资源简介

(共13张PPT)
课前准备
草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具
美丽的数学心
让我们一起走进用全等三角形解码拼图的奇妙世界！
14.4.2 数学活动
用全等三角形证明拼图猜想
学习目标
学习重点
根据要求用全等三角形完成指定拼图，通过多种实操方法精准猜想线段关系，能运用全等三角形的性质及判定定理严谨证明猜想；
经历 “动手拼图—观察特征—提出猜想—逻辑证明” 的探究流程，体会从直观感知到理性论证的思维转化过程；
感受数学中 “操作与推理” 的辩证统一，体会几何证明的严谨之美，激发对图形探究的好奇心.
按要求完成全等三角形拼图，通过观察与操作猜想 BC 与 AA' 的关系，并用全等三角形知识完成规范证明；
从拼图情境中抽象出几何图形，准确提取 “重合边”“对应角” 等关键条件，构建清晰的证明思路.
情境导入
这些拼图能严丝合缝地拼接，依靠的是什么特征？如果用全等三角形拼图，会产生哪些有规律的线段关系？
今天我们就通过“用全等三角形拼图 — 猜关系 — 证结论” 的活动，探索图形背后的几何规律.
探究新知
任务：已知△ABC≌△A'B'C'，请用硬纸板剪出这两个三角形（可先在纸板上画出全等三角形，标注对应顶点）.
A
B
C
A'
B'
C'
操作：同桌两人为一组，一人剪△ABC，一人剪△A'B'C'，使边 BC 与边 B'C' 重合（边的端点对齐，边的方向可相反，确保完全重合），顶点 A 与顶点 A' 不重合（A 和 A' 需分别在重合边 BC 的两侧，避免共线），完成拼图后用铅笔在练习本上画出拼好的图形（标注顶点 A、B、C、A'、B'、C'，其中 B 与 B' 重合，C 与 C' 重合）.
A
B
C
A'
(C')
(B')
A'
B
C
A
(C')
(B')
A
B
C
A'
(C')
(B')
图①
图②
图③
猜想：在画出的图形中连接 AA'，用直尺测量 AO 与 A'O的长度（O 为 BC 与 AA' 的交点），用量角器测量∠AOB 的度数；也可以将图形沿 BC 所在直线对折，观察 A 与 A' 是否重合.通过测量和折纸，你们发现BC与AA' 有什么关系，用一句话描述猜想.
①图1 中 BC，AA' 互相平行；
②图2 中 BC，AA' 互相平分；③ BC 垂直平分 AA'.
A
B
C
A'
(C')
(B')
A'
B
C
A
(C')
(B')
A
B
C
A'
(C')
(B')
图①
图②
图③
证明①：设 AC，A'C' 交于点 O，∵△ABC≌△AB'C'，
∴∠ACB = ∠A'C'B'，∠3 = ∠1，∠CAB = ∠C'A'B'
AB = A'B'，AC = A'C'.
∴∠2 = ∠4.
∴△AC'A'≌△A'CA(SAS).
∴∠C'AA' = ∠CA'A.
∴∠5 = ∠6.
∵∠AOA' = ∠COC'，
∴∠5 = ∠6 = ∠3 = ∠1.
∴BC∥AA'.
证明结论：用全等三角形的知识证明你的猜想.
A
C'
C
A'
(B)
(B')
O
图①
1
2
3
4
5
6
② 连接 AA' 交 BC 于点 O，
∵ △ABC≌△A'B'C'，
∴∠ABC =∠A'B'C'， AB = A'B'.
在△ABO 与△A'B'O 中，
∴△ABO≌△A'B'O(AAS)，
∴ AO = A'O,BO = B'O.
∴ BC，AA' 互相平分.
A'
B
C
A
(C')
(B')
O
图②
③ 连接 AA'，AA' 交 BC 于点 O，
∵ △ABC≌△A'B'C'，
∴∠ACB =∠A'C'B'，AC = A'C'，
在△AOC 与△A'OC' 中，
∴△AOC≌△A'OC' (SAS).
∴ AO = A'O，∠AOC =∠A'OC'，
∵∠AOC +∠A'OC' = 180°，
∴∠AOC = 90°，即 BC⊥AA'.
∴ BC 垂直平分 AA'.
A
B
C
A'
(C')
(B')
图③
O
巩固练习
若将拼图要求改为“AB 与 A'B' 重合，顶点 C 与 C' 不重合”，连接 CC'，猜想 AB 与 CC' 的关系，并模仿刚才的思路进行证明.
归纳总结
拼图是发现规律的起点，证明是确认规律的关键.
课后作业
尝试探究：如果用三个全等三角形拼图，会产生哪些新的线段关系？

展开更多......

收起↑