水平板和四分之一圆弧板两部分构成，水平板上表面平直粗糙，长度，圆弧板表面光滑，半径，距离滑板左端处有一锁定装置K，滑板一旦碰到K就被锁定，速度瞬间为0。现有一质量的滑块，从传送带的右侧以速度冲上传送带，接着进入圆管完成圆周运动后从E点滑上滑板。已知滑块与传送带之间的动摩擦因数，滑块与滑板水平段之间的动摩擦因数，其它阻力忽略不计，滑块可以视为质点，A、B、C、E在同一水平面，接触面均平滑连接。求：
(1)要使滑块能滑上滑板，滑块在B点的最小速度；
(2)若滑块能滑上滑板，求滑块在E点的速度与初速度之间的函数关系；
(3)若滑块以速度滑上滑板，滑块在滑板上运动过程中产生的内能是多少？
【答案】(1)
(2)，
，
，
(3)
【详解】（1）要使滑块能滑上滑板，则滑块可以通过点即可，所以滑块到达点的最小速度为
从到达点过程，根据动能定理
代入数据，解得
（2）滑块冲上传送带，在传送带上，根据牛顿第二定律
解得，摩擦力产生的加速度大小为
若，则滑块在传送带上加速，为使滑块可以到达点，则
解得
若加速后滑块恰好和传送带共速，则
解得
若滑块在传送带上一直减速，当减速后恰好与传送共速时
解得
即，当时，根据动能定理
解得
当时，滑块滑离传送带时和传送带共速，根据动能定理
解得
当时，根据动能定理
解得
所以，滑块在E点的速度与初速度之间的函数关系为
，
，
，
（3）假设滑块和滑板在碰到K前可以共速，则根据动量守恒
对滑板根据动能定律
联立，解得
所以，假设不成立。即碰到K滑块和滑板还没有共速，设此时滑块的速度大小为，滑板的速度大小为，根据动量守恒
对滑板，根据动能定理
联立，解得
，
此过程产生的内能为
此后，滑板碰到K后静止，滑块的动能全部转化为内能，则
滑块在滑板上运动过程中产生的内能是
（2024·浙江·模拟预测）某装置竖直截面如图，半径为R的圆形光滑轨道AB固定在水平光滑地面上，紧靠着一块长为L、厚度为h、质量为M的平板，其上表面与圆形轨道的B点相切，挡板上端E点与平板上表面等高，且与B点水平距离为d。该装置可对平板进行锁定或解锁操作，现将一质量为m的小滑块从圆形轨道任一点静止释放后滑上平板。已知R=5m，d=10m，L=7.5m，h=1.25m，M=m=0.5kg，平板上表面由特殊材料制成，左侧区域粗糙、右侧区域光滑，平板下表面与水平光滑地面无摩擦。滑块视为质点，不计空气阻力。
(1)锁定平板，则滑块从P点静止释放后恰好能滑到平板上离B点处，图中∠POB为，求滑块
①经过B点时受到的支持力FN；
②与平板上表面左侧区域的动摩擦因数。
(2)解锁平板，则滑块滑上平板并带动平板一起运动，平板到达EJ即被锁定。
①若滑块从A点静止释放，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
②若滑块从E点飞出后，在地面上的落点距E点的水平距离x在1m到2m之间，求滑块在圆形轨道上静止释放的高度范围。
【答案】(1)①，竖直向上，②
(2)①，②
【详解】（1）①由动能定理
可得
根据牛顿第二定律
解得
方向竖直向上；
②由匀减速直线运动规律
解得
（2）①由动能定理
解得
由动量守恒定律
解得
由能量守恒定律
②由上面的结果推理可知，当滑块在A点静止释放，恰好在离平板左端的L处达到共速，同时平板的运动距离
由此可知，平板刚好与挡板接触。因此，在A点以下释放将一定会与平板共速，且共速时平板还将运动一段距离，当平板到达挡板并被锁定后，滑块继续滑动，可能会从E点飞出，设滑块与平板共速时的相对平板的位移为，根据动能定理
根据动量守恒定律
由能量守恒定律
根据运动规律
解得
因为，故滑块在圆形轨道上静止释放的高度范围
（2024·浙江绍兴·一模）如图所示，压缩后处于锁定状态的弹簧左端与墙壁相连，右端与一质量为m = 1.1 kg的滑块接触而不粘连，AB段光滑。一质量为M = 2.2 kg的小车上表面水平，动摩擦因数μ = 0.4，在小车左侧上方固定一半径R = 2.75 m的光滑圆弧轨道CD，圆心角θ = 37°，在末端D点与小车平滑连接。C点与B点的竖直高度差h = 0.45 m；D点与圆心O在同一竖直线上，到小车右端F点距离L = 3 m，初始时小车静止在光滑水平地面上，左端与墙壁接触，F点与平台GJ等高，且F点到平台左端G点的水平距离x可调。现解除弹簧锁定，滑块被弹出后恰好能从C点切入圆弧轨道。假定弹簧的弹性势能全部转化为滑块动能，滑块运动过程中可看作质点，求：
