资源简介

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课前准备
草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具
美丽的数学心
让我们一起走进奇妙的数学世界
15.1.2.1 线段垂直平分线的
性质与判定
学习目标
学习重点
1.探索并掌握线段垂直平分线的性质与判定定理；
2.能运用线段垂直平分线的性质与判定解决简单的计算与推理问题；
3.理解互逆命题和互逆定理的相关概念.
线段的垂直平分线的性质定理与判定的应用；
互逆命题和互逆定理的相关概念.
2.线段的对称轴是什么
1.线段是轴对称图形吗
3.什么叫作线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
复习引入
活动1 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
数学探究
A
P1
l
B
P2
P3
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
【猜想交流】
A
P1
l
B
P2
P3
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
　证明：∵　直线l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB=90°．
　　 又∵AC =CB，PC =PC，
　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　 ∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
【验证证明】
当点P与点C 重合时，显然成立.
用符号语言表示为：
∵ CA =CB，PC⊥AB，
∴ PA =PB．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
P
A
B
l
C
线段垂直平分线的性质
知识归纳
例1 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，△BCE的周长为16，△ABC的周长为24，求AD的长度．
解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝DB.
∵△BCE的周长为16.
∴BC＋CE＋EB＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16.
∵△ABC的周长为24，∴BC＋AC＋AB＝24.
∴AB＝8.∴AD＝DB＝4.
数学应用
活动2 把上面线段垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？
P
A
B
数学探究
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢
已知：如图，PA =PB
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作AB⊥PC，垂足为点C
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
P
A
B
C
还有其它的方法吗？
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
用符号语言表示为：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
知识归纳
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　 与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
数学探究
用符号语言表示为：
∵　AB =AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵MB =MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的证明过程.
如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？
例2 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB
∴DE=CE.∠EDO=∠ECO=90°
∴OC=OD.
在Rt△OED 和Rt△OEC中，
∵DE=CE OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∴点O在线段CD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分CD
数学应用
1.下面两个命题的题设和结论有什么关系
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
这两个命题的题设和结论正好相反.
数学探究
【活动3】
【概况归纳】
2.你还学习过其他具有类似关系的命题吗
如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题.
互逆命题： 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.
角平分线的性质与判定、平行线的性质与判定等.
写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)两直线平行，同位角相等;
逆命题 : 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等.逆命题不成立.
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等.
逆命题 : 同位角相等,两直线平行.逆命题成立.
逆命题 : 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.逆命题不成立.
数学应用
巩固练习
　　1. 如图，AD⊥BC，BD＝DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE
的长度有什么关系？AB＋BD 与 DE 有什么关系？
C
E
B
D
A
AB＝AC
AC＝CE
AB＝AC＝CE
AB＋BD＝CE＋DC
AB＋BD＝DE
BD＝DC
BD＝DC
　　1. 如图，AD⊥BC，BD＝DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE
的长度有什么关系？AB＋BD 与 DE 有什么关系？
　　解：AB＝AC＝CE，AB＋BD＝DE．理由如下：
　　∵　AD⊥BC，BD＝DC，
　　∴　AB＝AC．
　　∵　点 C 在 AE 的垂直平分线上，
　　∴　AC＝CE．
　　∴　AB＝AC＝CE．
　　∴　AB＋BD＝CE＋DC．
　　∴　AB＋BD＝DE．
C
E
B
D
A
　　2. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
　　（1）两直线平行，同位角相等；
　　（2）如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等；
　　（3）全等三角形的对应角相等．
　　解：（1）逆命题是同位角相等，两直线平行，成立；
　　（2）逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立；
　　（3）逆命题是三个角对应相等的三角形全等，不成立．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理.这两个定理叫作互逆定理.
其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中,有许多互逆的定理.
例如,上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理,“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”也是互逆定理.
知识归纳
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
互逆命题
课堂小结
作业布置
必做作业：教材67页第1、2、3题
选做作业：求证：三角形的三条边的垂直平分线交于一点
大美数学
线段垂直平分线的数学美在生活中随处可见，它以对称平衡的特质构建稳定结构，如桥梁中轴、建筑对称线，展现几何逻辑与实用美学的融合.

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