资源简介

专题强化二　追及相遇问题
考点一　情境类的追及相遇问题
1.两点技巧
2.三种方法
(1)情境分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动的情境图．
例如，物体B追赶物体A，开始时，两个物体相距x0，B的速度大于A的速度，之后两物体的加速度恒定且aBxA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB(2)二次函数法：
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程xA＝xB＋x0；
①若Δ>0，有两解，说明两物体相遇两次；
②若Δ＝0，有一解，说明两物体相遇一次；
③若Δ<0，无解，说明两物体不能相遇．
(3)图像分析法：将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题．
例1　(2025·上海长宁模拟)如图，一汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1＝60 m处，因地震产生的泥石流以v0＝4 m/s的初速度、a1＝0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，泥石流到达坡底后以a2＝0.3 m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，泥石流通过坡底处时速度不发生改变，司机从发现险情到发动汽车共用了t0＝2 s，设汽车启动后一直以a3＝0.5 m/s2的加速度沿与泥石流同一直线做匀加速直线运动．求：
(1)泥石流到达坡底速度的大小；
(2)泥石流与汽车相距的最近距离．
【教你解决问题】——“四步法”解决追及相遇问题
试答
题后感悟
1.牢记“一个流程”
2.把握“两种情境”
物体A追物体B，开始二者相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB.
练1　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处有一辆以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2，从此刻开始计时．
(1)A追上B前，求A、B间的最远距离．
(2)经过多长时间A追上B？
练2　(2025·山东潍坊统考)2023年8月，上海发布自动驾驶5G标准，推动自动驾驶技术快速发展．甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1＝72 km/h，乙车的速度大小v2＝36 km/h，如图所示．当甲、乙两车相距x0＝20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，加速度大小a＝2 m/s2.已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，从刹车时开始计时，两车均可看为质点．求：
(1)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx；
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用的时间t．
考点二　图像类追及相遇问题
例2　中国高铁向世界展示了中国速度．“和谐号”动车和“复兴号”高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动．两车运动的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．“复兴号”高铁追上“和谐号”动车前，t＝70 s时两车相距最远
B．“复兴号”高铁经过95 s加速达到最大速度
C．t＝140 s时，“复兴号”高铁追上“和谐号”动车
D．“复兴号”高铁追上“和谐号”动车前，两车最远相距4 900 m
题后感悟
解决与图像有关的追及相遇问题的方法
方法 基本思路
数理转换 定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作出x-t图像或v-t图像等；或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题
练3　(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x-t)图像和速度—时间(v-t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　　)
练4　自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车．某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　　)
核心素养·拓教材——情境命题　规范解题　收获一个“赢”
二维情境类的追及相遇问题
典例1　(多选)如图，甲、乙两车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线向前匀速行驶，当甲、乙两车的车头到十字路口(道路中心线)的距离分别为30 m、40 m时，道口恰处于红、绿灯转换，甲、乙两车均未采取任何减速或制动等措施，以致两车相碰．已知两车型号相同，车长为4.72 m，车宽为1.84 m，并已知甲车的车速为40 km/h，设两车相碰前均匀速行驶，则在穿过路口过程中，乙车车速可能为(　　)
A．35 km/h B．40 km/h
C．55 km/h D．60 km/h
典例2　(多选)如图所示，车道宽为2.7 m，长为12 m的货车以v1＝10 m/s的速度匀速直线行驶，货车车头距离斑马线20 m时，一自行车以v3＝2 m/s的速度匀速直线行驶，自行车尾部恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2＝15 m/s的速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a＝10 m/s2.当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧车道分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车．下列判断正确的是(　　)
A．货车不减速也不会与自行车相撞
B．轿车不减速也不会与自行车相撞
C．轿车探测到自行车时立即制动不会与自行车相撞
D．轿车探测到自行车时立即制动会与自行车相撞
温馨提示：请完成课时分层精练(五)
专题强化二　追及相遇问题
关键能力·研教材
例1　解析：(1)设泥石流到达坡底的时间为t1，速度为v1，
根据位移公式有x1＝，
由速度公式有v1＝v0＋a1t1，
代入数据得v1＝8 m/s，t1＝10 s.
(2)泥石流到达坡底时，汽车速度v2＝a3(t1－t0)，
汽车位移x0＝a3(t1－t0)2.