(1)滑块由B运动到C的时间t；
(2)弹簧锁定时储存的弹性势能大小Ep；
(3)滑块在圆弧轨道末端D点时，对轨道的压力的大小FN；
(4)若0.25 m ≤ x ≤ 1.25 m，小车与平台GJ碰撞后立即静止，写出滑块刚滑到G点时的速度vG大小与x的关系。
【答案】(1)t = 0.3 s
(2)Ep = 8.8 J
(3)FN = 25.4 N
(4)（0.25 m ≤ x < 1.00 m）或（1.00 m ≤ x ≤ 1.25 m）
【详解】（1）B到C过程为平抛运动，则
得
（2）由平抛运动规律可知，在C点时，去竖直方向速度
恰好能从C点切入圆弧轨道，由几何关系可知
由功能关系得
（3）从C到D过程，由动能定理
解得
在D点，由牛顿第二定律可知
根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力
（4）滑块滑上车后，滑块与车动量守恒，若最终共速
解得
由功能关系可知
解得
对小车，动能定理有
解得
况1：当0.25 m ≤ x < 1.00 m时，未共速，小车已碰到平台GJ，滑块全程减速，由速度位移公式
解得
况2：当1.00 m ≤ x ≤ 1.25 m时，小车碰到平台GJ前已共速，即
（2024·浙江宁波·一模）如图所示，某固定装置由长度、倾角的倾斜传送带，圆心角和、半径均为的两圆弧管道组成，轨道问平滑连接。在轨道末端的右侧的光滑水平面上紧靠着轻质小车，小车上表面与所在的水平面平齐，右端放置质量的物块。质量的物块从传送带点由静止释放，经过滑出圆弧管道。已知传送带由电动机带动，以速度顺时针转动，与传送带及小车间的动摩擦因数均为与小车间的动摩擦因数，其它轨道均光滑，物块均可视为质点，不计空气阻力，。
(1)求物块在传送带上运动的时间；
(2)为维持传送带能匀速运送物块从点到点，求电动机多做的功；
(3)求物块到达点时对管道的作用力；
(4)要使物块恰好不与物块发生碰撞，求小车长度的最小值。
【答案】(1)1s
(2)96J
(3)10N
(4)
【详解】（1）对物块，受重力、支持力和摩擦力，沿斜面方向，根据牛顿第二定律，有
解得
设小物块一直加速到传送到上端时，其速度为，根据速度-位移公式，有
解得
所以物块在传送带上一直做匀加速直线运动，根据速度-时间公式
解得物块在传送带上运动的时间
（2）设传送带的位移为，则有
物块相对传送带的位移为
摩擦产生的热量为
解得
电动机多做的功
解得
（3）由题意可知圆弧轨道光滑，所以从到，由动能定理有
解得
在D点，根据牛顿第二定律，有
解得
由牛顿第三定律可知，物块a对管道的作用力等于管道对物块的支持力，所以物块到达点时对管道的作用力为，方向竖直向上。
（4）当物块滑上小车后，由于
所以小车与物块保持相对静止，而物块相对于小车发生滑动。
当两者速度相同时，为物块与物块相碰的临界状态，其运动示意图如图所示
该过程由动量守恒
根据能量守恒
解得
（2024·浙江·一模）如图所示，质量m1=0.1kg的小物块P从静止开始沿斜面AB和水平面BC运动到C点，与C点处质量m2=0.3kg的小物块Q发生碰撞，碰撞后，小物块Q从C点飞出，运动到水平地面上的D点。斜面AB与水平面之间的夹角为θ，且tanθ=0.5，斜面AB与水平面BC平滑连接，动摩擦系数μ均为0.2，水平面BC的长为xBC=0.3m，C点距离水平地面的高度H=0.6m。（不计空气阻力，取重力加速度g为10m/s2）。
(1)若小物块Q从C点运动到D点的水平距离xCD=0.6m，求小物块Q从C点抛出的初速度vC的大小；
(2)若小物块P从h=1.7m处下滑，且最终xCD=0.6m，计算并回答：小物块P、Q发生的是否为弹性碰撞？
(3)若小物块P、Q发生的是弹性碰撞，当释放高度h满足什么条件时，小物块Q能从C点飞出，而小物块P不会从C点飞出？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）在方向上
在方向上
解得
（2）由动能定理
解得
设碰撞后小物块和的速度大小分别为和。
由动量守恒可得
由机械能守恒可得
可得
因，所以、发生的是弹性碰撞；
（3）第一种情况：小物块到达点时，速度恰好为0，由动能定理
可得
第二种情况：碰撞后，小物块反弹回斜面上，第二次下滑回到点时速度为0。
小物块第一次从到的运动过程中，由动能定理得
碰撞时，动量守恒和能量守恒
小物块第二次回到斜面AB，由动能定理