当汽车的速度与泥石流速度相等时，泥石流与汽车相距最近，
设泥石流到达坡底后汽车又加速，时间为t2且二者共速，
故有v1－a2t2＝v2＋a3t2，
泥石流水平位移x泥＝，
汽车位移x汽＝，
相距最近的距离x＝x0＋x汽－x泥，
由以上各式解得x＝6 m.
答案：(1)8 m/s　(2)6 m
练1　解析：(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s，
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m，
汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m，
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)运动图像如图所示．
汽车B从开始减速直到静止经历的时间为t1＝＝5 s，
运动的位移x′B＝＝25 m，
汽车A在t1时间内运动的位移x′A＝vAt1＝20 m，
此时两车相距Δx＝x′B＋x0－x′A＝12 m，
汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s，
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
答案：(1)16 m　(2)8 s
练2　解析：(1)当两辆车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等，由v1＝72 km/h＝20 m/s，v2＝36 km/h＝10 m/s，
则v1－at1＝v2，
解得t1＝5 s，
在t1时间内甲车位移x1＝t1＝×5 m＝75 m，
乙车位移x2＝v2t1＝10×5 m＝50 m，
两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx＝x0＋x1－x2＝20 m＋75 m－50 m＝45 m.
(2)设经过时间t2甲车停下来，根据运动学公式可得t2＝＝ s＝10 s，
在t2时间内，甲车的位移x1′＝t2＝×10 m＝100 m，
乙车的位移x2′＝v2t2＝10×10 m＝100 m.
说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距20 m，到两车并排乙车再运动的时间t3＝＝ s＝2 s，
所以从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t＝t2＋t3＝12 s.
答案：(1)45 m　(2)12 s
例2　解析：由v-t图像可知，0≤t＜140 s时，和谐号动车速度大于复兴号高铁，t>140 s时，和谐号动车速度小于复兴号高铁，故复兴号高铁追上和谐号动车前，t＝140 s时两车相距最远，根据v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距Δx＝×140×70 m－×(140－70)×70 m＝2 450 m，故A、C、D错误；复兴号高铁的加速度为a＝ m/s2＝1 m/s2，复兴号高铁加速达到最大速度所需的时间为t1＝ s＝95 s，故B正确．
答案：B
练3　解析：A图中，甲、乙经过路标后在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能相遇，故A错误；B图中，甲、乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，两人在t0时刻之前能再次相遇，故B正确；在v t图中，图线与横轴之间的面积等于位移，C图中，甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人在t0时刻之前能再次相遇，故C正确；由D图可知，在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人在t0时刻之前不能相遇，故D错误．
答案：BC
练4　解析：v-t图像的斜率代表加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v-t图线为直线，故A错误；v-t图线与t轴围成的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，故B错误；x-t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x-t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确．
答案：D
核心素养·拓教材
典例1　解析：设车长为L，车宽为d；乙车速度最大时，乙车与甲车的车头相碰，如图(a)所示．
则有＝，解得v乙max≈62.8 km/h，
当乙车速度最小时，乙车与甲车的车尾相碰，如图(b)所示．
则有＝，解得v乙min≈43.9 km/h，即乙的速度范围为43.9 km/h≤v≤62.8 km/h.
答案：CD
典例2　解析：自行车过路口的时间为t3＝＝ s＝2.7 s，在时间内，货车做匀速直线运动的位移为x1＝v1t3＝×10×2.7 m＝13.5 m<20 m，轿车做匀速直线运动的位移为x2＝v2t3＝15×2.7 m＝40.5 m>32 m，A正确，B错误；自行车过路口时，轿车雷达可探测到障碍物的时间t0＝t3＝1.35 s，此时轿车距路口的距离Δx＝x0－v2t0＝(32－15×1.35) m＝11.75 m，轿车开始制动到停下来的时间t′＝＝ s＝1.5 s，所需要的制动距离x′＝v2t′＝×15×1.5 m＝11.25 m<11.75 m，二者不会相撞，C正确，D错误．
答案：AC(共54张PPT)
专题强化二　追及相遇问题
考点一　情境类的追及相遇问题
1.两点技巧
2.三种方法
(1)情境分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动的情境图．
例如，物体B追赶物体A，开始时，两个物体相距x0，B的速度大于A的速度，之后两物体的加速度恒定且aBxA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB(2)二次函数法：
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程xA＝xB＋x0；
①若Δ>0，有两解，说明两物体相遇两次；
②若Δ＝0，有一解，说明两物体相遇一次；
③若Δ<0，无解，说明两物体不能相遇．
(3)图像分析法：将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题．
例1　(2025·上海长宁模拟)如图，一汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1＝60 m处，因地震产生的泥石流以v0＝4 m/s的初速度、a1＝0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，泥石流到达坡底后以a2＝0.3 m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，泥石流通过坡底处时速度不发生改变，司机从发现险情到发动汽车共用了t0＝2 s，设汽车启动后一直以a3＝0.5 m/s2的加速度沿与泥石流同一直线做匀加速直线运动．求：
(1)泥石流到达坡底时速度的大小；
答案：8 m/s
(2)泥石流与汽车相距的最近距离．
答案：6 m
【教你解决问题】——“四步法”解决追及相遇问题
题后感悟
1.牢记“一个流程”
2.把握“两种情境”
物体A追物体B，开始二者相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB.