解得
因此，的取值为。
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第17讲　动力学、动量和能量观点的应用
一、力的三个作用效果与五个规律
分类 对应规律 公式表达
力的瞬时作用效果 牛顿第二定律 F合＝ma
力对空间积累效果 动能定理 W合＝ΔEk W合＝mv22－mv12
机械能守恒定律 E1＝E2 mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22
力对时间积累效果 动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
二、碰撞中常见的力学模型及其结论
1．碰撞
(1)概念：碰撞是指物体间的相互作用持续时间极短，而物体间相互作用力很大的现象．
(2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力 外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．
(3)分类
动量是否守恒 机械能是否守恒
弹性碰撞 守恒 守恒
非完全弹性碰撞 守恒 有损失
完全非弹性碰撞 守恒 损失最大
2.碰撞后运动状态可能性判定
(1)动量制约：即碰撞过程中必须受到动量守恒定律的制约，总动量的方向恒定不变，即p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能制约：即在碰撞过程中，碰撞双方的总动能不会增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′
(3)运动制约：即碰撞要受到运动的合理性要求的制约，如果碰前两物体同向运动，则后面物体速度必须大于前面物体的速度，碰撞后原来在前面的物体速度必增大，且大于或等于原来在后面的物体的速度，否则碰撞没有结束；如果碰前两物体是相向运动，而碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非碰后两物体速度均为零．
模型名称 模型描述 模型特征 模型结论
“速度交换”模型 相同质量的两球发生弹性正碰 m1＝m2，动量、动能均守恒 v1′＝0，v2′＝v0(v2＝0，v1＝v0)
（2025·浙江·一模）某游戏装置的竖直截面如图所示，装置由足够长的光滑水平轨道BC，圆心角均为、半径的圆弧轨道CD、EF，长为（可调节）以的速率逆时针方向转动的传送带DE，以及长为的水平平台FG组成，平台右侧为竖直挡板，物块与竖直挡板的碰撞为弹性碰撞，圆弧轨道CD、EF与传送带DE分别相切于D、E两点，圆弧轨道EF与平台FG可随长度的变化而调整相应位置。一质量的物块a与轻质弹簧接触但不连接，静止于水平面上。现一质量与物块a相同的物块b用一长度为的轻绳悬挂于P点，从与竖直方向成的A位置以垂直轻绳方向的初速度开始运动，当其运动至P点正下方B处时（物块b恰好不与地面接触），轻绳与P点正下方处的一钉子作用而断裂，物块b继续向右运动压缩弹簧。当物块a与弹簧分离后立即撤去弹簧，物块a滑上圆弧轨道CD。已知物块a与传送带DE及平台FG间的动摩擦因数均为，其他摩擦和阻力均不计，各物块均可视为质点，弹簧处于弹性范围内，，，重力加速度大小g取。求：
(1)轻绳即将断裂时的张力大小；
(2)弹簧被压缩过程中的最大弹性势能；
(3)若物块a在运动过程中不脱离轨道，且不再与物块b碰撞，求传送带的长度的取值范围。
（2025·浙江·二模）如图所示，倾角α=37°的斜面AB通过平滑的小圆弧与水平直轨道BC连接，BC右端与顺时针转动的传送带相连，DE为水平长直轨道，左端与该传送带相连，右端与半径为R=0.4m的竖着的光滑半圆弧轨道EF相切，轨道最高点左侧有一小车放置在足够长的水平直轨道GH，小车右侧与F点相齐平，小车左侧安装了一个轻弹簧装置（质量不计）。DE轨道以及传送带长度均为L=1m，DE段铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1=0.2x+0.2（x表示DE上一点到D点的距离）。物块与AB、传送带和小车上表面之间（除弹簧原长部分外）的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。现在一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从斜面上某点静止下滑。已知小车质量M=3kg， d=1.2m， sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)物块恰好到达F点，求物块进入圆弧E点时对轨道的压力；
(2)若物块释放的高度为3m，为让物块能到达F点，求传送带的转动速度至少多大；
(3)物块滑上小车后，与弹簧碰撞时机械能无损失，若小车撞上弹簧弹性势能超过18J时会触发机关把物块锁定，反之，物块被弹回，为使物块最终停留在小车上，求物块到达F点时的速度应满足的条件。
（2025·浙江宁波·三模）某游戏装置如图所示，水平传送带左端点和右端点分别与两个光滑水平台面平滑对接，A、两点间的距离。左侧水平台面上有一被压缩的弹簧，弹簧的左端固定，右端与一质量的滑块接触（与弹簧不栓接，且滑上传送带前已经脱离弹簧），与传送带间的动摩擦因数。右侧水平台面上有一倾角为，高的固定光滑斜面（水平台面与斜面底端用平滑小圆弧连接），在斜面左侧水平台面上放置一质量也为的相同滑块，右侧固定一上表面光滑且很大的水平桌面。桌面上放置一质量，长的薄木板（厚度不计），木板左端点与桌面左端相齐、并与斜面顶端点等高，且间距。游戏开始，将从压缩弹簧的右端由静止释放，与静止在水平台面上的发生碰撞后粘在一起组成滑块，离开斜面后将在木板的上表面与木板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），每次碰撞前后瞬间，沿竖直方向的分速度大小不变、方向反向。P、Q、W均可视为质点，不计空气阻力。在某次游戏中，恰好击中木板的中点。
(1)求离开点时的速度大小；
(2)若传送带不动，求弹簧最初储存的弹性势能；若传送带转动，则弹簧最初储存的弹性势能的大小范围；
(3)W击中木板中点后瞬间，和木板的速度分别为多大；
(4)若落在桌面上时不反弹，则在桌面上的落点与桌面左端间的距离为多少。
（2025·浙江金华·三模）如图所示，一倾角为的斜面AB与水平面BCD在B点平滑相接，圆轨道最低点为C（稍有错开），E为最高点，半径，CD段长L=1.275m，D端与一足够长的光滑斜面平滑相接。质量的小物块1从斜面顶点A以的速度水平向右抛出，落在斜面上的P点，假设小物块1落到P点前后，平行斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度立即变为零。在CD段距离C点x处有一与物块1完全相同的小物块2，两物块相碰后立即粘连在一起。已知小物块1第一次过圆轨道最高点E时的速度为，两小物块与CD段的动摩擦因数均为，轨道其余部分均光滑，调整小物块2与C点间的距离x，使得小物块合体最终停在CD上的某点M且全程不脱离轨道（，，），求：
(1)小物块1第一次运动到C点时对轨道的压力；
(2)小物块1在斜面上的落点P距离水平面的高度h；
(3)M与C点间的距离s与x的关系。（结果用x表示）
（2024·浙江·二模）如图所示为半径的四分之一竖直圆弧轨道AB、传送带BC、水平轨道CDE平滑连接组成的玩具轨道模型，E端的竖直挡板上固定有劲度系数为 的轻质弹簧。现将质量 的小物块a从圆心O等高处A点静止释放，经过水平传送带BC后，与静止在轨道D处，质量也为m的物块b发生弹性碰撞。初始时b与弹簧接触但不粘连。已知传送带的长度 ，以 顺时针匀速转动，CD 之间的距离 ，滑块与传送带间的动摩擦因数 ，其余部分均光滑，物块可视为质点，弹簧振子做简谐运动的周期 ，（k为弹簧的劲度系数）。求：
(1)滑块a滑到圆轨道最低点 B 点时受到的支持力大小；
(2)a、b两物块第一次和第三次碰撞的时间间隔（可用π表示）；
(3)①物块a第一次滑过传送带系统摩擦产生的热量
②物块a从静止释放到两物块第 n次相碰时，系统摩擦产生的热量
（2024·浙江嘉兴·一模）如图所示是某种滑块运动装置，长度的传送带，以速度向左匀速传动，竖直平面内半径的圆型光滑管道固定在水平地面上，左侧凹槽内有总质量的滑板，滑板由水平板和四分之一圆弧板两部分构成，水平板上表面平直粗糙，长度，圆弧板表面光滑，半径，距离滑板左端处有一锁定装置K，滑板一旦碰到K就被锁定，速度瞬间为0。现有一质量的滑块，从传送带的右侧以速度冲上传送带，接着进入圆管完成圆周运动后从E点滑上滑板。已知滑块与传送带之间的动摩擦因数，滑块与滑板水平段之间的动摩擦因数，其它阻力忽略不计，滑块可以视为质点，A、B、C、E在同一水平面，接触面均平滑连接。求：