练1　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处有一辆以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2，从此刻开始计时．
(1)A追上B前，求A、B间的最远距离．
答案：16 m
(2)经过多长时间A追上B？
答案：8 s
练2　(2025·山东潍坊统考)2023年8月，上海发布自动驾驶5G标准，推动自动驾驶技术快速发展．甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1＝72 km/h，乙车的速度大小v2＝36 km/h，如图所示．当甲、乙两车相距x0＝20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，加速度大小a＝2 m/s2.已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，从刹车时开始计时，两车均可看为质点．求：
(1)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx；
答案：45 m
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用的时间t．
答案：12 s
考点二　图像类追及相遇问题
例2　中国高铁向世界展示了中国速度．“和谐号”动车和“复兴号”高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动．两车运动的速度—时间图像如图所示，
下列说法正确的是(　　)
A．“复兴号”高铁追上“和谐号”动车前，t＝70 s时两车相距最远
B．“复兴号”高铁经过95 s加速达到最大速度
C．t＝140 s时，“复兴号”高铁追上“和谐号”动车
D．“复兴号”高铁追上“和谐号”动车前，两车最远相距4 900 m
答案：B
题后感悟
解决与图像有关的追及相遇问题的方法
方法 基本思路
数理转换 定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作出x-t图像或v-t图像等；或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题
练3　(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x-t)图像和速度—时间(v-t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　　)
答案：BC
解析：A图中，甲、乙经过路标后在t0时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能相遇，故A错误；B图中，甲、乙在t0时刻之前图像有交点，即此时位移相等，两人在t0时刻之前能再次相遇，故B正确；在v t图中，图线与横轴之间的面积等于位移，C图中，甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人在t0时刻之前能再次相遇，故C正确；由D图可知，在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人在t0时刻之前不能相遇，故D错误．
练4　自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车．某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　　)
答案：D
解析：v-t图像的斜率代表加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v-t图线为直线，故A错误；v-t图线与t轴围成的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，故B错误；x-t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x-t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确．
二维情境类的追及相遇问题
典例1　(多选)如图，甲、乙两车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线向前匀速行驶，当甲、乙两车的车头到十字路口(道路中心线)的距离分别为30 m、40 m时，道口恰处于红、绿灯转换，甲、乙两车均未采取任何减速或制动等措施，以致两车相碰．已知两车型号相同，车长为4.72 m，车宽为1.84 m，并已知甲车的车速为40 km/h，设两车相碰前均匀速行驶，则在穿过路口过程中，乙车车速可能为(　　)
A．35 km/h B．40 km/h
C．55 km/h D．60 km/h
答案：CD
典例2　 (多选)如图所示，车道宽为2.7 m，长为12 m的货车以v1＝10 m/s的速度匀速直线行驶，货车车头距离斑马线20 m时，一自行车以v3＝2 m/s的速度匀速直线行驶，自行车尾部恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2＝15 m/s的速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a＝10 m/s2.当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧车道分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车．
下列判断正确的是(　　)
A．货车不减速也不会与自行车相撞
B．轿车不减速也不会与自行车相撞
C．轿车探测到自行车时立即制动不会与自行车相撞
D．轿车探测到自行车时立即制动会与自行车相撞
答案：AC
1．如图所示，甲、乙两个图像分别表示四个物体沿同一直线的运动情况，a、c为直线，b、d为曲线，3 s末，b、d物体图线的斜率分别与a、c物体图线的斜率相同，下列说法正确的是(　　)
A．3 s末，a、b两物体的速度相等，c、d两物体的加速度相等
B．a、b在1 s末相遇，c、d也在1 s末相遇
C．c、d两物体在1～4 s内的平均速度相等
D．四个物体的运动方向一直都相同
答案：A
解析：3 s末，b、d物体图线的斜率分别与a、c物体图线的斜率相同，图甲中图线斜率表示速度，图乙中图线斜率表示加速度，则3 s末，a、b两物体的速度相等，c、d两物体的加速度相等，故A正确；图甲为x-t图像，a、b图像的交点表示相遇，图乙为v-t图像，c、d图线的交点表示速度相等，则a、b两物体在1 s末相遇，由于不知道c、d两物体的初位置关系，故不能判断c、d两物体在1 s末是否相遇，故B错误；v-t图像与t轴围成的面积表示位移，由图像可知，c、d两物体在1～4 s内的位移不相等，故平均速度不相等，故C错误；b物体先向负方向运动再向正方向运动，a、c、d三个物体都一直向正方向运动，故D错误．
2．图(a)为马拉松比赛中两位参赛选手的某一情形，甲、乙两人起跑时都做匀加速直线运动，达到某一速度后都各自做匀速直线运动直至终点，他们的速度—时间图像如图(b)所示．下列说法正确的是(　　)
A．乙选手起跑2 s后刚好追上甲选手
B．乙选手起跑时，甲选手正好跑了3 m
C．相遇前甲、乙两选手之间的最大距离为4 m
D．乙选手超过甲选手后，两选手可能再次相遇
答案：C
3.如图所示，在地面上一盘子C的正上方A处有一金属小球a距C为20 m，在B处有另一个金属小球b距C为15 m，小球a比小球b提前1 s由静止释放(g取10 m/s2)．则(　　)
A．b先落入C盘中，a不可能在下落过程中追上b
B．a先落入C盘中，a在BC之间(不含B)某位置追上b
C．a、b两小球同时落入C盘
D．在a球下落过程中，a恰好在B处追上b
答案：D
4．(2025·湖北宜昌一模)某实验兴趣小组对实验室的两个电动模型车进行性能测试．如图所示，0时刻电动模型车1、2相距10 m，两车此时同时开始向右做匀减速运动，车1的速度为10 m/s，加速度为2 m/s2，车2的速度为6 m/s，加速度大小为1 m/s2 .则在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．0～6 s内，车1的位移是24 m
B．6 s时，车2的速度大小为1 m/s
C．两车间的距离一直在减小
D．两车最近距离为2 m
答案：D
5．(2025·山东青岛一模)青岛气象台2024年2月11日21时15分发布大雾黄色预警，交警提示雨雾天气开车出行注意保持安全车距．期间在滨海大道同一直线车道上，甲车和乙车正同向匀速行驶，甲车在前乙车在后，t＝0时，甲车发现前方有险情立即刹车，为避免两车相撞，2 s后乙车也开始刹车，如图是两车位置随时间变化图像，图中曲线均为抛物线．已知甲车匀速行驶的速度为10 m/s，司机反应时间不计，
下列说法正确的是(　　)
A.甲车加速度大小为2 m/s2
B．当t＝7 s时，两车速度大小相等
C．若d＝28 m，两车恰好没有相撞
D．若没有相撞，两车相距最近时乙车的位移为48 m
答案：C
6．(10分)(2025·福建漳州模拟)截至2023年8月，中国已累计开放智能网联无人驾驶汽车测试道路2万千米．如图所示，某次测试时，无人驾驶测试车甲、乙在两平行车道上做直线运动；当甲、乙两车并排时，甲车以v＝20 m/s的速度匀速运动，乙车开始同方向做初速度为零的匀加速运动，经t＝20 s两车恰好再次并排．求：
(1)乙车的加速度大小a；
答案：2 m/s2
(2)20 s内，两车相距的最大距离xm.
答案：100 m
答案：BCD
8．(6分)某智能汽车搭载了主动刹车系统，车载雷达及摄像系统会实时探测前方路况．当前方遇到紧急情况时，若驾驶员没能及时刹车，系统会介入自动刹车，大大提高了安全性．如图所示，某次测试时，智能汽车跟随前方汽车在平直车道匀速行驶，速度均为72 km/h，两车距离50 m．某时刻，后车雷达侦测到前车开始以5 m/s2的加速度刹车，当车距减为40 m时智能汽车启动自动刹车，假设后车刹车的加速度恒定，若要避免两车相撞，智能汽车刹车的加速度应满足什么条件？
答案：当智能汽车刹车的加速度大于4 m/s2，可以避免两车相撞

展开更多......

收起↑