(1)要使滑块能滑上滑板，滑块在B点的最小速度；
(2)若滑块能滑上滑板，求滑块在E点的速度与初速度之间的函数关系；
(3)若滑块以速度滑上滑板，滑块在滑板上运动过程中产生的内能是多少？
（2024·浙江·模拟预测）某装置竖直截面如图，半径为R的圆形光滑轨道AB固定在水平光滑地面上，紧靠着一块长为L、厚度为h、质量为M的平板，其上表面与圆形轨道的B点相切，挡板上端E点与平板上表面等高，且与B点水平距离为d。该装置可对平板进行锁定或解锁操作，现将一质量为m的小滑块从圆形轨道任一点静止释放后滑上平板。已知R=5m，d=10m，L=7.5m，h=1.25m，M=m=0.5kg，平板上表面由特殊材料制成，左侧区域粗糙、右侧区域光滑，平板下表面与水平光滑地面无摩擦。滑块视为质点，不计空气阻力。
(1)锁定平板，则滑块从P点静止释放后恰好能滑到平板上离B点处，图中∠POB为，求滑块
①经过B点时受到的支持力FN；
②与平板上表面左侧区域的动摩擦因数。
(2)解锁平板，则滑块滑上平板并带动平板一起运动，平板到达EJ即被锁定。
①若滑块从A点静止释放，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
②若滑块从E点飞出后，在地面上的落点距E点的水平距离x在1m到2m之间，求滑块在圆形轨道上静止释放的高度范围。
（2024·浙江绍兴·一模）如图所示，压缩后处于锁定状态的弹簧左端与墙壁相连，右端与一质量为m = 1.1 kg的滑块接触而不粘连，AB段光滑。一质量为M = 2.2 kg的小车上表面水平，动摩擦因数μ = 0.4，在小车左侧上方固定一半径R = 2.75 m的光滑圆弧轨道CD，圆心角θ = 37°，在末端D点与小车平滑连接。C点与B点的竖直高度差h = 0.45 m；D点与圆心O在同一竖直线上，到小车右端F点距离L = 3 m，初始时小车静止在光滑水平地面上，左端与墙壁接触，F点与平台GJ等高，且F点到平台左端G点的水平距离x可调。现解除弹簧锁定，滑块被弹出后恰好能从C点切入圆弧轨道。假定弹簧的弹性势能全部转化为滑块动能，滑块运动过程中可看作质点，求：
(1)滑块由B运动到C的时间t；
(2)弹簧锁定时储存的弹性势能大小Ep；
(3)滑块在圆弧轨道末端D点时，对轨道的压力的大小FN；
(4)若0.25 m ≤ x ≤ 1.25 m，小车与平台GJ碰撞后立即静止，写出滑块刚滑到G点时的速度vG大小与x的关系。
（2024·浙江宁波·一模）如图所示，某固定装置由长度、倾角的倾斜传送带，圆心角和、半径均为的两圆弧管道组成，轨道问平滑连接。在轨道末端的右侧的光滑水平面上紧靠着轻质小车，小车上表面与所在的水平面平齐，右端放置质量的物块。质量的物块从传送带点由静止释放，经过滑出圆弧管道。已知传送带由电动机带动，以速度顺时针转动，与传送带及小车间的动摩擦因数均为与小车间的动摩擦因数，其它轨道均光滑，物块均可视为质点，不计空气阻力，。
(1)求物块在传送带上运动的时间；
(2)为维持传送带能匀速运送物块从点到点，求电动机多做的功；
(3)求物块到达点时对管道的作用力；
(4)要使物块恰好不与物块发生碰撞，求小车长度的最小值。
（2024·浙江·一模）如图所示，质量m1=0.1kg的小物块P从静止开始沿斜面AB和水平面BC运动到C点，与C点处质量m2=0.3kg的小物块Q发生碰撞，碰撞后，小物块Q从C点飞出，运动到水平地面上的D点。斜面AB与水平面之间的夹角为θ，且tanθ=0.5，斜面AB与水平面BC平滑连接，动摩擦系数μ均为0.2，水平面BC的长为xBC=0.3m，C点距离水平地面的高度H=0.6m。（不计空气阻力，取重力加速度g为10m/s2）。
(1)若小物块Q从C点运动到D点的水平距离xCD=0.6m，求小物块Q从C点抛出的初速度vC的大小；
(2)若小物块P从h=1.7m处下滑，且最终xCD=0.6m，计算并回答：小物块P、Q发生的是否为弹性碰撞？
(3)若小物块P、Q发生的是弹性碰撞，当释放高度h满足什么条件时，小物块Q能从C点飞出，而小物块P不会从C点飞出？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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